Лекции Элементы Высшей маьтематики. Лекции. Эмпирическая функция распределения. Полигон и гистограмма. В результате изучения темы студент должен
![]()
|
Перечень информационного обеспечения: основной и дополнительной литературы, учебно-методических пособий, электронных ресурсов
Тема лекции: Математическая статистика План: Основные понятия математической статистики Графическое изображение выборки Точечные оценки параметров распределения Основные понятия математической статистики На практике функция распределения случайной величины бывает неизвестна и ее определяют по результатам наблюдений или, как говорят, по выборке. Выборкой объема n для случайной величины называется последовательность независимых наблюдений этой величины, где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если ![]() ![]() ![]() Эта частота является функцией от x и называется эмпирической функцией распределения случайной величины X, полученной по данной выборке. Если обозначить эту функцию через ![]() ![]() Эмпирическая функция распределения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Статистическим рядом распределения называется таблица, которая содержит вариационный ряд и соответствующие частоты или относительные частоты членов этого ряда (табл. 1). ![]() ![]() ![]() Таблица 1 Таблица 2
В случае непрерывного распределения величины X статистический ряд распределения представляет собой таблицу, в которой заданы интервалы значений величины X и соответствующие им частоты или относительные частоты, причем интервалы располагаются в порядке возрастания величины X (табл. 2). Второй случай легко сводится к первому, если в качестве вариант брать середины интервалов: ![]() ![]() Графическое изображение выборки Графически табл. 1 изображается полигоном частот, представляющим собой ломаную, отрезки которой соединяют на плоскости соседние точки ![]() ![]() ![]() ![]() В случае табл. 2 исходный интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на определенное количество равных интервалов длины ![]() ![]() ![]() Гистограмма относительных частот является аналогом функции плотности, так как площадь под ней равна единице. Число интервалов разбиения находят по формуле ![]() ![]() ![]() ![]() Точечные оценки параметров распределения По аналогии с такими числовыми характеристиками случайной величины, как математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, для выборки ![]() выборочная средняя ![]() где k – число вариант и ![]() выборочная дисперсия ![]() или ![]() ![]() выборочное среднее квадратическое отклонение ![]() Во многих случаях бывает заранее известно, что функция распределения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Для выполнения данного условия накладывают следующие требования на оценку: несмещенность оценки, ее эффективность и состоятельность. Наиболее часто применяемыми метода получения оценок являются метод моментов и метод максимального правдоподобия. Несмещенной и состоятельной оценкой математического ожидания ![]() ![]() Несмещенная и состоятельная оценка ![]() ![]() ![]() где ![]() Для оценки среднего квадратического отклонения используется величина S, равная квадратному корню из исправленной дисперсии, которая называется исправленным средним квадратическим отклонением. Рассмотренные оценки характеризуются одним числом и называются точечными. Пример 1. По заданному статистическому ряду (табл. 1) требуется: а) построить гистограмму относительных частот; б) перейти к вариантам и построить полигон относительных частот; в) построить эмпирическую функцию распределения. Таблица 1
Решение а) Объем выборки ![]() Определяем относительные частоты ![]() Таблица 2
Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладываются частичные интервалы длины ![]() ![]() ![]() б) Перейдем к вариантам, положив их равными серединам частичных интервалов ![]() ![]() ![]() Таблица 3
Отметим на плоскости точки ![]() ![]() в) Эмпирическая функция распределения ![]() ![]() В нашем случае получаем: ![]() График функции ![]() ![]() Пример 2.В условиях примера 1 найти статистические оценки. Решение Обратимся к табл. 3: ![]() ![]() ![]() Контрольные вопросы: Что такое выборка? Что такое варианта выборки и частота? Как графически изображается выборка? Точечные оценки выборки. Задачи на закрепление материала Статистический ряд задан таблицей. Требуется: а) построить гистограмму относительных частот; б) перейти к вариантам и построить полигон относительных частот; в) записать эмпирическую функцию распределения и построить ее график; г) найти точечные оценки ![]() ![]() ![]()
Тема лекции: Интервальные оценки параметров распределения План: Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения. Интервальная оценка среднего квадратического отклонения нормального распределения. Интервальная оценка вероятности события Определение: Интервальнойназывают оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала. Так как любая оценка ![]() ![]() ![]() Однако статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения Если случайная величина распределена нормально и среднее квадратическое отклонение известно, то доверительный интервал для оценки математического ожидания a ![]() где n – объем выборки, t находится из равенства ![]() ![]() Если неизвестно, то в формуле (1) оно заменяется на исправленное среднее квадратическое отклонение S, t заменяется на ![]() ![]() Интервальная оценка среднего квадратического отклонения нормального распределения Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения нормального распределения с заданной надежностью находится по формуле ![]() где ![]() Пример 1. Дано распределение частот выборки (табл. 1). Найти доверительные интервалы для математического ожидания a и среднего квадратического отклонения с доверительной вероятностью = 0,95, если известно, что генеральная совокупность распределена по нормальному закону Таблица 1
Решение Имеем: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() По таблице приложения находим ![]() Подставляя полученные значения S и t в формулу (2), получим ![]() или ![]() По таблице приложения найдем ![]() Подставляя значения S и q в формулу (3), получим ![]() или ![]() 3.Интервальная оценка вероятности события Интервальной оценкой (с надежностью ![]() ![]() ![]() где ![]() n- общее число испытаний; m- число появления события; ![]() t- значение аргумента функции Лапласа, при котором ![]() ![]() Замечание: При больших значениях n (порядка сотен) можно принять в качестве приближенных границ доверительного интервала ![]() Пример: Производятся независимые испытания с одинаковой, но неизвестной вероятностью р появления события А в каждом испытании. Найти доверительный интервал для оценки вероятности р с надежностью 0,95, если в 60 испытаниях событие А появилось 15 раз. Решение: По условию, n=60, m=15, ![]() ![]() Найдем t из соотношения ![]() Найдем границы искомого доверительного интервала: ![]() Подставив в эти формулы n=60, ![]() Итак, искомый доверительный интервал ![]() Пример: Изготовлен экспериментальный игровой автомат, который должен обеспечить появление выигрыша в одном случае из 100 бросаний монеты в автомат. Для проверки пригодности автомата произведено 400 испытаний, причем выигрыш появился 5 раз. Найти доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность появления выигрыша с надежностью ![]() Решение: Найдем относительную частоту появления выигрыша ![]() Найдем t из соотношения ![]() Учитывая, что n=400 велико, используем для отыскания границ доверительного интервала приближенные формулы: ![]() Подставив в эти формулы n=400, ![]() получим р1= -0,0058, р2= 0,0308. Итак, искомый доверительный интервал ![]() |