6 Момент импульса. Уравнение моментов
 Скачать 231.65 Kb.
|
|
6.5. Момент импульса. Уравнение моментов При выводе уравнений (6.20) и (6.21) предполагалось постоянство во времени моментов инерции твердого тела и составляющих его точек. Более общее соотношение можно получить, вводя понятие момента импульса . L r Пусть материальная точка A, движущаяся по окружности радиуса rr , обладает импульсом p m υ = r r (рис. 6.9). Моментом импульса материальной точки * A относительно некоторой точки O называют векторное произведение радиуса- вектора, проведенного из точки O в данную точку A, и вектора импульса [ ] [ ] , , L r p r m υ = = r r r r r . (6.22) Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы L r rr и pr , и численно равен площади параллелограмма, сторонами которого являются эти векторы sin sin L rp rm υ = ϕ = ϕ . (6.23) При движении точки по окружности ее скорость перпендикулярна радиусу, поэтому sin 1 ϕ = Направление вектора определяется, как и L r M r , по правилу векторного произведения. Отметим, что векторы и L r M r являются аксиальными. Моментом импульса относительно некоторой оси называется проекция на эту ось момента импульса относительно любой точки, которая лежит на оси. Из рис. 6.10 видно, что эта величина не зависит от выбора точки O′ на оси. В самом деле cos z cos sin 2 L L r ′ ′ p r p rp L π ⎛ ⎞ ′ ′ = θ = θ = − θ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Выразив линейную скорость точки через угловую r = ω υ , получаем 2 L mr I = ω = ω Рис. 6.9 Рис. 6.10 . (6.24) Целесообразность введения момента импульса оправдана тем, что он связан с моментом силы важными соотношениями, которые можно полу- чить из закона динамики. Продифференцируем * В литературе можно встретить устаревшее название «момент количества движения». выражение (6.22) по времени [ ] , , , dL d dr dp r p p r dt dt dt dt ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = = + ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ r r r r r r r . (6.25) Если точка O (ось OZ) неподвижна, то производная dr dt = r r υ и первое слагаемое равно нулю как векторное произведение коллинеарных векторов [ ] 0 m υ, υ = r r . Второе слагаемое можно преобразовать с помощью закона динамики: dp dt F = r r . Тогда получим , dL r F dt ⎡ ⎤ = ⎣ ⎦ r r r или dL M dt = r r . (6.26) Полученное соотношение называется уравнением моментов для материальной точки: скорость изменения момента импульса материальной точки относительно неподвижной точки равна моменту действующих сил относительно той же точки. Оно справедливо при любом движении материальной точки (в том числе переменной массы) по произвольной траектории. Уравнение моментов можно обобщить на случай произвольной системы материальных точек. Моментом импульса системы материальных точек относительно некоторой точки O (или оси OZ) называют сумму моментов импульсов всех материальных точек относительно той же точки (оси) [ ] , i i i i i L L r = = p ∑ ∑ r r r r . (6.27) Запишем уравнения моментов (6.26) для всех точек системы и сложим их. При этом на внутренние силы внимания можно не обращать, поскольку, как уже отмечалось, их суммарный момент относительно любой точки равен нулю. Мы снова придем к уравнению моментов, но уже для системы материальных точек BH dL M dt = r r , (6.28) где BH M r — суммарный момент всех внешних сил, действующих на систему. Уравнение (6.28) можно переписать в виде: BH dL M dt = r r . (6.29) Произведение момента силы и времени ее действия называют импульсом момента силы. Тогда из выражения (6.29) следует, что изменение момента импульса системы за конечный интервал времени равно импульсу суммарного момента всех внешних сил, действующих на систему относительно той же точки, за то же время 2 1 2 1 BH t t L L L M d ∆ = − = ∫ r r r r t . (6.30) Формулы (6.28) и (6.29) являются наиболее общими формами записи закона динамики вращательного движения, поскольку они справедливы для тел и механических систем как с постоянным, так и с переменным моментом инерции. |