Дифференциальные уравнения основные понятия Опр Дифференциальным уравнением
 Скачать 1.43 Mb.
|
|
§1.Дифференциальные уравнения: основные понятия Опр-1. Дифференциальным уравнением называется уравнение , (*) где независимая переменная, неизвестная функция, порядок уравнения. Уравнением, разрешенным относительно старшей производной, называется уравнение Опр-2. Решением дифференциального уравнения го порядка (*) на проме- жутке называется функция , определенная на промежутке вме- сте со своими производными до порядка включительно, и такая, что подстановка функции в дифференциальное уравнение превращает последнее в тождество по на промежутке . Опр-3. График решения дифференциального уравнения называется интеграль- ной кривой этого уравнения. Опр-4. Дифференциальное уравнение , (1) называется уравнением 1-го порядка. Если уравнение (1) удается решить относительно производной, то получится , (2) – уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной. Опр-5. Задачей Коши называют задачу нахождения решения уравне- ния , удовлетворяющего начальному условию (другая запись ). Геометрически это означает, что ищется интегральная кривая, проходящая через заданную точку плоскости (рис. 1). Опр-6. Общим решением дифференциального уравнения (2) называется функ- ция , (3) зависящая от одной произвольной постоянной , и такая, что 1) она удовлетворяет уравнению (2) при любых допустимых значениях постоянной ; 2) каково бы ни было начальное условие , (4) можно подобрать такое значение постоянной , что решение будет удовлетворять заданному начальному условию (4). Опр-7. Частным решением дифференциального уравнения (2) называется ре- шение, получаемое из общего решения (3) при каком-либо определенном значении произвольной постоянно . Опр-8. Соотношение вида , неявно определяющее общее решение уравнения (2), называется общим интегралом дифференциального уравнения 1-го порядка. Опр-9. Соотношение, получаемое из общего интеграла при конкретном значе- нии постоянной , называется частным интегралом дифференциального уравнения. Задача решения или интегрирования дифференциального уравнения состоит в нахождении общего решения или общего интеграла данного дифференциального уравнения. Если дополнительно задано начальное условие, то требуется выделить частное решение или частный интеграл, удовлетворяющие поставленному начальному условию. Так как с геометрической точки зрения координаты и равноправны, то наря- ду с уравнением можно рассматривать и уравнение §2.Метод изоклин §3.Уравнения с разделяющимися переменными и приводящие к ним Опр-1. Уравнение вида 0 P x dx Q y dy называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными. Его общим интегралом будет , где произвольная постоянная. Опр-2. Уравнение вида называется дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Путем деления на произведение оно приводится к уравнению с раз- деленными переменными: Замечание. Деление на может привести к потери частных решений, обращающих в ноль произведение Дифференциальное уравнение вида где и постоянные, заменой переменных преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными: §4.Уравнения однородные и приводящиеся к ним Опр-1. Однородным дифференциальным уравнением называется уравнение вида , если для любого имеем где какое-то число. Однородное уравнение всегда можно представить в виде . (1) Вводя новую искомую функцию , уравнение (1) можно привести к уравне- нию с разделяющимися переменными: Замечание. При решении однородных уравнений необязательно приводить их к виду (1). Можно сразу делать подстановку . Рассмотрим уравнение вида , (2) где постоянные, а непрерывная функция своего аргумента . Если , то уравнение (2) является однородным. Если хотя бы одно из чисел отлично от нуля, то следует различать два слу- чая. Случай 1. Определитель Вводя новые переменные и по формулам , где и решения СЛАУ: (3) приведем уравнение (2) к виду , или Найдя его общий интеграл и сделав в нем замену , получаем общий интеграл уравнения (2). Случай 2. Определитель Система (3) не имеет решения или имеет бесконечно много решений. В этом случае положим: , и, уравнение (2) имеет вид Подстановка приводит его к уравнению с разделяющимися переменными. §5.Линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли Опр-1. Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется уравнение, линейной относительно неизвестной функции и ее производной. Оно имеет вид . (1) где и заданные функции от , непрерывные в той области, в которой тре- буется проинтегрировать уравнение (1). Если , то уравнение (1) называется линейным однородным. Оно явля- ется уравнением с разделяющимися переменными и имеет общее решение Если , то уравнение (1) называется линейным неоднородным. Его общее решение можно найти методом вариации произвольной постоянной, который состоит в том, что решение уравнения (1) ищется в виде , (2) где новая неизвестная функция от . подберем так, чтобы удовлетворить неоднородному уравнению (1). Дифференцируем (2) и подставляем в уравнение (1): Отсюда и, следовательно, Подставляя найденное выражение для в (2), получаем общее решение ли- нейного неоднородного уравнения: Уравнение (1) может быть проинтегрировано методом Бернулли. В этом случае решение ищется в виде , (3) где и неизвестные функции от , одна из которых, например , может быть выбрана произвольно. Подставляя (3) в (1), после преобразования получаем . (4) Определяя из условия , найдем затем из (4) функцию , а следова- тельно, и решение уравнения (1). В качестве можно взять любое частное решение уравнения Опр-1. Уравнением Бернулли называется уравнение вида где (при и это уравнение является линейным). С помощью замены переменной уравнение Бернулли приводится к ли- нейному уравнению и интегрируется как линейное. Замечание. Уравнение Бернулли может быть проинтегрировано также методом вариации постоянной, как и линейное уравнение, и с помощью подстановки §6.Уравнения в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель Опр-1. Дифференциальное уравнение вида (1) называется уравнением в полных дифференциалах, если в некоторой области изменения переменных и выполняется равенство: . (2) Из (2) следует, что левая часть уравнения (1) представляет полный дифференциал некоторой функции , т.е. . Тогда общий интеграл уравнения (1) имеет вид или , (3) где произвольная постоянная. Интегрирующий множитель В некоторых случаях, когда уравнение (1) не является уравнением в полных дифференциалах, удается подобрать функцию , после умножения на которую левая часть (1) превращается в полный дифференциал Такая функция называется интегрирующим множителем. Из определения интегрирующего множителя имеем |