Математика. математика 20. 20. Понятие площади плоской фигуры и её измерение. Теорема о площади прямоугольника (с доказательством) Использование понятий равновеликости равносоставленности. При вычислении площадей некоторых плоских фигур измерение площади фигуры с помощью палетки
 Скачать 100.11 Kb.
|
|
20. Понятие площади плоской фигуры и её измерение. Теорема о площади прямоугольника (с доказательством) Использование понятий равновеликости равносоставленности. При вычислении площадей некоторых плоских фигур измерение площади фигуры с помощью палетки. Площадь плоской фигуры — Площадью фигуры называется положительная величина, определённая для каждой фигуры так, что: 1) равные фигуры имеют равные площади; 2  ) если фигура состоит из двух частей, то её площадь равна сумме площадей этих частей. Измерение: Чтобы измерить площадь фигуры, нужно иметь единицу площади. Как правило, такой единицей является площадь квадрата со стороной, равной единичному отрезку. Условимся площадь единичного квадрата обозначать буквой Е , а число, которое получается в результате измерения площади фигуры- S(F) . Это число называют численным значением площади фигуры F при выбранной единице площади E. Теорема о площади прямоугольника: Площадь прямоугольника равна произведению длин соседних его сторон. Напомним, что слово «площадь» в этой формулировке означает численное значение площади, а слово «длина» - численное значение длины отрезка. Доказательство: Если F – данный прямоугольник, а числа a,b-длины его сторон, то S(F) =a*b.  Докажем это. Пусть a и b– натуральные числа. Тогда прямоугольник можно разбить на единичные квадраты (рис.179): Всего их , так как имеем рядов, в каждом из которых квадратов. Отсюда  Пусть теперь a и b – положительные рациональные числа: a=m/n, b=p/q, Где m, n, p, q натуральные числа. Приведем данные дроби к общему знаменателю: a=mq/nq, b=np/nq Разобьем сторону единичного квадрата E на nq равных частей. Если через точки деления провести прямые, параллельные сторонам, то квадрат E разделится на (nq)² более мелких квадратов. Обозначим площадь каждого такого квадрата E1. Тогда S€ =(nq) ²*S(E1), А поскольку S(E) =1, то S(E1) =1/(nq) ² Так как a=mq/nq, b=np/nq, то отрезок длиной 1/nq укладывается на стороне a точно mq раз, на стороне b – точно np раз. Поэтому данный прямоугольник F будет состоять из mq*np квадратов Е1 . Следовательно,  Таким образом доказано, что если длины сторон прямоугольника выражены положительными рациональными числами a и b , то площадь этого прямоугольника вычисляется по формуле S(F) =a*b. РАВНОВЕЛИКИЕ ФИГУРЫ — плоские фигуры, имеющие равные площади, или пространственные фигуры (тела), имеющие равные объемы. Равновеликие фигуры — плоские (пространственные) фигуры одинаковой площади (объёма); равносоставленные фигуры — фигуры, которые можно разрезать на одинаковое число соответственно конгруэнтных (равных) частей. Палетка- это прозрачная пластина, на которой нанесена сеть квадратов. Сторона квадрата принимается за 1, и чем меньше эта сторона, тем точнее можно измерить площадь фигуры. Н  акладываем палетку на данную фигуру . Квадраты, которые целиком лежат внутри , образуют многоугольную фигуру ; квадраты, имеющие с фигурой общие точки и лежащие внутри фигуры , образуют многоугольную фигуру (рис.7). Площади и находят простым подсчетом квадратов. За приближенное значение площади фигуры принимается среднее арифметическое найденных площадей S(F) =S(Q) +S(P) /2 В начальном курсе математики учащиеся измеряют площади фигур с помощью палетки таким образом: подсчитывают число квадратов, которые лежат внутри фигуры , и число квадратов, через которые проходит контур фигуры; затем второе число делят пополам и прибавляют к первому. Полученную сумму считают площадью фигуры . |