Пример выполнения задачи 1. 10 мпа, допускаемое напряжение
 Скачать 0.5 Mb.
|
|
Пример выполнения задания 1. На стержень, закрепленный между двумя жесткими заделками, действуют продольные силы (см.рис.1). Стержень однородный, модуль Юнга материала E = 2 ⋅ 10 МПа, допускаемое напряжение [ σ ] = 160 МПа Задано соотношение площадей отдельных участков стержня A 1 : A 2 : A 3 = 2 :1:1.5 . Длины участков l 1 = 2 мм м Выразим продольные усилия через внешние силы (как заданные активные силы, таки неизвестные пока реакции опор R A и N 1 справа = R A , N 2 справа = R A − 50, N 3 слева = − Напомним, что при определении знаков продольных сил здесь используется правило знаков, а направление реакций опор выбирается произвольно. Запишем единственное в данном случае нетривиальное (те. не приводящее к тождеству 0 ≡ 0 ) уравнение равновесия ∑ F x = − R A + 50 − 30 − R D = 0 ⇒ R A + R D = Здесь знаки проекций внешних сил связаны, как обычно, сих направлением относительно оси Как видно, система один раз статически неопределима, поскольку для определения двух неизвестных реакций мы располагаем лишь одним уравнением равновесия. Дополнительное уравнение – уравнение совместности перемещений – получим на основе простого заключения о неизменности длины стержня ввиду наличия на его концах жестких защемлений: 0 0 3 Это уравнение не содержит, однако, в явном виде неизвестных реакций A R и B R , поэтому воспользуемся законом Гука 1 1 1 1 EA l N l = ∆ , 2 2 2 2 EA l N l = ∆ , 3 3 3 Учитывая выражения для продольных сил через внешние силы, перепишем уравнение совместности в виде 0 1 ) 50 ( 2 2 0 ) 50 ( 2 5 1 3 2 2 3 3 2 2 1 Окончательно получаем систему двух уравнений с двумя неизвестными , 20 = + D A R R 0 2 50 Решив ее, найдем ) ( 5 2 ), ( 5 22 кН R кН R D A − = = , затем определим продольные усилия ) ( 5 2 ), ( 5 27 ), ( 5 22 3 2 1 кН N кН N кН N = − = = , построим эпюру x N (см. рис. 2. Теперь запишем условия прочности для отдельных участков и подберем их сечения, сохраняя заданные соотношения между ними [ ] [ ] ) ( 4 1 ) ( 10 4 1 10 160 10 5 22 2 2 2 4 6 3 1 2 1 1 1 1 см м N A A A N = ⋅ ≅ ⋅ ⋅ = ≥ = ⇒ ≤ = − σ σ σ , [ ] [ ] ) ( 7 1 ) ( 10 7 1 10 160 10 5 27 2 2 4 6 3 2 2 2 2 2 см м N A A N = ⋅ ≅ ⋅ ⋅ = ≥ ⇒ ≤ = − σ σ σ , [ ] ) ( 2 0 ) ( 10 2 0 10 160 10 5 2 5 1 2 2 4 6 3 2 3 3 3 3 см м A A A N = ⋅ ≅ ⋅ ⋅ ≥ = ⇒ ≤ = − σ σ Разрешив эти неравенства относительно, примем в соответствии с наиболее сильным из трех неравенств ( ) ( 7 1 2 см 2 3 2 2 2 1 6 2 , 7 1 , 4 3 см A см A см A = = = Отметим, что определение площадей с точностью более одной значащей цифры в десятых не имеет смысла, поскольку исходные данные задаются именно с такой точностью. 3. Построим теперь эпюру напряжений ) ( 2 66 10 4 3 10 5 22 4 3 МПа, ) ( 8 161 10 7 1 10 5 27 4 3 МПа, ) ( 6 9 10 6 2 10 5 2 4 3 3 МПа = ⋅ ⋅ = − σ Несмотря на то, что [ ] σ σ σ > = 2 max , такой перегруз допустим, поскольку он не превышает 5%: [ ] [ ] % 5 % 1 1 % 100 160 160 8 161 % 100 max < = ⋅ − = ⋅ − σ σ σ 4. Найдем абсолютные удлинения участков, проверим условие совместности и определим перемещения сечений B и C : ), ( 66 0 ) ( 10 66 0 2 10 2 2 66 3 5 1 1 1 мм м l E l = ⋅ = ⋅ ⋅ = = ∆ − σ ), ( 81 0 ) ( 10 81 0 1 10 2 8 161 3 5 2 2 2 мм м l E l − = ⋅ − = ⋅ ⋅ − = = ∆ − σ ) ( 15 0 ) ( 10 15 0 3 10 2 6 9 3 5 3 3 3 мм м l E l = ⋅ = ⋅ ⋅ = = ∆ − σ ; 0 15 0 81 0 66 0 3 2 1 = + − = ∆ + ∆ + ∆ = ∆ l l l l ; ) ( 15 0 , ) ( 66 0 3 1 мм l l мм l l C B − = ∆ − = ∆ ≈ ∆ = ∆ , сечение B перемещается вправо, а сечение C - влево (см.рис.1). 5. Пусть стержень изготовлен неточно - длиннее, чем нужно, на мм 0 = δ (рис. Тогда в нем при установке (сборке) возникнут внутренние усилия (напряжения) даже при отсутствии внешних сил. Из уравнения равновесия для стержня в целом следует, что опорные реакции равны Методом сечений устанавливаем, что 2 1 Далее возможны два равноправных подхода неточность δ может включаться в уравнение совместности или в физическое уравнение для одного из участков. После подстановки физических уравнений в уравнение совместности в обоих случаях получается одно и тоже выражение ) ( 25 4 4 10 7 1 10 2 10 5 0 4 0 1 2 2 0 4 11 3 2 5 1 3 2 2 3 3 2 2 1 1 2 кН EA R EA R A E R EA l R EA l R EA l R A A E R A A D A A A − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = − = ⇒ ⇒ = + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ = + − + − − ⋅ ⋅ δ δ δ Найдем напряжения и построим эпюру ) ( 5 12 10 4 3 10 25 4 4 МПа, ) ( 25 10 7 1 10 25 4 4 МПа, ) ( 35 16 10 6 2 10 25 4 4 3 3 МПа − = ⋅ ⋅ − = − σ Проверим выполнение условия совместности ), ( 125 0 ) ( 10 125 0 2 10 2 5 12 3 5 1 1 1 мм м l E l − = ⋅ − = ⋅ ⋅ − = = ∆ − σ ), ( 125 0 ) ( 10 125 0 1 10 2 25 3 5 2 2 2 мм м l E l − = ⋅ − = ⋅ ⋅ − = = ∆ − σ ), ( 25 0 ) ( 10 25 0 3 10 2 35 16 3 5 3 3 3 мм м l E l − = ⋅ − = ⋅ ⋅ − = = ∆ − σ 0 5 0 25 0 125 0 125 0 3 Сечение B перемещается влево на мм 0 − = ∆ , сечение С перемещается влево на мм 0 2 1 − = ∆ + ∆ = ∆ (см.рис.2). Пусть второй участок рассматриваемого стержня нагрет на С o 40 = ∆ . Поскольку внешние силы на стержень не действуют, внутренние силы на всех участках равны (см.выше): D A R R N N N − = = = = 3 2 1 Уравнение совместности запишем также, как впав физическое уравнение для второго участка внесем слагаемое, учитывающее изменение температуры ) ( 5 0 ) ( 10 5 0 1 40 10 125 , 3 7 2 2 2 2 2 мм м l t EA l N l t t = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ∆ ⋅ = + = ∆ − − o Здесь ) / 1 ( 10 125 7 o − ⋅ = α - температурный коэффициент линейного расширения. Тогда окончательное уравнение для определения A R запишется в виде ) ( 25 4 4 10 7 1 10 2 10 5 0 4 0 1 2 2 0 4 11 3 2 5 1 3 2 2 3 3 2 2 1 1 2 кН EA R EA R A E R EA l R EA l R EA l R t A t A E R A A D t A A A − = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − = − = ⇒ ⇒ = + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ = − + + − − ⋅ ⋅ o Таким образом, фактически расчет на температурное воздействие полностью аналогичен расчету на неточность изготовления. Следует отметить, что рассмотренный здесь подход – внесение температурной деформации и неточности изготовления в физические уравнения, а не в уравнение совместности, является более общими облегчает решение задачи в сложных стержневых системах. Рис Рис |