2 вар. 2 вариант. А Решение Найдем главный определитель значит, система совместна. Решаем методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду Получаем

• Название: А Решение Найдем главный определитель значит, система совместна. Решаем методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду Получаем
• Анкор: 2 вар
• Дата: 01.05.2022
• Размер: 218.49 Kb.
• Имя файла: 2 вариант.docx
• Тип: Решение; #506429

Контрольная работа № 1

1. Даны системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Решить их тремя способами: 1) Методом Гаусса, 2) Методом Крамера, 3) Методом обратной матрицы

а)

Решение:

Найдем главный определитель:



значит, система совместна.

Решаем методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду:



Получаем:



Решение системы: .

Решаем методом Крамера:

находим остальные определители путем замены столбцов матрицы столбцом свободных членов:







По формулам Крамера получаем: , , .

Решение системы: .

Решаем матричным методом:





Получаем:



Решение системы: .
б)

Найдем главный определитель:

, значит, система совместна.

Решаем методом Гаусса. Запишем расширенную матрицу системы и приведем ее к ступенчатому виду:



Получаем:



Решение системы: .

Решаем методом Крамера:

находим остальные определители путем замены столбцов матрицы столбцом свободных членов:







По формулам Крамера получаем: , , .

Решение системы: .

Решаем матричным методом:





Получаем:



Решение системы: .
2. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей

а)

Решение:

Составим характеристическое уравнение и найдем собственные числа:



Для каждого числа найдем его вектор:





Фундаментальная система: . Пусть , тогда



Фундаментальная система: . Пусть , тогда



Фундаментальная система: . Пусть , тогда
б)

Решение:

Составим характеристическое уравнение и найдем собственные числа:



Для каждого числа найдем его вектор:





Фундаментальная система: . Пусть , тогда

Фундаментальная система: . Пусть , тогда



Фундаментальная система: . Пусть , тогда


Контрольная работа №2

1. Даны четыре вектора , , и в некотором базисе. Построить новый базис из данных векторов и выразить небазисный вектор в этом базисе.

_а) , , ,

_{Решение:}

Используем признак линейной независимости для векторов с числовыми координатами. Вычисляем определитель:

, значит, система векторов линейно независима и образует базис.

Найдем координаты вектора в этом базисе, решая систему:

Проведем разложение вектора по базису , , . Запишем разложение вектора в координатной форме: . Получаем систему уравнений:



Решаем методом Гаусса:



Получаем:



_{Получили разложение вектора}
б) , , ,

_{Решение:}

Используем признак линейной независимости для векторов с числовыми координатами. Вычисляем определитель:

, значит, система векторов линейно независима и образует базис.

Найдем координаты вектора в этом базисе, решая систему:

Проведем разложение вектора по базису , , . Запишем разложение вектора в координатной форме: . Получаем систему уравнений:



Решаем методом Гаусса:



Получаем:



_{Получили разложение вектора}
2. Даны координаты вершин пирамиды А₁,А₂,А₃,А₄. Найти:

1) длины ребер А₁А₂, А₁А₃, А₂А₃, А₃А₄;

2) угол между ребрами А₁А₂, А₁А₃;

3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4) площадь грани А₁А₂А₃;

5) объем пирамиды;

6) уравнение прямых А₁А₂, А₁А₄;

7) уравнение плоскостей А₁А₂А₃, А₁А₂А₄;

8) угол между плоскостями А₁А₂А₃, А₁А₂А₄;

9) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃.

а) А₁(1,1,2), А₂(0,1,6), А₃(-1,2,2), А₄(1,3,4)

Решение:

1) длины ребер А₁А₂, А₁А₃, А₂А₃, А₃А₄:





2) угол между ребрами А₁А₂, А₁А₃:



3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃:

Сначала найдем уравнение грани А₁А₂А₃:



Находим угол:

4) площадь грани А₁А₂А₃:



5) объем пирамиды:



6) уравнение прямых А₁А₂, А₁А₄:





7) уравнение плоскостей А₁А₂А₃, А₁А₂А₄:

уравнение грани А₁А₂А₃ мы уже нашли в п. 3:



Уравнение грани А₁А₂А₄:



8) угол между плоскостями А₁А₂А₃, А₁А₂А₄:



9) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃:


б) А₁(-1,-2,1), А₂(-2,-2,5), А₃(-3,-1,1), А₄(-1,0,3)

Решение:

1) длины ребер А₁А₂, А₁А₃, А₂А₃, А₃А₄:





2) угол между ребрами А₁А₂, А₁А₃:



3) угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃:

Сначала найдем уравнение грани А₁А₂А₃:



Находим угол:

4) площадь грани А₁А₂А₃:



5) объем пирамиды:



6) уравнение прямых А₁А₂, А₁А₄:





7) уравнение плоскостей А₁А₂А₃, А₁А₂А₄:

уравнение грани А₁А₂А₃ мы уже нашли в п. 3:



Уравнение грани А₁А₂А₄:



8) угол между плоскостями А₁А₂А₃, А₁А₂А₄:



9) уравнение высоты, опущенной из вершины А₄ на грань А₁А₂А₃:


3. Привести к каноническому виду и определить типы кривых второго порядка



<sub>Решение:

б)</sub>

Решение:

<sub>Приведем уравнение к каноническому виду:



Получили уравнение гиперболы с центром в точке (-1, 8). Строим его:</sub>