Дифференциал (математика) (2). Дифференциал (математика)

Название	Дифференциал (математика)
Дата	05.03.2022
Размер	10.82 Kb.
Формат файла
Имя файла	Дифференциал (математика) (2).doc
Тип	Реферат #384122

Реферат на тему:

Дифференциал (математика)

План:

1 Обозначения
2 Неформальное описание
3 Определения
- 3.1 Для вещественнозначных функций
- 3.2 Для отображений
4 Связанные определения
5 Свойства
6 Примеры
7 История

Введение

Дифференциа́л (от лат. differentia — разность, различие) в математике — линейная часть приращения дифференцируемой функции или отображения. Это понятие тесно связано с понятием производной по направлению.

1. Обозначения

Обычно дифференциал f обозначается df. Некоторые авторы предпочитают обозначать $\operatorname{d}f$ шрифтом прямого начертания, желая подчеркнуть, что дифференциал является оператором. Дифференциал в точке x обозначается d_xf, а иногда df_x или df[x]. (d_xf есть линейная функция на касательном пространстве в точке x.) Если v есть касательный вектор в точке x, то значение дифференциала на v обычно обозначается df(v), в этом обозначении x излишне, но обозначения d_xf(v), df_x(v) и df[x](v) также правомерны.

2. Неформальное описание

Рассмотрим гладкую функцию f(x). Проведём касательную к ней в точке x, и отложим на этой касательной отрезок такой длины, чтобы его проекция на ось x была равна Δx. Проекция этого отрезка на ось y называется дифференциалом функции f(x) в точке x от Δx.

Таким образом, дифференциал может пониматься как функция двух переменных x и Δx,

$df\colon(x,\;\delta x)\mapsto d_xf(\delta x),$

определяемой соотношением

d_xf(Δx) = f'(x)Δx.

3. Определения

3.1. Для вещественнозначных функций

Пусть M — гладкое многообразие и $f:m\to \r$ гладкая функция. Дифференциал f представляет из себя 1-форму на M, обычно обозначается df и определяется соотношением

df(X) = Xf,

где Xf обозначает производную f по направлению векторного поля X в касательного расслоения M.

3.2. Для отображений

Дифференциал гладкого отображения из гладкого многообразия в многообразие $f\colon m\to n$ есть отображение между их касательными расслоениями, $df\colon tm\to tn$ , такое что для любой гладкой функции $g\colon n\to\r$ имеем

$[df(x)]g=x(g\circ f),$

где Xf обозначает производную f по направлению X. (В левой части равенства берётся производная в N функции g по dF(X); в правой — в M функции $g\circ f$ по X).

Это понятие естественным образом обобщает понятие дифференциала функции.

4. Связанные определения

Гладкое отображение $f\colon m\to n$ называется субмерсией, если для любой точки $x\in m$ , дифференциал $d_xf\colon t_xm\to t_{f(x)}n$ сюръективен.
Гладкое отображение $f\colon m\to n$ называется гладким погружением, если для любой точки $x\in m$ , дифференциал $d_xf\colon t_xm\to t_{f(x)}n$ инъективен.

5. Свойства

Дифференциал композиции равен композиции дифференциалов:
$d(f\circ g)=df\circ dg$ или $d_x(f\circ g)=d_{g(x)}f\circ d_xg$

6. Примеры

Пусть в открытом множестве $\omega\subset\r$ задана гладкая функция $f\colon \omega\to\r$ . Тогда $df=f'\,dx$ , где f' обозначает производную f, а dx является постоянной формой, определяемой dx(V) = V.
Пусть в открытом множестве $\omega\subset\r^n$ задана гладкая функция $f\colon\omega\to\r$ . Тогда $df=\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}\,dx_i$ . Форма dx_i может быть определена соотношением dx_i(V) = v_i, для вектора $v=(v_1,\;v_2,\;\ldots,\;v_n)$ .
Пусть в открытом множестве $\omega\subset\r^n$ задано гладкое отображение $f\colon\omega\to\r^m$ . Тогда
d_xF(v) = J(x)v,

где J(x) есть матрица Якоби отображения F в точке x.

7. История

Термин «дифференциал» введён Лейбницем. Изначально, dx применялось для обозначения «бесконечно малой» — величины, которая меньше всякой конечной величины и всё же не равна нулю. Подобный взгляд оказался неудобным в большинстве разделов математики (за исключением нестандартного анализа).