Реферат. Egmond aan Zee Netherlands 2020European Girls Mathematical Olympiad
 Скачать 1.47 Mb.
|
|
EGMO nd aan Zee Netherlands 2020 European Girls’ Mathematical Olympiad 17 апреля 2020 Задача 4. Перестановку целых чисел 1, 2, . . . , m будем называть свежей, если не существует положительного целого k < m такого, что первые k чисел в этой перестановке — это 1, 2, . . . , k в некотором порядке. Пусть f m — количество всех свежих перестановок чисел 1, 2, . . . , m. Докажите, что f n > n · f n −1 для всех n > 3. Например, если m = 4, то перестановка (3, 1, 4, 2) является свежей, а перестановка (2, 3, 1, 4) не является. Задача 5. Рассмотрим треугольник ABC, у которого ∠BCA > 90 ◦ . Радиус окружности Γ, описанной около треугольника ABC, равен R. На отрезке AB нашлась точка P такая, что P B = P C , а длина P A равна R. Серединный перпендикуляр к P B пересекает Γ в точках D и E. Докажите, что P является центром вписанной окружности треугольника CDE. Задача 6. Пусть m > 1 — целое число. Последовательность a 1 , a 2 , a 3 , . . . задана равенствами a 1 = a 2 = 1 , a 3 = 4 , а для всех n > 4: a n = m(a n −1 + a n −2 ) − a n −3 Найдите все целые m такие, что каждый член последовательности является точным квадратом. Language: Русский Время работы: 4 часа 30 минут Каждая задача оценивается из 7 баллов Чтобы олимпиада была честной и доставила всем удовольствие, пожалуйста, не упоминайте и не пишите ничего про задачи в интернете и любых социальных сетях до 01:00 ночи 19 апреля по московскому времени. Language: Russian Day: 2 |