ыс. А. Б. Сергиенко минобрнауки россии санктПетербургский государственный электротехнический университет лэти им. В. И. Ульянова (Ленина) А. В. Петров а. Б. Сергиенко цифровая обработка сигналов лабораторный практикум
 Скачать 1.73 Mb.
|
|
Оптимальные методы. Чаще всего отправной точкой при расчете фильтра служит его желаемая частотная характеристика — либо АЧХ (когда фазовые характеристики не важны), либо комплексный коэффициент переда- чи. В качестве минимизируемой меры отклонения характеристики фильтра от заданной в общем случае используется p-норма ошибки e(ω) (ошибка представляет собой разность желаемой и получаемой характеристик): д 0 ( ) p p p L e d ω = ω ω ∫ (4.1) Чаще всего используются 2 значения p: p = 2 (квадратическая ошибка) и p = ∞ (максимальное абсолютное значение ошибки). Поскольку корень p-й степени, входящий в (4.1), при любом p является монотонно возрастающей функцией, при расчете минимизируемой величины его можно не вычислять. 50 Если при синтезе фильтра интерес представляет только его АЧХ, мини- мизируемая функция при использовании p-нормы ошибки рассчитывается следующим образом: д 0 ( ) ( ) ( ) p p L w D K d ω = ω ω − ω ω ∫ ɺ , (4.2) где D(ω) — желаемая АЧХ; ( ) K ω ɺ — АЧХ фильтра; w(ω) — неотрицательная вещественная весовая функция. Использование весовой функции позволяет придать разную значимость различным участкам частотной оси. В частности, это дает возможность задать переходные зоны, поведение АЧХ в которых не имеет значения. В этих зонах значение весовой функции должно быть нуле- вым. Как правило, функция w(ω) является кусочно-постоянной. Если необходимо аппроксимировать заданную частотную зависимость комплексного коэффициента передачи, норма ошибки аппроксимации рас- считывается так: д 0 ( ) ( ) ( ) p p L w D K d ω = ω ω − ω ω ∫ ɺ ɺ (4.3) Здесь ( ) D ω ɺ — желаемая комплексная частотная характеристика; ( ) K ω ɺ — частотная характеристика реального фильтра. Для рекурсивных фильтров минимизация критерия (4.2) или (4.3) требу- ет применения методов численной оптимизации. В случае же нерекурсивных фильтров, коэффициенты которых связаны с частотной характеристикой ли- нейно, возможны более простые подходы. В частности, синтез оптимальных нерекурсивных фильтров по критерию (4.3) при p = 2 приводит к минимиза- ции квадратической ошибки, а при p = ∞ — к минимаксной оптимизации. Минимизация квадратической ошибки сводится к решению системы линейных уравнений относительно коэффициентов нерекурсивного фильтра. Получающаяся при этом АЧХ фильтра имеет неравномерные пульсации (рис. 4.3, а), уровень которых возрастает вблизи частот, где желаемая частот- ная характеристика изменяется скачкообразно. Это связано с явлением Гиб- бса. Введение переходных полос, для которых w(ω) = 0, позволяет умень- шить уровень пульсаций на краях полос пропускания и задерживания, но эти пульсации все равно остаются неравномерными. 51 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.5 1 а б Рис. 4.3. Пульсации АЧХ при минимизации квадратической ошибки (а) и ЧХ при минимаксной оптимизации (б) Минимаксная оптимизация. При p = ∞ норма ошибки (4.3) равна мак- симальному абсолютному отклонению характеристики от заданной. Мини- мизация этой нормы, т. е. решение минимаксной (minimax) оптимизационной задачи ( ) { },{ } max ( ) ( ) ( ) min i i b a w D K ω ω ω − ω → ɺ ɺ , приводит к тому, что упомянутое максимальное абсолютное отклонение дос- тигается на нескольких частотах. Таким образом, данный подход приводит к фильтрам с равномерными пульсациями АЧХ (рис. 4.3, б), что математиче- ски выражается следующим образом: pass pass stop stop w d w d = , где w pass и w stop — значения кусочно-постоянной весовой функции w ( ω) в полосе пропускания и полосе задерживания соответственно; d pass — макси- мальное отклонение АЧХ от заданной в полосе пропускания; d stop — макси- мальное значение АЧХ в полосе задерживания. Для нерекурсивных фильтров минимаксная задача может быть решена с помощью элегантного итерационного метода, основанного на чебышевской аппроксимации с использованием алгоритма многократной замены Ремеза. Соответствующий алгоритм расчета применительно к синтезу дискретных фильтров разработан Парксом и Макклелланом и базируется на двух основ- ных положениях: 52 • максимальное абсолютное отклонение частотной характеристики от заданной наблюдается в экстремумах АЧХ, а также на граничных частотах полос пропускания и задерживания, причем знаки отклонения чередуются; • значение частотной характеристики на фиксированной частоте линей- но зависит от коэффициентов фильтра. Таким образом, если известны значения частот (их называют экстре- мальными), на которых наблюдается максимальное отклонение частотной характеристики от заданной, то для нахождения коэффициентов фильтра до- статочно решить систему линейных уравнений. Сущность алгоритма Паркса—Макклеллана заключается в итерацион- ном поиске экстремальных частот. После задания начального приближения циклически выполняются следующие действия: • составляется и решается система линейных уравнений для нахожде- ния коэффициентов фильтра, дающих частотную характеристику, отклоне- ния которой от заданной имеют на экстремальных частотах одинаковый мо- дуль и чередующиеся знаки; • рассчитывается частотная характеристика получившегося фильтра и определяются положения ее локальных экстремумов. В результате формиру- ется новый набор экстремальных частот. Перечисленные шаги выполняются до тех пор, пока изменение экстре- мальных частот не станет меньше заданного порога. Синтез с использованием окон является субоптимальным методом и предназначен для синтеза нерекурсивных фильтров. Идея его очень проста. Прежде всего задается желаемый комплексный коэффициент передачи в виде непрерывной функции, определенной в диапазоне частот от нуля до частоты Найквиста (если синтезируется вещественный фильтр) или до частоты дис- кретизации (если проектируется комплексный фильтр). Обратное преобразо- вание Фурье этой характеристики, вычисленное с учетом ее периодического характера, даст бесконечную в обе стороны последовательность отсчетов импульсной характеристики. Для получения реализуемого нерекурсивного фильтра заданного порядка эта последовательность усекается — из нее вы- бирается центральный фрагмент нужной длины. Простое усечение последовательности отсчетов импульсной характери- стики соответствует использованию прямоугольного окна. Из-за усечения первоначально заданная частотная характеристика искажается — она свора- 53 чивается со спектром окна. В результате появляются переходные полосы ме- жду областями пропускания и задерживания, наблюдаются колебания коэф- фициента передачи в полосах пропускания, а в полосах задерживания АЧХ, как правило, приобретает лепестковый характер. Для ослабления перечисленных эффектов и прежде всего для уменьше- ния уровня лепестков в полосах задерживания усеченная импульсная харак- теристика умножается на весовую функцию (окно), плавно спадающую к краям. Часто используемой на практике весовой функцией является окно Кай- зера, форма которого зависит от дополнительного параметра β. Существует эмпирическая формула, связывающая параметр β с уровнем подавления бо- ковых лепестков α (в дБ) при синтезе ФНЧ: 0,4 0, 21, 0,5842( 21) 0,07886( 21), 21 50, 0,1102( 8,7), 50. α < β = α − + α − ≤ α ≤ α − α > Аналогично методу минимизации квадратической ошибки для оконного метода характерны неравномерные пульсации АЧХ, уровень которых возрас- тает вблизи переходной зоны (см. рис. 4.3, а ). Однако в данном методе уров- ни пульсаций на краях полос пропускания и задерживания всегда примерно совпадают друг с другом. 4.3. Индивидуальное задание Требования к синтезируемому фильтру являются индивидуальными для каждой бригады и выдаются преподавателем в виде табл. 4.1. Таблица 4.1 Частота дискрети- зации Граница по- лосы про- пускания Граница по- лосы задер- живания Допустимая неравно- мерность АЧХ в поло- се пропускания Требуемое подавле- ние сигнала в полосе задерживания F д , кГц F pass , кГц F stop , кГц A pass , дБ A stop , дБ 4.4. Указания к выполнению работы Синтез фильтров выполняется с помощью графической среды Filter De- sign and Analysis Tool, входящей в состав пакета расширения Signal Process- ing Toolbox системы MATLAB. 54 1. Подготовка к началу работы. Запустите MATLAB и сделайте теку- щей папку вашей бригады. Для запуска среды Filter Design and Analysis Tool наберите в главном окне MATLAB следующую команду: fdatool Появится окно среды Filter Design and Analysis Tool. Переключатель Response Type (тип синтезируемой АЧХ) в процессе выполнения работы должен оставаться в положении по умолчанию — Low- pass (ФНЧ). 2. Метод билинейного преобразования. Установите переключатель Design Type (метод синтеза) в положение IIR (рекурсивные фильтры). В выпадающем списке, расположенном справа от пункта IIR, выберите фильтр Баттерворта (Butterworth) и выполните следующие действия: 1. Установите переключатель Filter Order в положение автоматического определения порядка фильтра (Minimum Order). 2. В разделе Frequency Specifications задайте частоту дискретизации (Fs) и граничные частоты полосы пропускания (Fpass) и задерживания (Fstop). В выпадающем списке Units должны быть выбраны абсолютные единицы измерения частоты, удобные для ввода чисел (в Гц или кГц). 3. В разделе Magnitude Specifications задайте величину неравномерно- сти АЧХ в полосе пропускания (Apass) и подавление сигнала в полосе за- держивания (Astop). В выпадающем списке Units должен быть выбран вари- ант dB (децибелы). 4. Произведите синтез фильтра, щелкнув на кнопке Design Filter. Зане- сите порядок получившегося фильтра в табл. 4.2 (он отображается в строке Order раздела Current Filter Information в левом верхнем углу окна среды FDATool). Таблица 4.2 Тип фильтра Порядок фильтра F pass , кГц F stop , кГц τ min , отсчеты τ max , отсчеты Баттерворта Чебышева 1-го рода Чебышева 2-го рода Эллиптический 55 5. Сохраните в отчете графики АЧХ, ФЧХ, групповой задержки, им- пульсной характеристики и расположения нулей и полюсов. Справка Для переноса необходимых графиков в документ Word следует щелкнуть в панели инструментов среды FDATool на кнопке Full View Analysis или выбрать команду меню View Filter Visualization Tool. Откроется окно ви- зуализатора характеристик фильтров, в котором можно копировать графики в буфер обмена с помощью команды меню Edit Copy Figure. 6. По графику АЧХ определите реальные границы переходной зоны по- лучившегося фильтра, т. е. определите частоты F pass и F stop (с точностью до 1 Гц), на которых коэффициент передачи в последний раз достигает значения −A pass (в дБ) и в первый раз достигает значения −A stop (в дБ). Измерения производятся визуально, с использованием средств масштабирования графи- ка. Занесите результаты в табл. 4.2. 7. По графику групповой задержки (Group Delay Response) определите минимальную (τ min ) и максимальную (τ max ) величину задержки (в отсчетах), вносимой фильтром в полосе пропускания (т. е. в диапазоне частот 0…F pass ). Измерения производятся визуально, с использованием средств масштабиро- вания графика. Занесите результаты в табл. 4.2. Повторите пункты 1–6 для оставшихся стандартных способов аппрок- симации прямоугольных АЧХ: • фильтр Чебышева 1-го рода (Chebyshev Type I); • фильтр Чебышева 2-го рода (Chebyshev Type II); • эллиптический фильтр (фильтр Золотарева—Кауэра) (Elliptic). 3. Синтез с использованием окон. Установите переключатель Design Method в положение FIR (нерекурсивный фильтр) и выберите метод синтеза с использованием окон (Window). Задайте автоматический расчет порядка фильтра (переключатель Filter Order в положении Minimum order) и убедитесь, что в разделах Frequency Specifications и Magnitude Specifications указаны требуемые значения. В разделе Options будет автоматически выбрано окно Кайзера (Kaiser), так как только для него поддерживается автоматический выбор порядка фильтра. Синтезируйте фильтр, занесите порядок получившегося фильтра в табл. 4.3 (он отображается в строке Order раздела Current Filter Informa- 56 tion в левом верхнем углу окна среды FDATool), сохраните для отчета гра- фики его АЧХ, импульсной характеристики и расположения нулей на ком- плексной плоскости. Измерьте по графику АЧХ минимальный и максимальный коэффициен- ты передачи фильтра в полосе пропускания (K p min и K p max ), а также макси- мальный коэффициент передачи в полосе задерживания (K s max ). Измерения производятся визуально, с использованием средств масштабирования графи- ка. Занесите результаты в табл. 4.3. Таблица 4.3 Метод синтеза Порядок фильтра K p min , дБ K p max , дБ K s max , дБ W stop Оконный — Минимаксный Среднеквадратический 4. Синтез по минимаксному критерию (метод Ремеза). Установите переключатель Design Method в положение FIR (нерекурсивный фильтр) и выберите минимаксный метод синтеза (Equiripple). Задайте автоматический расчет порядка фильтра (переключатель Filter Order в положении Minimum order) и убедитесь, что в разделах Frequency Specifications и Magnitude Specifications указаны требуемые значения. Синтезируйте фильтр, занесите порядок получившегося фильтра в табл. 4.3 (он отображается в строке Order раздела Current Filter Informa- tion в левом верхнем углу окна среды FDATool), сохраните для отчета гра- фики его АЧХ, импульсной характеристики и расположения нулей на ком- плексной плоскости. Измерьте по графику АЧХ минимальный и максимальный коэффициен- ты передачи фильтра в полосе пропускания (K p min и K p max ), а также макси- мальный коэффициент передачи в полосе задерживания (K s max ). Измерения производятся визуально, с использованием средств масштабирования графи- ка. Занесите результаты в табл. 4.3. Задайте ручной выбор порядка фильтра (переключатель Filter Order в положении Specify order) и установите порядок фильтра, получившийся при автоматическом его выборе. Постепенно увеличивая значение весового коэффициента для полосы задерживания (поле Wstop в разделе Magnitude Specifications) и синтезируя фильтр заново, добейтесь того, чтобы уровень боковых лепестков АЧХ удов- 57 летворял требованиям к подавлению сигнала в полосе задерживания (т. е. не превышал −A stop (в дБ)). Занесите найденное значение Wstop в табл. 4.3. 5. Синтез путем минимизации среднеквадратической ошибки. Уста- новите переключатель Design Method в положение FIR (нерекурсивный фильтр) и выберите метод синтеза по минимуму среднеквадратической ошибки (Least-squares). Задайте ручное указание порядка фильтра (переключатель Filter Order в положении Specify order) и введите значение порядка фильтра, полученное ранее в п. 4 при автоматическом выборе порядка для минимаксного метода. Убедитесь, что в разделах Frequency Specifications и Magnitude Specifi- cations указаны требуемые значения. Синтезируйте фильтр. Постепенно увеличивая значение весового коэффициента для полосы задерживания (поле Wstop в разделе Magnitude Specifications) и синтезируя фильтр заново, добейтесь того, чтобы уровень боковых лепестков АЧХ удов- летворял требованиям к подавлению сигнала в полосе задерживания (т. е. не превышал −A stop (в дБ)). Занесите найденное значение Wstop в табл. 4.3. Сохраните в отчете графики АЧХ фильтра, его импульсной характери- стики и расположения нулей на комплексной плоскости. Измерьте по графику АЧХ минимальный и максимальный коэффициен- ты передачи фильтра в полосе пропускания (K p min и K p max ), а также макси- мальный коэффициент передачи в полосе задерживания (K s max ). Измерения производятся визуально, с использованием средств масштабирования графи- ка. Занесите результаты в табл. 4.3. 6. Сохранение результатов синтеза. В завершение работы сохраните сеанс среды FDATool командой меню File Save session или Save session as. В сохраненном файле содержатся последние значения всех введенных во время работы параметров, что позволит при необходимости легко восстано- вить все полученные графики. 4.5. Содержание отчета Отчет должен содержать: • исходные данные в виде табл. 4.1; • формулу (получить самостоятельно) и построенный по ней график импульсной характеристики идеального дискретного ФНЧ с частотой среза, равной границе полосы пропускания F pass ; |