56, 57. Конечные, бесконечные, счетные и несчетные множества.. 56. Конечные множества. Бесконечные множества, счетные множества. Бертран Расселл Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое
 Скачать 33.5 Kb.
|
|
56. Конечные множества. Бесконечные множества, счетные множества. Бертран Расселл: «Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое». Мощность множества — это обобщение понятия количества (числа) элементов множества, которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные. Обозначается жидовской буквой  («алеф-нуль»). Конечные множества. Множество, не имеющее равномощного с ним собственного подмножества, а также пустое множество, называется конечным. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Два множества X и Y называются эквивалентными, если существует биективное отображение одного множества в другое. Если множества X и Y эквивалентны, то этот факт записывают X ῀ Y или и говорят, что множества имеют одинаковые мощности. Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа элементов. То есть для конечного множества понятие мощности совпадает с привычным понятием количества. Бесконечные множества. В теории множеств, счётное множество есть бесконечное множество, элементы которого возможно пронумеровать натуральными числами. Более формально: множество X является счётным, если существует биекция X ↔ N, где N обозначает множество всех натуральных чисел. Другими словами, счётное множество — это множество, равномощное множеству натуральных чисел. Счётное множество является «наименьшим» бесконечным множеством, то есть в любом бесконечном множестве найдётся счётное подмножество. Свойства. 1. Любое подмножество счётного множества не более чем счётно (т.е. конечно или счётно). 2. Объединение конечного или счётного числа счётных множеств счётно. 3. Прямое произведение конечного числа счётных множеств счётно. 4. Множество всех конечных подмножеств счётного множества счётно. 5. Множество всех подмножеств счётного множества континуально и, в частности, не является счётным. 57. Несчетные и континуальные множества. Бертран Расселл: «Множество есть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое». Мощность множества — это обобщение понятия количества (числа) элементов множества, которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные. Обозначается жидовской буквой («алеф-нуль»). Несчетные множества. Множество X действительных чисел, заключенных между 0 и 1, несчетно. Так же существует геометрическая версия этого утверждения: Множество всех точек отрезка [0,1] несчетно. Сколь велико бы ни было множество Х, множество всех его подмножеств имеет большую мощность. Это можно интерпретировать как аналог отсутствия самого мощного из конечных множеств, поскольку всегда есть натуральное число, больше данного. Мощность множества всех подмножеств счетного множества называется мощностью континуума. Континуальным множеством называется множество, равномощное множеству вещественных чисел. Например, совокупность всех точек отрезка прямой (или множество всех трансцендентных чисел). Говорят: «континуум», «множество мощности континуум» или «континуальное множество». |