методика экзамен. Цели и содержание обучения по математике в 56 классах

• Название: Цели и содержание обучения по математике в 56 классах
• Дата: 27.04.2023
• Размер: 65.83 Kb.
• Имя файла: методика экзамен.docx
• Тип: Документы; #1093791

1)Цели и содержание обучения по математике в 5-6 классах

Целью изучения курса математики в 5-6 классах является систематическое развитие понятия числа, выработка умений выполнять устно и письменно арифметические действия над числами, переводить практические задачи на язык математики, подготовка учащихся к изучению систематических курсов алгебры и геометрии. Курс строится на индуктивной основе с привлечением элементов дедуктивных рассуждений. Теоретический материал курса излагает­ся на наглядно-интуитивном уровне, математические методы и законы форму­лируются в виде правил. В ходе изучения курса математики 5-6-х классов учащиеся развивают на­выки вычислений с натуральными числами, овладевают навыками действий с обыкновенными и десятичными дробями, положительными и отрицательными числами, получают начальные представления об использовании букв для запи­си выражений и свойств, учатся составлять по условию текстовой задачи не­сложные линейные уравнения и решать их, продолжают знакомство с геомет­рическими понятиями, приобретают навыки построения геометрических фигур и измерения геометрических величин.

5 Класс

Натуральные числа: чтение и запись натуральных чисел; сравнение нату­ральных чисел; округление натуральных чисел; действия: сложение, вычита­ние, умножение, деление; законы арифметических действий.

Число нуль, операции с нулем; числовой луч. Десятичные дроби: понятие обыкновенной дроби; сравнение обыкновенных дробей с равными знаменателями; правильные и неправильные дроби; сложение и вычитание дробей с рав­ными знаменателями; изображение десятичных дробей на числовом луче; деся­тичные дроби как частный случай обыкновенных дробей; действия с десятич­ными дробями. Понятие процента, решение задач на проценты.

6 Класс

Делимость натуральных чисел: делители и кратные числа; признаки дели­мости чисел; простые числа. Обыкновенные дроби: обыкновенная дробь как част­ное от деления; основное свойство дроби, сокращение дробей; операции с обык­новенными дробями, десятичные приближения обыкновенных дробей.

Положительные и отрицательные числа: числовая ось, противоположные числа, сравнение чисел, сложение, вычитание, умножение и деление рацио­нальных чисел.

2)Цели и содержание обучения алгебре в 7-9классах

Алгебра является одним из опорных курсов основной школы: она обеспечивает изучение других дисциплин как естественно-научного, так и гуманитарного циклов, её освоение необходимо для продолжения образования и полезно для повседневной жизни.

Изучение алгебры естественным образом обеспечивает развитие умения наблюдать, сравнивать, находить закономерности, требует критичности мышления, способности аргументированно обосновывать свои действия, выводы, формулировать утверждения.

Содержание учебного курса

7класс

Математический язык, математический модуль. Линейная функция. Систему двух линейных функций с двумя переменным.

Степень с натуральным показателем и его свойства. Одночлены, арифметические операции над одночленами.

Понятие многочлена, стандартный вид многочлена.

Разложение многочленов на множители.

Функция у=х^2

8класс

Алгебраические дроби. Свойства квадратного корня.

Квадратичная функция. Функция у=k/х

Квадратные уравнения. Неравенства.

9 класс

Рациональные неравенства и их системы.

Системы уравнений. Числовые функции.

Прогрессии. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятности.

3) цели и задачи обучения алгебре и началам анализа в старших 10-11 классах

• формирование представлений о математике как универсальном языке науки, средстве моделирования явлений и процессов, об идеях и методах математики;
• развитие логического мышления, пространственного воображения, алгоритмической культуры, критичности мышления на уровне, необходимом для будущей профессиональной деятельности, а также последующего обучения в высшей школе;
• овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для изучения школьных естественнонаучных дисциплин на базовом уровне, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки;
• воспитание средствами математики культуры личности, понимания значимости математики для научно-технического прогресса, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры через знакомство с историей развития математики, эволюцией математических идей.
Задачи обучения:
• приобретение математических знаний и умений;
• овладение обобщенными способами мыслительной, творческой деятельностей;
• освоение компетенций (учебно-познавательной, коммуникативной, рефлексивной, личностного саморазвития, ценностно-ориентационной) и профессионально-трудового выбора.

4) методика изучения числовых систем в школе: методика изучения натуральных и целых, добрых итд

Изучение чисел в школьном курсе математики ведется в такой последовательности: натуральные числа, нуль, дроби (положительные), отрицательные чисел и множество рациональных чисел, иррациональные числа и множество действительных чисел. В математике дроби возникли значительно раньше, чем отрицательные числа. В современной математике принята другая последовательность: N Z Q R (логическая схема развития понятия числа). От исторической она отличается более ранним введением отрицательных чисел. Поэтому в такой последовательности после натуральных чисел изучаются целые числа. Приверженность школьного курса исторической схеме объясняется тем, что понятие дроби доступнее, чем понятие отрицательного числа.

5) методика изучения тождественных преобразований.

Тождественные преобразования не являются какой-либо отдельной темой школьного курса математики, они изучаются на протяжении всего курса арифметики, алгебры и начал анализа. Материал линии связан

- с обобщением операций над числами;

- проведением вычислений в общем виде;

- обучением использования буквенной символики в математике и ее приложениях.

Существует два подхода к изучению линии тождеств: алгебраический и функциональный.

Алгебраический подход. Больше внимания уделяется букве и операциям над буквенными выражениями. На выражение смотрят формально, не задумываясь над тем, что скрывается под буквами. Все преобразования опираются на правила действий и свойства действий.

Функциональный подход. Входящие в выражения буквы понимаются как переменные, а тождественные преобразования опираются на условие равенства функций (равенство значений функций при всех допустимых значениях переменной).

6)уравнения и неравенства в школьном курсе математики.

Среди уравнений, изучаемых в школе, различают алгебраические и трансцендентные. К алгебраическим относят линейные, квадратные, кубические, биквадратные, дробно-рациональные, иррациональные. К трансцендентным – показательные, логарифмические и тригонометрические.

Принцип решения уравнений и неравенств основан на понятии равносильности. Уравнения (неравенства), имеющие одно и то же множество корней (решений), называются равносильными. С учениками рассматривают положения равносильности:

• 
  прибавление к обеим частям уравнения одного и того же числа или выражения (не теряющего смысла);
  
• 
  умножение каждой части уравнения на одно и то же, не равное нулю, число;
  
• 
  возведение обеих частей уравнения в одну и ту же нечетную степень.
  

7)методика изучения функции в школьном курсе математики

 А школьном курсе математики понятие функции способствует межпредметной интеграции – математики с физикой, алгебры с геометрией, а также внутрипредметной интеграции – теории чисел, теории множеств и др.

Функцией называется такая зависимость, при которой каждому значению переменной x (из некоторого числового промежутка) ставится в соответствие по определенному правилу единственное значение переменной y. Отсюда вытекают следующие два требования к заданию функции:

1. 
   указать область ее определения, т.е. числовой промежуток;
   
1. 
   указать правило, по которому каждому числу x их области определения сопоставляется число y.
   

Функция может быть задана различными способами. Исторически первым был аналитический способ задания функции, который состоит в том, что устанавливается формула, при помощи которой по заданным значениям аргумента мы получаем значения функции. Табличный способ задания часто применяется в естествознании и технике, когда исследуются зависимости между явлениями, процессами. Словесный способ задания функции возможен в тех случаях, когда функция задается описательно. Графический способ задания функции имеет неоспоримое преимущество – наглядность.

Вопрос 8. Методика изучения производной и её приложений.

Одной из центральных тем в курсе «Алгебры и начал анализа» является тема «Применение производной». Если в теме «Производная» понятие производной выступало в качестве предмета изучения, то в данной теме оно является средством изучения других вопросов курса математики. А именно рассматривается применение производной к исследованию функций и решению задач на оптимизацию.

При изучении вопроса о построении касательной к графику функции следует обращать внимание обучающихся на следующие два факта:

1. 
   Если производная функции в какой-либо точке существует, то это означает, что к графику функции в этой точке можно провести касательную, и притом только одну; если же производная в какой-либо точке не существует, то такой касательной провести нельзя или касательная вертикальна.
   
2. 
   Если производная функции в какой-либо точке равна 0, то это означает, что угловой коэффициент касательной, проведенный к графику функции в этой точке, равен нулю, а из этого в свою очередь следует, что касательная, проведенная к графику функции в этой точке, параллельна оси абсцисс.
   

С помощью производной аналитически устанавливают много важных свойств функции. Если производная функции существует в каждой точке некоторого промежутка, т.е. функция дифференцируема на нем, то она непрерывна на этом промежутке; обратное утверждение неверно. Если производная функции положительна на некотором промежутке, то функция на этом промежутке возрастает; если производная отрицательна – убывает. Если функция дифференцируема в окрестности некоторой точки и имеет в этой точке производную, равную нулю, то данная точка является точкой максимума, или минимума, или точкой перегиба. Точки, в которых производная равна нулю, называют стационарными. Точки, в которых производная равна нулю или в которых функция недифференцируема, называют критическими. Функция может иметь экстремум в точке, в которой она не имеет производной, например y = | x | в точке x = 0.

Стандартно определение вида экстремума связано с переменой знака производной функции при переходе через точку экстремума. Желательно показать обучающимся, что это можно сделать проще – по знаку второй производной: если вторая производная в этой стационарной точке положительна, то данная точка есть точка минимума; если отрицательна, то данная точка – точка максимума; если равна нулю, то точка перегиба.

Кроме критических точек, важное значение имеют точки разрыва функции, нули функции, а также точка x = 0. Если область определения функции состоит из нескольких промежутков, то полезно рассматривать граничные точки, т.е. концы промежутков.

Исследование функции с помощью производной проводится по общей схеме:

а) нахождение области определения функции;

б) нахождение производной функции;

в) нахождение критических точек данной функции;

г) нахождение промежутков монотонности и экстремумов функции (проведенное исследование оформляют в виде таблицы);

д) построение графика функции.

За годы изучения курса алгебры ученики имеют определенный опыт отыскания наибольшего и наименьшего значения. Чаще всего эту задачу решают с помощью графика. В некоторых случаях можно найти наибольшее и наименьшее значения функции и без помощи графика. В более сложных случаях используется производная. Эту мысль следует довести до обучающихся. Они должны понимать, что производная в данном случае – не панацея, а лишь одно из возможных средств для достижения цели.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения непрерывной на отрезке функции нужно:

1. 
   найти значения функции на концах отрезка;
   
2. 
   найти ее значения в критических точках;
   
3. 
   из найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее.
   

Процесс решения задач на оптимизацию проходит по следующему алгоритму:

1. 
   Выявить величину, наименьшее (наибольшее) значение которой требуется найти.
   
2. 
   Ввести переменную, через которую выражается эта величина.
   
3. 
   Указать допустимые значения введенной переменной.
   
4. 
   Записать величину как функцию введенной переменной.
   
5. 
   Найти наименьшее (наибольшее) значение функции или точку, в которой оно достигается на заданном интервале.
   

Вопрос 9. Методика изучения первообразной и интеграла.

Теме «Первообразная» предшествует тема «Первообразная и ее применение». Такая последовательность изучения материала создает предпосылки для

1. 
   понимания учениками взаимосвязи между операциями дифференцирования и интегрирования функций, а также основной идеи метода дифференциального и интегрального исчислений (зная функцию, можно установить характер локальной ее изменяемости в зависимости от изменения аргумента, и наоборот6 зная характер локальной изменяемости функции, можно найти либо саму функцию (при заданных начальных условиях), либо семейство функций;
   
2. 
   осознания обучающимися того факта, что аппарат производной и интеграла – основа метода математического анализа: он выступает и как язык, описывающий многие явления, процессы мира, и как инструмент, с помощью которого с учетом особенностей языка исследуются эти явления и процессы.
   

При рассмотрении элементов интегрального исчисления реализуется идея линеаризации. С точки зрения механики скорость прямолинейного движения определяется как производная пути по времени. Если теперь рассмотреть обратную задачу – нахождения пути, пройденного точкой с заданной скоростью, то придем к функции, которую называют первообразной к исходной функции. Так как производная постоянной равна нулю, то первообразная определяется с точностью до постоянной.

Если скорость меняется по закону v = v(t) и ее графиком является некоторая кривая, то путь, пройденный точкой за промежуток времени [t; t + h], приближенно равен площади прямоугольника со сторонами v(t) и h. Точное значение пути будет равно площади образовавшейся криволинейной трапеции. Если в заданную кривую v(t) вписать некоторую ломаную, то путь можно вычислить с лучшим приближением, заменив площадь криволинейной трапеции суммой площадей прямоугольников разбиения. Чем меньше будет основание прямоугольников, тем ближе сумма их площадей будет выражать площадь криволинейной трапеции. Так процесс линеаризации приводит к понятию определенного интеграла.

Учебный материал строится так, что вначале вводится понятие первообразной. Таблица первообразных получается из таблицы производных. В курсе математики средней школы нет понятия неопределенного интеграла (хотя в учебнике А.Г. Мордковича этот термин используется), поэтому определенный интеграл называют просто интегралом. Введение понятия определенного интеграла осуществляется в виде предела интегральных сумм. Интегральная сумма рассматривается в общем виде (отрезки разбиения могут быть необязательно равными) и предназначена только для ознакомления с понятием интеграла. Желательно, чтобы ученики понимали, что об интегральной сумме функции на отрезке, а затем и интеграле можно говорить и в том случае, когда функция не только непрерывна и положительна, но и принимает на этом отрезке любые значения, в том числе и отрицательные, и ноль. Формула Ньютона – Лейбница вводится практически одновременно с термином «интеграл». Эта формула является главной: с ее помощью вычисляются определенные интегралы.

Центральное место во всем разделе, связанном с изучением элементов интегрального исчисления, занимает вычисление площадей плоских фигур. Основной фигурой считается криволинейная трапеция. При изучении этого материала важно правильно расставлять акценты: главное здесь – построение геометрических моделей и снятие соответствующей информации с чертежа, а не вычисление интегралов. Не ради изучения интеграла считаются площади, наоборот, интеграл изучается ради вычисления площадей.

Интеграл:

1. Вводить все существующие понятия и определения наиболее естественным путем.

2. Как можно чаще привлекать учащихся к самостоятельному изучению и определению рассматриваемого понятия.

3. В процессе изучения выявлять связи интеграла с уже известными понятиями.

4. Стараться мотивировать вводимые понятия, термины, определения, увеличивать их значимость.

5. Как можно чаще повторять учащимися известные математические понятия, которые связаны с изучением интеграла.

6. Постоянно следить за речью учащихся, требовать четкости, краткости, строгости в определении понятий. [3]

7. Перед самым введением понятия интеграла и первообразной целесообразно повторить с учащимися взаимообратные операции. [4] По сути, интеграл является одним из ключевых понятий математического анализа. Чтобы задать понятие интеграла нужно дать определение производной функции. Первообразной функция F(x) для функции y=f(x) называется тогда, когда на некотором промежутке (a,b) для любого x∈(a,b) выполняется равенство F′(x)=f(x). [5]

8. Далее важно выдать ученикам рассмотреть таблицу нахождения производных функции.

9. Весьма целесообразно обратить внимание учащихся на то, что интеграл зависит только от вида подынтегральной функции и пределов интегрирования и не зависит от переменного интегрирования.

10. Для активизации познавательной деятельности учащихся важно предложить самостоятельно доказать некоторые свойства интеграла, а, также, рассмотреть задачи из учебников геометрии и физики, в решении которых используется интеграл. [6]

11. Важно объяснить ученикам, что любые навыки нахождения интегралов могут пригодиться не только в математике, но и в других точных дисциплинах. Таблица является основой интегрального исчисления. Для того чтобы использовать ее достаточно лишь найти необходимые значения. [7]

12. Необходимо продемонстрировать как можно больше примеров решения интегралов, не требовать от учеников скорого понимания и идеального решения, лишь в процессе изучения и решения задач указывая на ошибки.

Необходимо отметить, что интеграл в общеобразовательной школе изучается только в 11 классе. По ФГОС СОШ на базовом уровне на изучение темы отводится 8 часов, рассматриваются темы: «Первообразная», «Определенный интеграл» и проводится контрольная работа. В учебниках базового уровня сначала вводится понятие первообразной, указываются правила отыскания первообразных, составляется их таблица, затем определяется площадь криволинейной трапеции. Далее вводится понятие определенного интеграла, рассматриваются физические задачи на приложение интеграла. В профильных классах так же, как и в классах базового уровня, сначала вводится понятие первообразной, правила отыскания первообразной, составляется таблица первообразных. Так же, определяется понятие неопределенного интеграла, его свойства, рассматриваются методы интегрирования. После определяется площадь криволинейной трапеции через площадь ступенчатой фигуры, понятие определенного интеграла через приращение первообразной и по формуле Ньютона - Лейбница. Обобщается понятие определенного интеграла для неограниченных функций и с бесконечными пределами, вводится интеграл с переменным верхним пределом, указываются свойства определенного интеграла, выражаемыми равенствами и неравенствами, и так далее. [8]

В основном, с самого начала изучения раздела «интеграл», операция интегрирования определяется учителем как операция, обратная дифференцированию, далее вводится понятие первообразной, при этом, не вводится ни определение неопределенного интеграла, ни его обозначение. Таблица правил интегрирования в этом случае естественно получается из таблицы производных. Формулируется утверждение, что все первообразные для функции F(x) имеют вид F(x)+С, где F(x) - первообразная, найденная в таблице. Связь между первообразной и площадью криволинейной трапеции устанавливается формулой Ньютона - Лейбница. Далее возникает определенный интеграл как предел интегральной суммы, однако, при этом, формула Ньютона - Лейбница также оказывается справедливой. [9]

Подводя итоги, можно сказать, что интеграл - это одно из те понятий в школьном курсе математике, которое позволяет найти площадь под кривой, которое помогает вникнуть в изучение математического анализа. Данная тема рассматривается только 11 классе школы, и в разных учебниках по математике прописана своя последовательность, но, при этом, все они структурированы так, чтобы максимально понятно и логично преподать информацию ученикам. В остальном уже дело за самими учителями и учениками. В целом, весьма полезно решать задачи, так как они способствуют лучшему развитию мышления. Например, решение задач с применением определенного интеграла способствуют развитию абстрактного мышления, но, при этом, для решения таких задач необходима база теоретических обобщенных знаний по математике.

Вопрос 10. Методика изучения комбинаторики, теории вероятностей и элементов математической статистики.
Если подходить детально и поэтапно, то школьный курс теории вероятностей лучше начинать еще в 5 классе. Началом теории вероятностей является комбинаторика, где задачи будут решены методом перебора,то есть учащиеся исследуют все возможные варианты решения. Разумеется,необходимо рассмотреть решение комбинаторных задач с помощью дерева возможных вариантов. Следующий этап обучения учащиеся –это рассмотрение событий: случайных, достоверных, невозможных, равновозможные,
равновероятные события, которые иллюстрируются на житейских примерах Необходимо также рассмотреть правило умножения, которое является новым средством решения комбинаторных задач,
которое звучит так: «если первый элемент некоторой пары можно выбрать m способами и для каждого из этих способов второй элемент можно выбрать n способами, то эту пару можно выбрать m*n способами» .Отдельной главой необходимо рассмотреть основные статистические характеристик[3]:среднее
арифметическое (средним арифметическим ряда чисел называется частное от деления суммы этих чисел на их количество), мода (модой называют число ряда, которое встречается в этом ряду
наиболее часто),размах (размах —это разность между наибольшим и наименьшим значениями ряда данных),медиана(медиана —это число, которое разделяет ряд данных на две части, одинаковые
по количеству членов), которые должны иллюстрируются множеством примеров из жизни.Уже в старших классах изучаются статистические исследования, вводится определение статистики(наука, изучающая, обрабатывающая и анализирующая количественные данные о самых разнообразных массовых явлениях в жизни)[4], рассматриваются новые понятия выборка, репрезентативность, генеральная совокупность, ранжирование, объем выборки. Вводится новый способ графического представления результатов -полигоны. Изучаются новые понятия выборочной дисперсии и среднее квадратичное
отклонение. Изучение последних требует не только понимания основ, данных ранее, но и более детального и внимательного отношения, ибо в математике, как и в жизни –чем дальше, тем сложнее. Изучение теорем необходимо продемонстрировать на конкретных примерах, иллюстрирующих их применение, но это мы предоставим школьным учителям, а сами просто огласим содержание данных теорем, и так, теорема сложения вероятностей звучит так: «вероятность суммы двух несовместных событий равна
сумме вероятностей этих событий», и, соответственно формула к данной теореме Р(А + В) = Р(А) + Р(В)[5]. Теорема умножения вероятностей «Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного события на условную вероятность другого при условии, что первое событие
произошло», формула к ней выглядит так Р(АВ)=Р(А)*Р(В/А)[6].
Наряду с данными теоремами в курсе математики изучается и теория множеств —раздел математики, в котором изучаются общие свойства множеств —совокупностей элементов произвольной природы, обладающих каким-либо общим свойством .Если учащиеся будут обладать знаниями теории множеств, то они смогут увидеть связь между операциями над событиями и операциями над множествами..На первых порах, необходимо составить сводную таблицу, отражающая основную информацию.

Вопрос 11. Методика изучения тригонометрии в школе.

Тригонометрии в школе традиционно уделяется много внимания - сначала в курсе геометрии, затем в курсе алгебры и начал анализа. А.Г.Мордкович предлагает построить изучение темы «Тригонометрия» по следующей схеме: функция – уравнения – преобразования. Объясняется это тем, что сначала целесообразно изучить «простые модели» (таковыми являются элементарные функции), а затем переходить к изучению «сложных моделей» (таковыми в математике являются сложные выражения, которые нужно упрощать, используя формульный аппарат). Таким образом, изучение данной темы следует построить по следующей схеме: 1. рассмотрение тригонометрической формы записи действительного числа и ее свойств. Основной целью является изучить новые математические модели – числовую окружность и числовую окружность на координатной плоскости; познакомить учащихся с первым классом неалгебраических функций – тригонометрическими функциями; научить школьников находить значение тригонометрических функций некоторого аргумента по известному значению другой функции того же аргумента; дать представление о градусной и радианной мерах измерения углов. 2. Собственно тригонометрические уравнения. Основная цель – научить школьников решать простейшие тригонометрические уравнения. Сначала надо разобраться с «элементарными моделями», т.е. с простейшими тригонометрическими уравнениями и уравнениями, которые сводятся к простейшим с помощью алгебраических приемов, и только потом переходить к «сложным моделям», т.е. к уравнениям, которые надо сначала долго и упорно «раскручивать, используя рутинный аппарат формул». 3. Тригонометрическими формулами следует заняться после того, как учащиеся овладеют двумя «китами», на которых базируется курс тригонометрии: числовой окружностью и простейшими уравнениями. Основная цель – познакомить учащихся с основными тригонометрическими формулами, научить находить нужную формулу для доказательства тригонометрических тождеств, упрощения тригонометрических выражений. После того, как пройдена тема «Простейшие тригонометрические уравнения», учащимся предлагаются задания с использованием формул тригонометрии. Отсюда и вытекает для учащихся польза от изучения формул: «жуткие» уравнения принимают после преобразований вполне знакомый вид.

Согласно стандарту полного общего образования в теме «Основы тригонометрии» должны быть рассмотрены следующие темы: синус, косинус, тангенс, котангенс произвольного угла; радианная мера угла; синус, косинус, тангенс, котангенс числа; основные тригонометрические тождества; формулы привидения; синус, косинус, тангенс суммы и разности двух углов; синус, косинус двойного угла; формулы половинного угла; преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму; выражение тригонометрических функций через тангенс половинного аргумента; преобразование простейших тригонометрических выражений; простейшие тригонометрические уравнения; решение тригонометрических уравнений; простейшие тригонометрические неравенства; арксинус, арккосинус, арктангенс числа; тригонометрические функции, их свойства и графики, периодичность, основной период.

Вопрос 12. Общая характеристика курса планиметрии в школе.

Как одна из основных математических дисциплин школьный курс геометрии – важнейший компонент общечеловеческой культуры: пространство, которое нас окружает и его восприятие во многом способствуют становлению миропонимания и мировоззрения человека. С древних времен интеллектуальная деятельность отдельного человека и всей цивилизации развивалась наряду с геометрической. Это позволяет делать вывод о том, что геометрия рассматривается как «феномен общечеловеческой культуры». Поэтому незнающий геометрию не может считать себя культурным человеком.

По мнению Г. Д. Глейзера одним из важных факторов, обеспечивающих подготовленность учащихся к самообразованию и дальнейшему непрерывному обучению в различных научных сферах, является геометрическое развитие, благодаря которому формируются интеллектуальные способности человека. Геометрия обеспечивает всестороннее развитие логического, образного, наглядно – действенного мышления учащихся.

Сравнивая геометрию с другими математическими дисциплинами, стоит отметить ее большую направленность на развитие логики мышления учащихся. Представленный в учебниках по геометрии для учащихся 7-9 классов авторов Л. С. Атанасяна и др., А. В. Погорелова аксиоматический метод построения курса планиметрии, широко изучаемой в школах, имеет максимальную пропорциональность, последовательность и логическую строгость. Это обуславливает обширное применение логики как науки в геометрии. Логика отсутствует в школе как самостоятельный предмет, учителя математики на уроках математики и особенно геометрии (планиметрии) формируют у учащихся способности применять важнейшие понятия, правила и законы логики в практической деятельности. Данное трудовое действие учителя тяжело реализовывать в современных условиях преподавания, так как трудно выделить логическое содержание учебников, по которым осуществляется образовательный процесс, оно не представлено в явном виде и приходится самостоятельно подбирать способы развития логического мышления учащихся. Для осуществления данного процесса необходимо четко представлять логическую структуру курса, логические основы геометрических понятий, утверждений, доказательств теорем и решений задач.

Основные разделы, отражающие планируемые предметные, личностные и метапредметные результаты, в процессе изучения курса планиметрии 7-9 класса по учебнику автора Л. С. Атанасяна и др. из расчета 68 часов в году по 2 часа в неделю представлены в приложении 1 (См. Приложение 1). Как говорилось ранее, курс планиметрии в школе основан на аксиоматическом построении и рассчитан на учащихся, не ориентированных на углубленное изучение математики. При доказательстве теорем, решении задач, при определении некоторого понятия мы можем опираться только на ранее изученные и всем известные факты, которые также сформировываются с помощью ранее известных. Это означает, что существуют некоторые первоначальные понятия, свойства которых описывают аксиомы. В учебнике представлены понятия и отношения, относящиеся к основным понятиям планиметрии без определения: «точка», «прямая», «наложение», «лежать между», «принадлежать». Например, при изучении понятия «трапеция» удобно представить следующую схему:



Учащимся дается представление об аксиоматическом построении курса в начале учебника при определении аксиом как утверждений о свойствах геометрических фигур, принимающихся в качестве исходных положений, на основании которых доказываются дальнейшие теоремы и, вообще, «строится вся геометрия» .

Система аксиом данного учебника не полная, однако, достаточная для построения курса планиметрии и разбита на четыре группы:

1.    Аксиомы взаимного расположения точек, прямых и плоскостей;

2.    Аксиомы наложения и равенства;

3.    Аксиомы измерения отрезков и существования отрезка данной длины;

4.    Аксиома параллельности.

В девятом классе в начале курса стереометрии еще раз необходимо актуализировать основные аксиомы планиметрии и обобщить логическое строение курса геометрии: показать, что аксиомы стереометрии основываются на расширенной аксиоматике планиметрии и на произвольной плоскости в пространстве справедливы аксиомы планиметрии.

Стоит отметить, что учитель сам вправе выбирать способ изучения курса планиметрии из большого количества вариантов, в зависимости от класса, в котором он работает - в обычном, профильном, физико-математическом, классе коррекции и т.д.

13.Цели и содержание обучения стереометрии в школе.

Курс стереометрии играет систематизирующую и обобщающую роль по отношению к курсу планиметрии. Особенности действующих учебников (Погорелов, Атанасян) являются общими планиметрии и стереометрии. Это проявляется в единой системе аксиом всего курса геометрии, в наличии аналогии, в содержании и методиках доказательства многих положений. Следующей важной задачей является развитие логического мышления учащихся. Уровень развития десятиклассников позволяет проводить работу по разъяснению структуры всего курса геометрии, т.е. учитель должен четко разъяснять смысл и место отдельных теорем или целой группы теорем и показывать их взаимосвязь. В задачи изучения курса стереометрии входит выработка у школьников пространственных представлений. Известно, что существует 2 основных типа пространственных представлений: по описанию представлять себя, вообразить пространственную фигуру или по описанию построить проекционный чертеж. Не каждый ученик обладает развитым пространственным воображением. Его можно развить, учением рисовать чертежи, решать задачи на пространственные построения.

Следующей целью изучения стереометрии является дальнейшие ознакомление учащихся с прикладным аппаратом и приложениями классической геометрии и современной (это темы «Векторы», «Координаты», «Применение интегралов к нахождению объемов тел».

Систематический курс стереометрии, на изучение которого отводится приблизительно по 70 часов в десятом и одиннадцатом классах, предусматривает рассмотрение следующих тем: 1. Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия. 2. Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. 3. Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве. 4. Координаты, векторы, геометрические преобразования в пространстве. 5. Многогранники. 6. Тема вращения. 7. Площадь поверхностей и объем геометрических тел. 8. Изображение пространственных фигур на плоскости. В действующих учебниках ставятся разные содержательные акценты при изучении стереометрии. Учебник Атанасяна: материал различных по содержанию вопросов часто включается в одну главу (фузионизм). При этом наблюдается частая повторяемость материала, обращение к уже знакомым вопросам. Большое внимание, чем у Погорелова, уделяется векторам, движению к координатам. Учебник Погорелова: отличается четкой логической структурой, меньше внимания векторам и геометрическим преобразованиям. Это подспудно несет в себе опасность затушевывания естественных связей между темами.
14. Особенности обучения геометрии.

1.В курсе геометрии приходится иметь дело с большим количеством понятий, т.к. изучаются свойства большого числа фигур и различные отношения между ними. Обязательно учить определения и теоремы
2.Учить строить динамичный чертеж.
3.Особый подход к актуализации знаний.
4.Два основных метода решения задач (геометрический и алгебраический).
5. Вопросно-ответные процедуры.
6. Методическая система обучению доказывать

Трудности.

• 
  При изучении геометрии очень большое значение придается теории.
  
• 
  Знать одну только теорию недостаточно. Часто учащиеся, не задумываясь, заучивают формулировку теоремы и ее доказательство, но при этом не имеют ни малейшего представления о ее применении.
  
• 
  Неумение построить чертеж.
  
• 
  Школьники пытаются по своему чертежу делать предположения о каких-либо свойствах фигуры, не указанных в задании. Например, строят равнобедренный треугольник и начинают решение, отталкиваясь от свойств оного, хотя в задании такого условия нет.
  
• 
  Школьники не способны построить цепь логических рассуждений, которая приведет к решению задания.
  
• 
  Особенности психологического развития школьников в этом возрасте.
  

15. Особенность преподавания геометрии в 1 полугодии 10 класса заключается в введении учащихся в стереометрию. Одновременное изучение свойств плоских и пространственных фигур. Первые уроки стереометрии посвящены знакомству с основными понятиями и аксиомами, а так же следующими из них. Основной целью этого этапа является выделение способов задания плоскости.

Далее следует вспомнить обозначения, которые использовались в планиметрии и ввести новые символы, кот будут использоваться в стереометрии. Особо следует обратить внимание на изображение плоскости в стереометрии. После этого учащиеся подготовлены к восприятию аксиом каждую из которых рекомендуется ввести по схеме: 1. иллюстрированная модель. 2. Формулировка. 3. Схематический рисунок.4. Символическая запись.Преподавателю нужно научить:

• 
  мысленно строить образы геометрических фигур и представлять их положение на плоскости;
  
• 
  распознавать фигуры или элементы фигур по их указанным признакам или свойствам;
  
• 
  изображать простейшие пространственные фигуры на плоскости;
  
• 
  обладать элементарными навыками работы с проекционным чертежом;
  
• 
  конструировать модели различных фигур; работать с развертками простейших пространственных фигур;
  
• 
  владеть глазомером для оценки геометрических фигур, их положений на плоскости и в пространстве;
  
• 
  выполнять основные геометрические построения с помощью чертежных инструментов.
  

16. 1. При построении изображений пространственных фигур важную роль играет теорема Польке-Шварца. Любая упорядоченная четверка точек С {A,В,С,D} общего положения, взятая на плоскости, может служить изображением аффинного репера конгруэнтного или подобного реперу R'. Как следствие из теоремы Польке-Шварца вытекает следующее предложение: изображением тетраэдра в параллельной проекции может служить любой четырехугольник АВСD вместе с его диагоналями.

1. Изображение пирамиды в параллельной проекции.

Используя эти два предложения можно построить изображение любой п-угопъной пирамиды. 1. Строим изображение многоугольника, являющегося основанием пирамиды. 2. Выбираем произвольную точку, являющуюся изображением вершины пирамиды (по теореме Польке-Шварца) и строим изображение боковых ребер. 3. Если условием задачи определено положение высоты, то сначала строим изображение прямой, на которой находится высота пирамиды, а затем на ней произвольно выбираем вершину.

Построение сечений многогранников.

Наиболее доступными и эффективными в практике преподавания геометрии в школе являются следующие три метода построения сечений многогранников: метод следов; метод соответствия или внутреннего проецирования (иногда его называют методом вспомогательных сечений); комбинированный метод.

Решение многих стереометрических задач связано с построением сечений многогранников и круглых тел. Укажем некоторые из встречающихся условий построения сечений: 1) по трем точкам, не лежащим на одной прямой; 2) по прямой и точке, не лежащей на ней; 3) по точке и параллельно заданной плоскости; 4) по точке и прямой, которой секущая плоскость перпендикулярна; 5) по прямой и перпендикулярно заданной плоскости. Возможны и другие способы задания секущей плоскости. Построение сечений многогранников возможно на основе аксиом и теорем стереометрии, кроме того, есть специальные методы: метод следов, метод вспомогательных сечений, комбинированный метод.

1. 
   Метод построения сечений многогранников на основе аксиом и теорем стереометрии. Основная идея этого метода основана на том, что прямая и плоскость пересекаются только в одной точке, а две плоскости пересекаются по прямой. В 28 26 результате сечение многогранника будет представлять собой многоугольник. Для построения сечения многогранника нужно найти точки пересечения искомого сечения с ребрами многогранника – они служат вершинами многоугольника, а стороны многоугольника – отрезки, по которым секущая плоскость пересекает грани многогранника.
   
2. 
   Метод следов заключается в том, что по следу сечения можно построить его полностью. След сечения — прямая, по которой секущая плоскость пересекает грань многогранника. В методе следов часто нужно продлевать линии и ребра до их пересечения.
   
3. 
   3. Метод внутреннего проектирования. Для построения сечения указанным методом в случае, когда заданы три точки, находят точки пересечения с оставшимися ребрами многогранника. С этой целью вводят вспомогательные пересекающиеся плоскости, одна из которых содержит выбранное ребро и одну из данных точек сечения. Вторая плоскость содержит оставшиеся заданные точки и их проекции. Затем находят линию пересечения вспомогательных сечений и след секущей плоскости на выбранном ребре многогранника.
   
4. 
   .Комбинированный метод. Суть этого метода состоит в том, что искомое сечение строится в сочетании метода следов и метода внутреннего проектирования со свойствами данного многогранника. Укажем теоремы о параллельности прямых и плоскостей, которые применяются при построении сечений комбинированным методом. 38 36 Теорема 1. Если две параллельные плоскости пересечены третьей, то линии их пересечения параллельны. Поэтому секущая плоскость пересекает плоскости параллельных граней по параллельным прямым. Теорема 2. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает ее, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Теорема 3. Если прямая 𝑎𝑎, не лежащая в плоскости 𝛼𝛼, параллельна некоторой прямой b, проведенной в плоскости 𝛼𝛼, то она параллельна и самой плоскости а
   

17. Методика решения задач на вычисление площадей и объемов в стереометрии.

Для решения задач на вычисление площади и объемов фигур в стереометрии нужно:

1. 
   Умение правильного построения чертежа.
   
2. 
   Знание основных формул.
   

В стереометрических задачах достаточно часто необходимо найти объем пространственного тела. К таким заданиям следует отнести задачи: на вычисление объемов многогранников и его частей, нахождение линейных и нелинейных величин по известному объему, сравнение объемов многогранников. В процессе решения применяются поэтапно-вычислительный метод, метод разбиения на части, метод дополнения, метод введения вспомогательных переменных, метод опорных задач, координатный метод. Отметим, что в условии задачи зачастую определена конфигурация, указывающая на положение проекции вершины пирамиды. Приведем такие факты, поскольку они играют важную роль в решении задач. 1. Если все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом или образуют один и тот же угол с высотой пирамиды или все боковые ребра равны, то основание высоты пирамиды является центром окружности, описанной около основания пирамиды. В частности, если в основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник, то высота принадлежит боковой грани, содержащей гипотенузу прямоугольного треугольника, а вершина пирамиды проецируется в середину гипотенузы. 2. Если все боковые грани пирамиды наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то вершина пирамиды проецируется в центр окружности, вписанной в основание пирамиды.

18. Методика введения понятия вектора.

Существуют различные подходы к введению понятия вектора при изложении школьного курса геометрии. Вектор рассматривается как: 1. Множество направленных отрезков плоскости. Сложение, вычитание и умножение векторов, умножение на 0 вектор (путем откладывания). Множество направленных отрезков плоскости является векторным пространством. В этом случае вектор отождествляется с направленным отрезком.

2. Множество классов направленных отрезков плоскости Объектами этого множества являются не отдельные направленные отрезки, а классы, состоящие из сонаправленных отрезков, имеющих равные длины. В качестве «нулевого» объекта выступает множество точек 18 плоскости. Операции сложения этих объектов и умножения на действительное число сводятся к соответствующим операциям с представителями классов, поэтому они удовлетворяют аксиомам векторного пространства. Таким образом, множество классов, каждый из которых состоит из сонаправленных отрезков равной длины, является интерпретацией векторного пространства. Здесь векторы - это классы сонаправленных отрезков равной длины.

3. Множество параллельных переносов плоскости

Методика изучения равенства векторов. В учебнике Л. С. Атанасяна и др. используется следующее определение равенства векторов: Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны [1]. Введению понятия равных векторов должно предшествовать рассмотрение понятий сонаправленных и противоположно направленных векторов, длины вектора. Для иллюстрации сонаправленных (противоположно направленных) векторов следует использовать наглядный материал (модели, схемы и т. д.).

Методика изучения операций над векторами.

К операциям над векторами относятся сложение векторов, вычитание векторов и умножение вектора на число.

19. Обычно теоретический материал раздела о телах вращения по объему бывает невелик. Однако тут вводится много новых понятий, способы их введения, методы изучения тоже весьма различны.

         При изучении фигур вращения очень велико значение чертежа. Чертеж является основным средством иллюстрации, развития пространственного воображения. В ходе решения некоторых задач возникает необходимость в решении планиметрической задачи. При изучении тел вращения закрепляются и развиваются полученные знания об основных фигурах на плоскости, особенно об окружности, круге, многоугольнике, вписанном и описанном, их основных свойствах.  Учитель должен показать учащимся, не вдаваясь в подробности, как изобразить на плоскости фигуру вращения, то или иное её сечение. Для изображения каждого из изучаемых в школе тел вращения, их отдельных элементов, сечений необходимо напомнить учащимся об изображении окружности (учащиеся знакомы с этим из курса черчения).

Весь круг вопросов по теме «Тела вращения» можно условно разделить на две группы:

1. 
   Цилиндр и конус: а) определение, поверхность, симметрия, касательная плоскость, сечение осевое и перпендикулярное оси, вписанные и описанные многогранники; б) объем; в) площадь боковой поверхности.
   
2. 
   Шар и сфера: а) определение, симметрия, касательная плоскость, сечение; б) объем шара; в) площадь сферы.