Физика. Лекция 3. Динамика твердого тела
![]()
|
Глава 7. Динамика твердого тела 7.1. Момент инерции Момент инерции тела — мера инертности твердых тел при вращательном движении. Его роль такая же, что и массы при поступательном движении. Моментом инерции системы (тела) относительно данной оси называется физическая величина, равная сумме произведений масс nматериальных точек системы на квадраты их расстоянии до рассматриваемой оси (рис. 7.1.1): ![]() ![]() В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу ![]() Момент инерции — величина аддитивная: момент инерции тела относительно некоторой оси равен сумме моментов инерции частей тела относительно той же оси. В качестве примера найдем момент инерции однородного сплошного цилиндра высотой hи радиусом Rотносительно его геометрической оси (рис. 7.1.2). Разобьем цилиндр на отдельные полые концентрические цилиндры бесконечно малой толщины dr с внутренним радиусом r и внешним r+ dr. ![]() Момент инерции каждого полого цилиндра, массой ![]() ![]() Пологая, что плотность материала цилиндра ![]() ![]() ![]() ![]() Т.к. масса цилиндра ![]() ![]() ![]() Таб. 7.1.1. Моменты инерции некоторых однородных тел Если известен момент инерции тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера: момент инерции тела J относительно произвольной оси равен моменту его инерции ![]() ![]() ![]() ![]() 7.2. Кинетическая энергия вращения Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной оси z, проходящей через него. Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для скоростей вращающегося тела справедливо ![]() Кинетическую энергию вращающегося тела найдем как сумму кинетических энергий его элементарных объемов: ![]() Используя (7.2.1) получим ![]() где ![]() ![]() Таким образом, кинетическая энергия вращающегося тела ![]() (Аналогия с поступательным движением) В случае плоского движения тела, например цилиндра, скатывающегося с наклонной плоскости без скольжения, энергия движения складывается из энергии поступательного движения и энергии вращения: ![]() 7.3. Уравнение динамики вращательного движения твердого тела. Моментом силы относительно неподвижной точки О называется физическая величина М, определяемая векторным произведением радиуса-вектора ![]() ![]() ![]() Где ![]() ![]() ![]() Модуль момента силы ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() Моментом силы относительно неподвижной оси z называется скалярная величина ![]() ![]() ![]() положения точки О на оси z. Найдем выражение для работы при вращении тела (рис. 7.3.2). Пусть сила ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Учитывая (7.3.1) ![]() Получим ![]() ![]() Работа при вращении тела идет на увеличение его кинетической энергии: ![]() ![]() ![]() Учитывая, что ![]() ![]() Уравнение (7.3.2) представляет собой уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси. 7.4. Закон сохранения момента импульса Моментом импульса (количества движения) материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением: ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Модуль вектора момента импульса ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Моментом импульса относительно неподвижной оси z называется скалярная величина ![]() ![]() Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц: ![]() Используя формулу ![]() ![]() т.е. ![]() Таким образом, момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость. Продифференцируем (7.4.1) ![]() т.е. ![]() Это выражение — еще одна форма уравнения динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: производная момента импульса твердого тела относительно оси равна моменту сил относительно той же оси. Можно показать, что имеет место векторное равенство ![]() Если ![]() ![]() Выражение (7.4.2) представляет собой закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени. Закон сохранения момента импульса — фундаментальный закон природы. Он связан со свойством симметрии пространства — его изотропностью, т. е. с инвариантностью физических законов относительно выбора направления осей координат системы отсчета (относительно поворота замкнутой системы в пространстве на любой угол). ![]() |