пп. право доклад. Доклад по дисциплине Математика
 Скачать 24.89 Kb.
|
|
КРАЕВОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ «АЛТАЙСКИЙ ПРОМЫШЛЕННО – ЭКОНОМИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ» Доклад по дисциплине «Математика» Тема: «Приводимые и неприводимые многочлены. Основная теорема алгебры. Симметрические многочлены. Целочисленные и целозначные многочлены.» Выполнила: студентка группы 9Бд211, Геренг Виктория Проверил: Садова М.И. Оценка Барнаул 2021 Содержание Введение…………………………………………………………………………….……………..……………...3 1 Приводимые и неприводимые многочлены.……………………………..………..……….5 2 Основная теорема алгебры……………………………………………………………………….……6 3 Симметрические многочлены……………………………………………………………..…………7 4 Целочисленные и целозначные многочлены…………………………………….………….8 Список использованных источников…………… ….………………………………………………9 Введение Многочленом считается сумма одночленов, причем сам одночлен – это частный случай многочлена. Из определения следует, что примеры многочленов могут быть различными: 5, 0, − 1, x, 5 ⋅ a ⋅ b3, x 2 ⋅ 0 , 6 ⋅ x ⋅ ( − 2 ) ⋅ y 12 x2 и так далее. Из определения имеем, что 1 + x, a 2 + b 2 и выражение x 2 − 2 ⋅ x ⋅ y + 2\5 ⋅ x 2 + y 2 + 5, 2 ⋅ y ⋅ x2-2·x·y+25 являются многочленами. Неприводимый многочлен — многочлен, неразложимый на нетривиальные (то есть не константы) многочлены. Неприводимые многочлены являются неприводимыми элементами кольца многочленов. Свойство неприводимости зависит от кольца (поля) коэффициентов. P1(x)=x2+4x+4=(x+2)2 P2=x2-4=(x-2)(x+2) P3(x)=x2- 4/9=(x-2/3)(x+2/3) P4(x)=x2-2=(x- √2)(x+√2) P5(x)=x2+1=(x-i)(x+i), где i2=-1 Над кольцом Z целых чисел первые два многочлена — приводимые, последние два — неприводимые. (Третий вообще не является многочленом над целыми числами). Над полем Q рациональных чисел первые три многочлена являются приводимыми, два других — неприводимыми. Над полем R действительных чисел первые четыре многочлена — приводимые, но P5(x) является неприводимым. В поле действительных чисел неприводимыми являются линейные многочлены и квадратичные многочлены без действительных корней. Например, разложение многочлена x4+1 в поле действительных чисел имеет вид (x2+√2x+1)(x2-√2x+1). Оба множителя в данном разложении являются неприводимыми многочленами. Над полем C комплексных чисел все пять многочленов — приводимые. Фактически каждый отличный от константы многочлен p(x) p(x)=a(x-z1)(x-zn) где n — степень многочлена, a — старший коэффициент, z1, . . . zn — корни p(x). Поэтому единственными неприводимыми многочленами на C являются линейные многочлены (основная теорема алгебры). Основна́я теоре́ма а́лгебры — утверждение о том, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто, то есть что всякий отличный от константы многочлен (от одной переменной) с комплексными коэффициентами имеет по крайней мере один корень в поле комплексных чисел. Утверждение справедливо и для многочленов с вещественными коэффициентами, так как всякое вещественное число является комплексным с нулевой мнимой частью. Симметри́ческий многочле́н — многочлен f(x1,x2,...,xn) от n переменных, не изменяющийся при всех перестановках входящих в него переменных xi. Так, для многочлена f(x,y) двух переменных это означает f(x,y)=f(y,x); примерами симметрических многочленов двух переменных являются x+y, xy и x2+y2. Многочлен с рациональными коэффициентами называется целозначным, если он вцелых точках принимает целые значения. Например, целозначным является многочлен x(x+1)/2. 4 Приводимые и неприводимые многочлены. Определение 1. Многочлен f(x) ¹ 0 из Р[х] называется приводимым над полем Р, если его можно представить в виде произведения многочленов выше нулевой степени, т.е. f(x) = g(x)×h(x), где cm g(x) < cm f(x) & cm g(x) ¹ 0, cm h(x) < cm f(x) &cm h(x) ¹ 0. Определение 2. Многочлен f(x)ÎP[x] называется неприводимым над полем P, если: 1. cm f(x) > 0, 2. f(x) не разлагается в произведение многочленов меньшей степени. Пример 1. Многочлен f(x)=x2 + 1 = (x - i)(x + i) приводим над полем С и неприводим над полем R и Q. Многочлен h(x) = x2 - 5x + 6 = (x - 3)(x - 2) приводим над Q, R и С. Замечание 1. Многочлены нулевой степени не входят в класс приводимых и неприводимых многочленов, а образуют свой класс, т.е. если множество натуральных чисел мы разбили на три класса: 1. единица; 2. простые числа; 3. составные числа, то и множество Р[х] разбивается на три класса: 1. многочлены нулевой степени (аiÎР); 2. приводимые многочлены; 3. неприводимые многочлены. 5 Основная теорема алгебры Не существует строго алгебраического доказательства теоремы — все имеющиеся доказательства привлекают неалгебраические концепции вроде полноты множества вещественных чисел или топологии комплексной плоскости. К тому же теорема не является «основной» в современной алгебре — она получила это название во времена, когда основным направлением алгебры был поиск решений алгебраических уравнений. Самое простое доказательство этой теоремы даётся методами комплексного анализа. Используется тот факт (теорема Лиувилля), что ограниченная функция, аналитическая на всей комплексной плоскости (целая функция) и не имеющая особенностей на бесконечности, — константа. Поэтому функция 1/p(z), где p(z) — многочлен, не сводящийся к константе, должна иметь хоть один полюс на комплексной плоскости, а, соответственно, многочлен p(z) имеет хотя бы один корень. Прямым следствием из теоремы является то, что любой многочлен степени n над полем комплексных чисел имеет в нём ровно n корней, с учётом их кратности. Доказательство следствия У многочлена f(x) есть корень a, — значит, по теореме Безу, он представи́м в виде f(x-a)g(x), где g(x) — некоторый многочлен, степень которого на 1 меньше степени f(x), и у него по основной теореме алгебры тоже будет хотя бы один корень, который может не равняться a, а может и совпасть с a (в последнем случае корень a окажется кратным). Приме́ним теорему Безу к g(x) и будем использовать её таким же образом до тех пор, пока на месте g(x) не окажется многочлен первой степени. 6 Симметрические многочлены Определение: Многочлен называется симметрическим если он не меняется при любой перестановке переменных. Пример: x12. x22 + x22. x32+ x32. x12 + 2x1 + 2x2 + 2x3 -симметрический многочлен x12. x2+ x22. x3 + x32x1 не симметрический. Строение симметрических многочленов можно представить в виде: Пусть i1i2…in некоторая перестановка чисел 1,2,…,n. Если симметрический многочлен содержит член ax1k1x2k2..xnkn , то он и должен содержать член axi1k1xi2k2..xinkn . Симметрический многочлен является суммой однородных симметрических многочленов. Особую роль среди симметрических многочленов играют так называемые элементарные симметрические многочлены: б1(x1,x2,..xn)=x1+x2..+xn б2(x1,x2,..xn)= x1x2+x1x3..xn-1xn бn(x1,x2,..xn)=x1x2..xn 7 Целочисленные и целозначные многочлены Если известно, что степень многочлена не превосходит n, то для того, чтобы проверить многочлен f(x) на целозначность, достаточно проверить, что f принимает целые значения в n+1 последовательной целой точке (например, от 0 до n). Это легко проверить, например, по индукции, рассмотрев разностный многочлен f(x+1)-f(x), или воспользовавшись интерполяционной формулой Лагранжа. Заметим, что n точек для проверки целозначности f недостаточно: эти точки могут оказаться корнями нашего многочлена, а старший коэффициент никак не проконтролировать. То же определение целозначности можно дать в любой области целостности (коэффициенты многочлена лежат в поле частных). Рассмотрим например кольцо целых гауссовых чисел Z[i]. Там целозначным будет, например, многочлен f(z)=z(z+1)/(1+i), а z(z+1)/2 уже не будет. Вопрос: при каких n можно указать n+1 целую гауссову точку так, что многочлен, принимающий в этих точках целые гауссовы значения, принимает целые гауссовы значения во всех целых гауссовых точках? При n=1,2,3,5 такие "универсальные" наборы точек существуют (соотв. {0,1}, {0,1,i}, {0,1,i,1+i}, {0,1,2,i,i+1,i+2}). А при n=4 не бывает универсального набора из 5 точек. Очень похоже на то, что при больших n универсальных наборов нет. Дело в том, что "естественные" наборы точек (например, точки круга |z|^2 < n/pi) содержат пары точек с разностью p, где p --- простое гауссово число нормы больше n. Такие наборы заведомо нецелозначные. Но доказать что-то не получается. 8 Список использованных источников Многочлен, его стандартный вид, степень и коэффициенты членов https://zaochnik.com/spravochnik/matematika/vyrazhenija/mnogochlen/ Неприводимый многочлен https://ru.wikipedia.org/wiki/Неприводимый_многочлен Неприводимые многочлены https://pandia.ru/text/78/022/10182.php Основная теорема алгебры https://ru.wikipedia.org/wiki/Основная_теорема_алгебры Симметрический многочлен https://ru.wikipedia.org/wiki/Симметрический_многочлен Симметрические многочлены https://studopedia.ru/11_26188_simmetricheskie-mnogochleni.html Целозначные многочлены https://rus4.livejournal.com/40295.html 9 |