Практика 6. Уравнения первого порядка неразрешенные относительно. Дифференциальные уравнеия первого порядка, неразрешенные относительно производной Общий вид уравнений
![]()
|
Дифференциальные уравнеия первого порядка, неразрешенные относительно производной Общий вид уравнений Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной, имеют вид: ![]() Если это уравнение распадается на несколько уравнений относительно ![]() ![]() то решаем каждое из этих уравнений в отдельности. Решение каждого такого уравнения служит решением и для исходного уравнения. Если общий интеграл i-го уравнения ![]() то общий интеграл исходного уравнения представляется в виде ![]() Пример. Решить уравнение ![]() Решая это уравнение относительно ![]() ![]() ![]() Общий интеграл исходного уравнения записывается так: ![]() Упражнения. Разрешить уравнения относительно ![]() 1. ![]() Ответ: ![]() 2. ![]() ![]() 3. ![]() ![]() 4. ![]() ![]() 5. ![]() ![]() 6. ![]() ![]() 7. ![]() ![]() 8. ![]() ![]() 9. ![]() ![]() 10. ![]() ![]() 11. ![]() ![]() 12. ![]() ![]() 13. ![]() ![]() Уравнения Лагранжа и Клеро. Уравнение (5) не всегда так просто решается относительно ![]() ![]() Один из таких случаев представляется уравнением Лагранжа, которое имеет вид: ![]() Важным частным случаем уравнения Лагранжа является уравнение Клеро ![]() Общий интеграл уравнения (6) удобнее искать в параметрической форме. Для этого в уравнениях (6) и (7) переменную ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример. Решить уравнение Лагранжа ![]() Обозначив ![]() ![]() Отсюда ![]() ![]() ![]() или ![]() Разделив обе части последнего уравнения на ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если же ![]() ![]() ![]() ![]() Пример. Решить уравнение Клеро ![]() Обозначим ![]() ![]() ![]() Далее, ![]() или ![]() Здесь возможны два случая. 1) ![]() ![]() Заметим, что это общее решение содержит частное решение, соответствующее ![]() 2) ![]() Исключив ![]() ![]() Упражнения. Решить уравнения Лагранжа и Клеро. 1. ![]() ![]() ![]() 2. ![]() ![]() 3. ![]() ![]() 4. ![]() ![]() 5. ![]() ![]() 6. ![]() ![]() 7. ![]() ![]() 8. ![]() ![]() 9. ![]() ![]() 10. ![]() ![]() 11. ![]() ![]() 12. ![]() ![]() 13. ![]() ![]() 14. ![]() ![]() ![]() 15. ![]() ![]() 16. ![]() ![]() 17. ![]() ![]() 18. ![]() ![]() |