Лекция 3.5. 3. 5 Интервальные оценки. Доверительный интервал

• Название: 3. 5 Интервальные оценки. Доверительный интервал
• Дата: 06.09.2022
• Размер: 36.71 Kb.
• Имя файла: Лекция 3.5.docx
• Тип: Документы; #664504

3.5 Интервальные оценки. Доверительный интервал

Интервальнoй оценкой параметра   называется интервал, границы которого ₁ и ₂ являются функциями выборочных значений x_1, x_2, …, x_N и который с заданной вероятностью p накрывает оцениваемый параметр :
(3.49)
Интервал ( _{1, 2}) называется доверительным, его границы _1, и ₂, являются случайными величинами, – соответственно нижним и верхним доверительными пределами, вероятность p– доверительной вероятностью, а величина q = 1 – p – уровнем значимости, используемым при построении доверительного интервала. Доверительный интервал – интервал, который с заданной вероятностью накроет неизвестное значение параметра, оцениваемого по выборочным данным. Доверительная вероятность – вероятность того, что доверительный интервал накроет действительное значение параметра, оцениваемого по выборочным данным.

Оценивание с помощью доверительного интервала – способ оценки, при котором с заданной доверительной вероятностью устанавливают границы доверительного интервала.

Общая процедура получения интервальной оценки состоит в следующем: записывается вероятностное утверждение вида
(3.50)
где – функция плотности вероятности некоторой подходящей статистики . При этом значение и ищутся обычно с учетом дополнительных условий

(3.51)

аргумент выражения (3.50) преобразуется так, чтобы в окончательном виде оцениваемый параметр оказался заключительным между величинами, найденными по выборке. Это и будут границы доверительного интервала

( ).

Пусть для генерального параметра а получена из опыта несмещенная оценка а*. Назначим достаточно большую вероятность (такую, что событие с вероятностью можно считать практически достоверным) и найдем такое значение для которого

(3.52)
Диапазон практически возможных значений ошибки, возникающей при замене а на , будет ± . Большие по абсолютной величине ошибки будут появляться только с малой вероятностью q= 1 − , называемой уровнем значимости. Иначе выражение (3.52) можно интерпретировать как вероятность того, что истинное значение параметра а лежит в пределах
(3.53)
Здесь вероятность называется доверительной вероятностьюи характеризует надежность полученной оценки. Интервал называется доверительным интервалом. Границы интервала и называются доверительными границами.

При построении доверительного интервала решается задача об абсолютном отклонении:
(3.54)


Наилучшей оценкой для математического ожидания m_xявляется среднее выборки со стандартным отклонением среднего

Используя функцию Лапласа, получаем
P(| – | )=β= (3.55)

доверительный интервал для математического ожидания принимает вид
− ≤ m_x≤ + (3.56)

или

− ≤ m_x≤ + (3.57)


= / ≈ / ;

Θ_q/2 ≤ Θ ≤ Θ_{1− q/2} (3.58)


В качестве иллюстрации получим интервальную оценку математического ожидания m_x нормальной генеральной совокупности с известной дисперсий . Так как подчиняется нормальному распределению, то с учетом (3.50) соотношение (3.51) примет вид


После преобразования аргумента имеем
(3.59)
Следовательно, в данном случае

а ширина доверительного интервала
(3.60)

решение следующей задачи: до извлечения выборки объема N высказать определенное вероятностное утверждение относительно возможного выборочного среднего .
=p

(3.61)


Пример 3.6. Имеется нормативно распределенная случайная величина с =81. Произведено девять независимых наблюдений этой величины, по которой найдена оценка =11,2. Построить 95% процентный доверительный интервал, т. е. доверительный интервал с p=0,95.

С помощью (3.59) получаем 11,2 – U_а=0,025∙9/3≤m_x≤11,2+ U_а=0,025^.9/3.

С помощью (3.59) получаем

.

По таблице В.2 (приложение В) имеем =1,96 и окончательно: 5,32≤ m_x≤17,08.

Интерпретация данного 95% процентного доверительного интервала следующая: если для большого числа повторных независимых выборок объема N=9 строить подобные доверительные интервалы, то в 95% случаев они будут накрывать истинное значение m_x.