07_Вероятность. Элементы теории вероятности и статистики. Факультет свободных искусств и наук

Название	Элементы теории вероятности и статистики. Факультет свободных искусств и наук
Дата	05.11.2022
Размер	365.32 Kb.
Формат файла
Имя файла	07_Вероятность.pdf
Тип	Документы #771840

Элементы теории вероятности и статистики.
Факультет свободных искусств и наук
(
Факультет свободных искусств и наук
)
Элементы теории вероятности и статистики.
1 / 23

Классическое определение вероятности
Зарождение теории вероятности
Развитие статистики в Новое Время, необходимость в инструментах для предсказания рождаемости, смертности,
браков, денежных процессов и т. п.
Бонус - азартные игры: вопрос оценки шанса выиграть и поиск правильной стратегии в азартных играх
Основные понятия в классическом определении
Исход
(например результат броска игральной кости или продолжительность брака в годах)
Полная группа событий
- все возможные исходы
Попарная несовместность
- невозможно, чтобы два различных исходы произошли одновременно. Либо, либо!
Элементарным исходом называется событие, обладающее следующими свойствами:
Исходы образуют полную группу событий
Исходы попарно несовместны
Все исходы равновероятны
(
Факультет свободных искусств и наук
)
Элементы теории вероятности и статистики.
2 / 23

Классическое определение вероятности
Классическое определение вероятности
Пусть различные исходы w
1
, . . . , w
n
некоторого эксперимента являются элементарными. Тогда по определению вероятностью каждого такого исхода называют величину
P
=
1
n
Говорят, что событие А благоприятствует событию B (A ∈ B), если из того, что произошло событие A следует, что произошло событие
B
Вероятность события.
Вероятность некоторого события A полагают равной отношению количества элементарных исходов k, которые благоприятствуют событию, к количеству всех возможных элементарных исходов n:
P
=
k
n
(
Факультет свободных искусств и наук
)
Элементы теории вероятности и статистики.
3 / 23

Классическое определение вероятности
Основные свойства вероятности:
1)
Вероятность P
(Ω) события Ω, которое состоит в том, что реализуется любой элементарный исход, равняется 1. Такое событие называется достоверным.
2)
В классическом определении вероятностей нулевую вероятность имеет событие, которое соответствует пустому множеству элементарных исходов, и только оно: P
(A) = 0 ⇔ A = ∅.
3)
Вероятность дизъюнктного объединения двух событий A и B,
то есть таких событий, что A и B имеют пустое пересечение,
равна сумме их вероятностей P
(A t B) = P(A) + P(B).
4)
Вероятность объединения двух произвольных событий A и B
равна P
(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
(
Факультет свободных искусств и наук
)
Элементы теории вероятности и статистики.
4 / 23

Классическое определение вероятности
Основные свойства вероятности:
5)
Верна формула включений и исключений:
P
(A
1
∪ A
2
∪ ... ∪ A
k
) = P(A
1
) + .. + P(A
k
) − P(A
1
∩ A
2
) − ... −
−P
(A
1
∩ A
k
) + (−1
k−1
)P(A
1
∩ ... ∩ A
k
)
6)
P
(A
1
∪ A
2
∪ ... ∪ A
k
) ≤ P(A
1
) + .. + P(A
k
)
7)
Вероятность отрицания события A
= Ω \ A, P(A) = 1 − P(A)
8)
Правило умножения: вероятности независимых событий перемножаются: P
(A ∩ B) = P(A)P(B). Если это не выполняется, то события зависимы!
(
Факультет свободных искусств и наук
)
Элементы теории вероятности и статистики.
5 / 23

Классическое определение вероятности
Задачки
Задачки на классическую вероятность
Все те же самые комбинаторные задачки, только нужно поделить число получившихся комбинаций (благоприятствующих событию)
на все возможные комбинации (полная группа событий)
*
На книжной полке стоят 40 книг. Какова вероятность того,
чтобы три тома сочинений А. С. Пушкина, имеющиеся среди них, расположились в правильном порядке (но не обязательно вплотную друг к другу)? (Ответ:
A
37 40
A
40 40
=
40!
3!40!)
=
1 6
)
(
Факультет свободных искусств и наук
)
Элементы теории вероятности и статистики.
6 / 23

Классическое определение вероятности
Задачки
Совместные и несовместные исходы
Очень важное понятие совместности и несовместности!
Ниже приведены опыты, укажите совместные и несовместные события, какое событие какому благоприятствует. Перечислите все элементарные исходы.
Опыт: бросок двух монет, события: A - хотя бы на одной из монет выпала цифра, B- хотя бы на одной из монет выпал герб,
С- на обеих монетах выпала цифра, D - на обеих монетах выпал герб. ((A,B),(B,D),(A,C) - совместны, (С,D), (A,D), (B,C)
- несовместны )
*
Опыт: бросание кубиков. Событие A: число выпавших очков простое. Событие B - число выпавших очков четно. Событие С
- число выпавших очков делится на три
*
Опыт: два выстрела по мишени. Событие А - ни одного попадания, событие B - хотя бы одно попадание, С - ровно одно попадание, D - два попадания
(
Факультет свободных искусств и наук
)
Элементы теории вероятности и статистики.
7 / 23

Классическое определение вероятности
Задачки
Еще задачки (со звездочкой - самостоятельно)
Игроки бросaют две кости и считают сумму выигрышных очков, что вероятней получить в сумме 7 или 8? (7, т.к число благоприятных исходов больше для 7 )
В урне лежит 15 красных, 9 синих и 6 зеленых шаров. Наугад винимают 6 шаров. Какова вероятность того, что вынули 1

зеленый, 2 синих и 3 красных шара?
*
Слово ПОБЕДА разрезали на части, взяли наугад 4 буквы и выложили снова, какова вероятность что получится слово
БЕДА?
Монета бросается 6 раз. Найти вероятность того, что выпадет больше гербов, чем цифр.
(
Факультет свободных искусств и наук
)
Элементы теории вероятности и статистики.
8 / 23

Схема испытаний Бернулли
Схема испытаний Бернулли: броски монеты со смещенным центром тяжести
•
Пусть вероятность того, что монета со смещенным центром тяжести при её броске на стол ложится кверху "решкой равна p ∈
[0, 1], а "орлом"— соответственно
q
= 1 − p.
•
Пусть задано число n ∈ N. Монету бросают n раз и каждый раз фиксируют, на какую сторону монета упала.
•
Успехом считается, если монетка падает кверху "решкой". В этом случае записывают единицу. А если монетка упала "орлом пишут ноль, который обозначает неудачу.
(
Факультет свободных искусств и наук
)
Элементы теории вероятности и статистики.
9 / 23

Схема испытаний Бернулли
Схема Бернулли
•
После n бросаний получается последовательность ω из
0 и 1:
ω
= (x
1
, x
2
, ...., x
n
) ∈ [0, 1]
•
Множество всех возможных последовательностей является пространством всех элементарных исходов:
Ω : ω = (x
1
, x
2
, ...., x
n
) ∈ [0, 1], |Ω| = 2
n
•
НО! В отличии от классической схемы исходы будут уже НЕ равновероятны:
P
(ω = (x
1
, x
2
, ...., x
n
) = p
P
n
i
x
i
q
n−
P
n
i
x
i
•
В частном случае, при p
=
1 2
, получаем P
(ω) =
1 2
n
- то есть классическую вероятность
(
Факультет свободных искусств и наук
)
Элементы теории вероятности и статистики.
10 / 23

Схема испытаний Бернулли
Вероятность получить k успехов в серии из n
испытаний
Пусть событие A состоит в том, что среди n испытаний Бернулли было ровно k успехов. Как оценить такую вероятность?
•
Перечислим все исходы ω, которые благоприятствуют реализации события A
A
= ω
i 1
, ...., ω
im
⊆
Ω
•
Таковыми являются последовательности из нулей и единиц, в которых количество единиц равняется k.
•
Количество таких элементарных исходов m равняется количеству способов выбрать k позиций из n C
k
n
•
Вероятность события A равна сумме вероятностей всех исходов:
P
(A) =
X
ω∈A
P
(ω) = C
k
n
· p
k
q
n−k
(
Факультет свободных искусств и наук
)
Элементы теории вероятности и статистики.
11 / 23

Схема испытаний Бернулли
Задачки
Пример на схему Бернулли: гардероб
В школе два гардероба: левый и правый. 15 школьников вешают одежду с вероятностью 1/2 в любой из гардеробов. Какова вероятность того, что в правом гардеробе окажется в два раза больше одежды чем в левом? (В правый должны повестить 10
школьников)
(
Факультет свободных искусств и наук
)
Элементы теории вероятности и статистики.
12 / 23

Схема испытаний Бернулли
Задачки
Условная вероятность: вводный пример
Таблица:
Статистика переходов на сайт
<30
>30
Total
YES
100 30 130
NO
200 300 600
TOTAL
300 330 660
Если мы хотим узнать вероятность перехода на сайт вообще, то нужно поделить число благоприятных исходов (число перешедших на сайт) на общее число: P
= 130/660 ≈ 0.19. Но если нас интересует только определенная возрастная категория (до 30 лет)?
Будет уже треть перешедших! А вот в категории больше 30 всего 10
процентов. То что мы сделали, это посчитали вероятность перехода при определенном условии, то есть условную вероятность.
(
Факультет свободных искусств и наук
)
Элементы теории вероятности и статистики.
13 / 23

Схема испытаний Бернулли
Задачки
Условная вероятность
Пусть
Ω = {ω
1
, ω
2
, ..., ω
n
} B
=
{ω
i 1
, ω
i 2
, ..., ω
ik
}, тогда
P
(A|B) =
|A ∩ B|
|B|
=
|A∩B|
Ω
|B|
Ω
=
P
(A ∩ B)
P
(B)
Получили теорему умножения:
P
(A|B)P(B) = P(A ∩ B)
, В примере с переходами на сайт,
A - это доля переходов, B− опреде- ленная возрастная группа (напри- мер до 30 лет)
A
B
(
Факультет свободных искусств и наук
)
Элементы теории вероятности и статистики.
14 / 23

Схема испытаний Бернулли
Задачки
Независимость событий
Картина симметричная:
P
(A|B)P(B) = P(A ∩ B)
,
P
(B|A)P(A) = P(A ∩ B)
Независимость событий:
P
(A|B) = P(A) ⇒ P(A|B)P(B) = P(A)P(B)
Если события независимы, то вероятность пересечения равна произведению вероятностей
P
(A ∩ B) = P(A)P(B)
(
Факультет свободных искусств и наук
)
Элементы теории вероятности и статистики.
15 / 23

Схема испытаний Бернулли
Задачки
Формула полной вероятности
Условная вероятность
Пусть есть разбиение
Ω = {B
1
∪ B
2
∪ ... ∪
B
n
}, B
i
∩ B
k
= 0
P
(A) = P(A∩B
1
)+P(A∩B
2
)+P(A∩B
2
)
,
P
(A) = P(A|B)P(B
1
)+P(A|B
2
)P(B
2
)+.. =
X
i
P
(A|B)P(B)
Формула полной вероятности:
P
(A) =
X
i
P
(A|B
i
)P(B
i
)
(
Факультет свободных искусств и наук
)
Элементы теории вероятности и статистики.
16 / 23

Схема испытаний Бернулли
Задачки
Задача про урны и шары
Из первой урны, в которой лежит три черных и два белых шара вынимают случайным образом два шара и перекладывают во вторую урну, в которой лежит три белых и один черный шар.
После этого из второй урны тянут один шар, какова вероятность
P
(A) того, что вытащенный шар белый?
P
(B
1
) =
1
C
2 5
- два белых шара
P
(B
2
) =
3
C
2 5
- два черных шара
P
(B
3
) =
3∗2
C
2 5
- черный и белый
P
(A|B1) =
5 6
, P
(A|B2) =
3 6
, P
(A|B3) =
4 6
Осталось подставить в формулу полной вероятности и получить ответ!
(
Факультет свободных искусств и наук
)
Элементы теории вероятности и статистики.
17 / 23

Условная вероятность. Формула Байеса
Формула Байеса
1
Формула полной вероятности:
P
(A) =
X
i
P
(A|B
i
)P(B
i
)
2
Теорема умножения:
P
(A|B
i
)P(B
i
) = P(A ∩ B
i
)
P
(B
i
|A
)P(A) = P(B
i
∩ A
)
3
И все! Формула получена:
P
(B
i
|A
) =
P
(B
i
∩ A
)
P
(A)
=
P
(A|B
i
)P(B
i
)
P
i
P
(A|B
i
)P(B
i
)
(
Факультет свободных искусств и наук
)
Элементы теории вероятности и статистики.
18 / 23

Условная вероятность. Формула Байеса
Задачка про ученика и выбор ответа
Студент пытается сдать тест. В тесте одна задача и
10 вариантов ответов, при этом только один из них правильный. По опыту преподаватель знает, что только
30% студентов понимают как решить задачу. Студент сдал тест с правильным вариантом. Какова вероятность того, что он действительно знал решение этой задачи?
Решение:
A - студент выбирает правильный ответ
B
1
- знает как решать, p
(B
1
) = 0.3
B
2
- не знает как решать p
(B
2
) = 0.7
p
(A) = 0.3 ∗ 1 + 0.7 ∗
1 10
p
(B
1
|A
) =
0.3∗1 0.3∗1+0.7∗
1 10
(
Факультет свободных искусств и наук
)
Элементы теории вероятности и статистики.
19 / 23

Условная вероятность. Формула Байеса
Тесты на ВИЧ
Для сведения к минимуму ошибок в выявлении ВИЧ
инфицированных используется следующая процедура. Сначала проводится тест под названием ELISA, в том случае если результат положительный, тестирование проводится еще раз. Если результат снова положительный, тогда проводится тест под названием
Western blot. Известно, что чувствительность Elise (доля верно-положительных) -
93%, специфичность 99% (верно отрицательных). Чувствительность Western blot (доля верно-положительных) -
99.9%, специфичность 99.1% (верно отрицательных). Также известно, что распространенность заболеваемости 1.48 на тысячу человек. У одного из тестируемых пришли положительные результаты после первого теста. Какова вероятность, того что он действительно болен. Второй тест оказался тоже верен. Как теперь изменилась вероятность. И третий тест Western blot тоже оказался положительным. Остались ли хоть какие-то шансы, того что у тестируемого нет заболевания?
(
Факультет свободных искусств и наук
)
Элементы теории вероятности и статистики.
20 / 23

Условная вероятность. Формула Байеса
Диаграмма к HIV
(
Факультет свободных искусств и наук
)
Элементы теории вероятности и статистики.
21 / 23

Условная вероятность. Формула Байеса
Убийство
Произошло убийство, на месте найдена кровь, которая явно принадлежит убийце. Кровь редкой группы, которая есть всего у
1% населения, в том числе у подсудимого
Прокурор. Шанс, что у подсудимого была бы именно такая группа крови, если бы он был невиновен всего 1%, то есть вероятность что он виновен 99%. В чем не прав прокурор?
Адвокад. В городе живет 1 млн человек, у 10000 из них такая группа крови, все о чем нам говорит эта кровь, что подсудимый совершил убийство с вероятностью 0.01%, никакое это не доказательство. В чем не прав адвокат?
(
Факультет свободных искусств и наук
)
Элементы теории вероятности и статистики.
22 / 23

Условная вероятность. Формула Байеса
Реальные случаи
O.J.Simpson судят за убийство жены. Прокурор сказал, что он уже бил жену в прошлом. Адвокат ответил: "По статистике убивают только одну женщину из 2500, подвергающихся насилию, так что это вообще не релевантно ". Суд согласился с адвокатом. Верно ли это рассуждение?
У Sally Sark от неизвестной причины погибло два младенца.
Прокурор сказал, что от SIDS погибает 0.01 процента детей, то есть вероятность того, что в одной семье от SIDS (синдром внезапной смерти) погибнет два ребенка 0.0001 - ничтожна и гораздо меньше вероятности убийства. Суд принял аргументы прокурора и женшину осудили. В чем не прав прокурор?
(
Факультет свободных искусств и наук
)
Элементы теории вероятности и статистики.
23 / 23