математика. 201718 учебный год 10 класс Ответы и решения задач
Скачать 0.77 Mb.
|
Муниципальный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике, 10 класс, 2017/18 уч. год. Ответы и решения 1 Муниципальный этап всероссийской олимпиады школьников по математике 2017/18 учебный год 10 класс Ответы и решения задач 1. УСЛОВИЕ Числа a и b удовлетворяют равенству a 2 b 2 /(a 4 – 2b 4 ) = 1. Найдите всевозможные значения выражения (a 2 – b 2 )/( a 2 + b 2 ). Решение. Изданного равенства следует, что а – b 2 a 2 – 2b 4 = 0, те. (a 2 + b 2 )(a 2 – 2b 2 ) = 0, откуда a 2 = – b 2 или a 2 = 2b 2 . Первый случай невозможен условию a 2 = – b 2 удовлетворяют только числа a = b = 0, при которых данное равенство не имеет смысла. Ненулевые числа аи, такие, что a 2 = 2b 2 , равенству удовлетворяют, и при всех таких аи значение выражения (a 2 – b 2 )/( a 2 + b 2 ) = 1/3. Ответ 1/3. 2. УСЛОВИЕ Первая и вторая цифры двузначного числа N являются соответственно первыми вторым членами некоторой геометрической прогрессии, а само число N втрое больше третьего члена этой прогрессии. Найдите все такие числа N. Решение. По условию 10b + bq = 3bq 2 , где b ≠ 0 – первый член, q – знаменатель прогрессии. Отсюда 3q 2 – q – 10 = 0, q 1 = 2, q 2 = - 5/3, те. q = 2. Из неравенства bq ≤ 9 следует, что b = 1, 2, 3 или 4. Ответ 12, 24, 36, 48. 3. УСЛОВИЕ Дан прямоугольный треугольник АВС с катетами АС = 3 и ВС = 4. Построим треугольник А 1 В 1 С 1 , последовательно переместив точку А на некоторое расстояние параллельно отрезку ВС (точка А, затем точку В – параллельно отрезку АС (точка В) и, наконец, точку С – параллельно отрезку А 1 В 1 (точка С. Чему равна длина отрезка В 1 С 1 , если оказалось, что угол А 1 В 1 С 1 прямой и А 1 В 1 = 1? Решение. При перемещении вершины треугольника параллельно его основанию площадь треугольника не меняется, поэтому последовательно получаем равенство площадей треугольников АВС, А 1 ВС, А 1 В 1 С и, наконец, А 1 В 1 С 1 . Таким образом, В 1 С 1 = 2S/ А 1 В 1 = 12. Муниципальный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике, 10 класс, 2017/18 уч. год. Ответы и решения 2 Ответ 12. 4. УСЛОВИЕ Пусть a, b, c и d – такие действительные числа, при которых при всех действительных значениях х имеет место равенство |2x + 4| + |ax + b| = |cx + d|. Докажите, что d = 2c. Муниципальный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике, 10 класс, 2017/18 уч. год. Ответы и решения 3 5. УСЛОВИЕ Владислав Владимирович, взяв менее 100 рублей, пошёл гулять. Заходя в какое-либо кафе и имея при этом m рублей n копеек, он тратил n рублей m копеек (m и n – натуральные числа. Какое наибольшее число кафе мог посетить Владислав Владимирович Муниципальный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике, 10 класс, 2017/18 уч. год. Ответы и решения 4 Ответ 6. Муниципальный этап Всероссийской олимпиады школьников по математике, 10 класс, 2017/18 уч. год. Ответы и решения 5 6. УСЛОВИЕ На координатной плоскости хОу отмечена точка АЗа один ход разрешается выбрать действительное число аи отметить на плоскости точку, симметричную одной из уже отмеченных относительно прямой у = ах – (а + 1). Может ли за несколько ходов на плоскости появиться среди отмеченных точек точка В 1)? Ответ обосновать. |