27 - лекция. Предикаттар. Кванторлар. 27 дріс. Предикаттар. Кванторлар. Предикаттарды теоретикалылогикалы маынасы Предикаттар
 Скачать 18.41 Kb.
|
|
27 – дәріс. Предикаттар. Кванторлар. Предикаттардың теоретикалық-логикалық мағынасы Предикаттар Предикат – бұл белгісізді (немесе бірнеше белгісіздерді) қамтитын айтылымдар. Бірорынды предикат деп мәндері аргумент мәнін беретін объектілер туралы айтылымдар болып табылатын бір айнымалы функция. Демек, бірорынды 𝑃(𝑥) предикаты – бұл қандай да бір 𝑀 жиынында анықталған x айнымалысының және {0,1} жиынынан мәндерді (логикалық) қабылдайтын еркін алынған функция. 𝑃(𝑥) предикаты анықталған 𝑀 жиыны предикаттың пәндік обылысы немесе анықталу обылысы, ал x айнымалысының өзі – пәндік айнымалы деп аталады. Сонымен, бірорынды 𝑃(𝑥) предикаты – бұл 𝑥 объектісі туралы тұжырымдама, мұндағы x айнымалы ретінде қарастырылады. x айнымалысының мәнін бекіткен кезде 𝑃(𝑥) тұжырымдамасы туралы оның не ақиқат, не жалған екенін айтуға болады. Яғни, егер 𝑃(𝑥) предикатындағы 𝑥 айнымалысының орынына нақты зерттелетін а объектісін қойсақ, онда айтылымдар алгебрасына тиісті айтылымды аламыз. 𝑀 жиынындағы барлық 𝑥 жиынтығын 𝑀 жиынында анықталған 𝑃(𝑥) предикатының ақиқат обылысы деп айтамыз. Бұл жерде осы предикат ақиқат айтылымға айналады: 𝐼𝑃 = {𝑥 ∈ 𝑀 |𝑃(𝑥) ≡ 1} Басқаша айтқанда, осы предикат 1 мәнін қабылдайтын, оның пәндік обылысының ішкі жиыны. Егер 𝐼𝑃 = 𝑀 болса, онда 𝑀 жиынында анықталған P(x) предикаты тепе-тең ақиқат деп, және 𝐼𝑃 = ∅ болса тепе-тең жалған деп аталады. n аргументтен тұратын (n –орынды предикат) предикатты беру үшін, алдымен – пәндік  , … ,  айнымалыларының өзгеруі  , … ,  обылысын көрсету керек. Бұл жерде n–орынды предикат деп n айнымалыдан тұратын 𝑀 = × … × жиынында анықталған және {0,1} жиынынан мәндерді (логикалық) қабылдайтын еркін алынған 𝑃( , … , ) функцияны айтамыз. Кез келген айтылымды 0-орынды предикат деп қарастыруға болады. Айтылымдар логикасынан предикаттар логикасына дейін кеңейту формулаға предикаттар болып табылатын тұжырымдамаларды енгізу есебінен жүргізіледі. Предикаттар – логикалық операциялар (конъюнкция, дизъюнкция, терістеу, импликация және т.б.) енгізілген айтылымдар жиынындағы мәндермен бейнелетіндіктен, онда бұл операциялар (логикалық байламдар) предикаттар үшін де анықталады. Бұл жерде күрделі предикаттардың ақиқаттылық мәндері айтылымдарға арналған ережелер бойынша предикаттарды байланыстыратын мәндерден тәуелділікте болады. Кванторлар Квантор — қандай да предикаттың ақиқаттық обылысын шектейтін логикалық операциялар үшін жалпы атау. Математикалық логикада ∀ жалпылық кванторы мен ∃ бар болу кванторы жиі қолданылады. ∃ символы «табылады», «бар болады», «кем дегенде біреу», «минимум біреуі», «қандай да бір», «қандай болса да» және т.т. сөздерді алмастырады. Осы сөз тіркестерінің барлығының логикалық мағынасы бірдей. ∀ символы «барлығы үшін», «кез келгені үшін», «қандай болса да» және т.т. сөздерді алмастырады. Осы сөз тіркестерінің барлығының логикалық мағынасы бірдей. Кванторларды логикалық байламдардың жалпыламасы ретінде қарастыруға болады. Ақырсыз жиындарында анықталған предикаттар жағдайында жалпылық кванторы конъюнкцияны, ал бар болу кванторы – дизъюнкцияны жалпылайды. Кванторларды көпорынды предикаттарға да, және жалпы логикалық өрнектерге де тіркеп жазуға болады. ∀𝑥 немесе ∃𝑥 кванторларына тіркеліп жазылған өрнек квантор амалының обылысы деп аталады; осы өрнекке енетін барлық айнымалылар байланысқан болып табылады. Кванторлармен байланыспаған айнымалылар бос айнымалылар деп аталады. Мысалы, екі айнымалы 𝑃(𝑥, 𝑦) предикатында бір айнымалыға немесе екі айнымалыға кванторлық операцияларды қолдануға болады. Келесі айтылымдарды аламыз: ∀𝑥 𝑃(𝑥, 𝑦); ∀𝑦 𝑃(𝑥, 𝑦); ∃𝑥 𝑃(𝑥, 𝑦); ∃𝑦 𝑃(𝑥, 𝑦); ∀𝑥 ∃𝑦 𝑃(𝑥, 𝑦); ∀𝑥 ∀𝑦 𝑃(𝑥, 𝑦); ∃𝑥 ∀𝑦 𝑃(𝑥, 𝑦); ∃𝑥 ∃𝑦 𝑃(𝑥, 𝑦); ∀𝑦 ∀𝑥 𝑃(𝑥, 𝑦); ∀𝑦 ∃𝑥 𝑃(𝑥, 𝑦); ∃𝑦 ∀𝑥 𝑃(𝑥, 𝑦); ∃𝑦 ∃𝑥 𝑃(𝑥, 𝑦). Жалпы жағдайда кванторлардың орналасу реті айтылымдардың мағынасы мен оның логикалық мәнін өзгертеді. Предикаттардың теоретикалық-логикалық мағынасы Математикалық логика – математикалық әдістердің көмегімен дамитын логика екені бәрімізге белгілі. Сонымен қатар бұл терминнің басқа да мағынасы бар: математикалық логика – бұл математикада пайдаланылатын математика. Математикалық логиканың орталық идеясы – математикалық айтылымдарды символдар тізбегі түрінде жазып, оларға формалды ережелер бойынша операцияларды орындау. Бұл жағдайда пайымдаудың дұрыстығын олардың мағынасына терең бойламай, механикалық түрде тексеріледі. Әрбір айтылым және кез-келген логикалық пайымдау айтылымдар логикасы тілінде сипатталына бермейді. Кейде айтылымдар объектілердің қасиеттері немесе объектілер арасындағы қатынастар туралы болады. Сонымен қатар, кезкелген немесе қандай да бір объектілер белгілі бір қасиеттері бар немесе қандай-да бір байланыста болатындығын дәлелдеу мүмкіндігінің қажеттілігі болады. Сондықтан айтылымдар алгебрасының шеңберінде қарапайым деп есептелетін айтылымдардың құрылымы мен мазмұнын зерттеуге болатындай айтылымдардың логикасын кеңейту және логикалық жүйе құру керектігі алынады. Предикаттар логикасы осындай логикалық жүйе болып табылады, ал айтылымдар алгебрасы – оның құрамды бөлігі болып табылады. |