практическое занятие по строению вещества. прз 4. Частица в цилиндрической яме (плоский ротатор)
 Скачать 1.9 Mb.
|
        ЧАСТИЦА В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ЯМЕ (плоский ротатор) Рассмотрим вариант предыдущей модели ("частица, запертая в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками"), в котором две противоположные стенки ямы "склеены" друг с другом таким образом, что одномерная яма с длиной L превращается в яму в виде вертикального цилиндра с радиусом r = L/2p. Физическую модель такой ямы можно получить, если в твердом материале прорезать плоский кольцевой канал и запустить в него частицу. Не имея возможности проникнуть внутрь материала, частица будет вынуждена двигаться только по окружности. Совершенно аналогичную картину можно получить, если закрепить частицу на тонкой кольцевой проволоке или на конце жесткого стержня длины r, который, в свою очередь, может свободно вращаться вокруг некоторой оси. Ясно, что такие модели описывают особый случай механического движения — вращение. Поэтому описанная модель называется жестким плоским ротатором. Определение "жесткий" обусловлено неизменностью радиуса r, а определение "плоский" связано с тем фактом, что вращательное движение единственной частицы происходит всегда в некоторой постоянной плоскости, перпендикулярной оси вращения (направление оси и ориентация плоскости задаются начальными условиями). Существуют и более сложные структуры, вращательное движение в которых является нежестким и/или неплоским. Например, электрон в атоме описывается моделью нежесткого сферического ротатора. Тем не менее, основные особенности вращательного движения можно проследить и на самом простом случае жесткого плоского ротатора. Подчеркнем, что данная система является одномерной, т.е. для полного задания текущего состояния системы достаточно указать только одно число — угол поворота (j), достигнутый частицей к данному моменту времени. Все остальные наблюдаемые должны быть либо постоянными, либо однозначно выражаться через величину этого угла. Классическое описание В классическом варианте вращательное движение описывается очень просто: j(t) = w • t, где константа w — угловая скорость (частота вращения), выраженная в радианах/сек. Энергия (чисто кинетическая) для ротатора определяется стандартным способом Е = mv2/2 = mw2r2/2 = L2/2I где параметр L= r • mv называется механическим моментом (моментом импульса, моментом количества движения) ротатора, а константа I = mr2 — моментом инерции. По виду формул легко заметить, что момент импульсаL —это аналог обычного импульса при прямолинейном движении, а момент инерции I — аналог массы (мера инерции ротатора). Необходимо иметь в виду одно существенное отличие: механический момент — это вектор, направленный вдоль оси вращения, т.е. он всегда перпендикулярен плоскости вращения и вектору линейной скорости вращающейся частицы. Следует отметить, что векторные величины в КМ, обычно, характеризуются величиной (модулем) и ориентацией, которая задается величиной проекции вектора на одну из координатных осей. Поэтому необходимо различать две наблюдаемые: |L| — модуль и Lz — проекцию. В случае плоского ротатора ориентация вектора L строго определена — вектор направлен точно вдоль оси вращения, но направление его может быть двояким. Если частица вращается против часовой стрелки (при наблюдении сверху), то вектор направлен вверх и его проекция считается положительной. Напротив, если частица вращается по часовой стрелке, вектор направлен вниз и его проекция будет иметь отрицательную величину. Таким образом, механический момент плоского ротатора характеризуется одним числом L, но двумя параметрами: модулем |L| = L и проекцией Lz = ± L. Численные величины параметров w, E, L, I для классического жесткого ротатора сохраняются во времени, и полностью задаются начальными условиями. Можно сказать, что любое начальное состояние вращения будет стационарным. Если вращающаяся частица электрически заряжена, то, из-за ускоренного характера вращательного движения, ротатор будет непрерывно излучать электромагнитную волну. В конце концов, это приведет к полной потере энергии и остановке ротатора. Другими словами, для электрически заряженного ротатора в классическом варианте стационарных состояний нет вообще. 1.3. Квантование вращательной энергии двухатомной молекулы В наиболее чистом виде вращательные спектры молекул можно наблюдать при изучении разреженных газов. Основной моделью вращательного движения двухатомных молекул в спектроскопии служит модель жесткого ротатора, представляющего собой две массы, находящиеся друг от друга на фиксированном расстоянии (равновесное межъядерное расстояние). Можно показать, что квантование вращательной энергии для двухатомной молекулы описывается выражением ([2], [3]) вр E = ВhJ (J+1). Здесь В – вращательная постоянная ([B] = Гц):  , J – вращательное квантовое число, I – момент инерции молекулы относительно оси, перпендикулярной линии, соединяющей ядра и проходящей через центр масс: I= µr02 , где r0 – расстояние между ядрами, µ – приведенная масса. Таким образом, имеется система неравноотстоящих уровней, расстояние между которыми возрастает по мере увеличения квантового числа J. Согласно квантовой механике между этими уровнями возможны радиационные переходы, удовлетворяющие следующим правилам отбора: ∆J = ±1. Вращательный уровень с квантовым числом J имеет вырождение g(J) = 2J +1.В условиях теплового равновесия более всего заселен не основной уровень (J = 0), а уровень, для которого  Реальные молекулы не являются жесткими ротаторами. Действительно, на ядра при вращении действуют центробежные силы, которые изменяют межъядерное расстояние, а следовательно, и момент инерции. Кроме того, в процессе вращения в молекуле могут происходить колебания ядер. Учет этих факторов (переход к модели нежесткого ротатора) приводит к более строгому выражению для вращательной энергии [1]:  где С – постоянная. Второй член практически всегда намного меньше первого, и им в большинстве случаев пренебрегают, рассматривая задачу в приближении жесткого ротатора. Необходимо отметить, что чисто вращательными спектрами поглощения и испускания обладают не все двухатомные молекулы. Как показывают теория и эксперимент, такие спектры характерны лишь для молекул, имеющих электрический дипольный момент. В связи с этим у симметричных бездипольных молекул типа Н2, О2, Cl2 и т. д. радиационные переходы между вращательными подуровнями запрещены и могут наблюдаться лишь в специальных условиях (например, при больших давлениях газа, приводящих к появлению у молекул индуцированного дипольного момента, обусловленного межмолекулярными взаимодействиями). С другой стороны, такие полярные молекулы, как СО, обладают весьма развитыми и интенсивными спектрами, позволяющими получать важную информацию о некоторых физикохимических параметрах молекул    |