Оптимальное управление быстродействием движущегося объекта с ограничениями на состояние. Оптимальное управление быстродействием движущегося объекта с огр. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования оренбургский государственный университет

• Название: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования оренбургский государственный университет
• Анкор: Оптимальное управление быстродействием движущегося объекта с ограничениями на состояние
• Дата: 28.10.2022
• Размер: 293.94 Kb.
• Имя файла: Оптимальное управление быстродействием движущегося объекта с огр.docx
• Тип: Задача; #760148

Министерство образования и науки Российской Федерации

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Математический факультет

Кафедра прикладной математики и информатики

КУРСОВАЯ РАБОТА

по Теории оптимального управления

Оптимальное управление быстродействием движущегося объекта с ограничениями на состояние

ОГУ 010400.3015.031 ОО

Оренбург 2015

Аннотация

Рассматривается аналитический метод решения задачи оптимального быстродействия «В лодке с Понтрягиным» с фазовыми ограничениями и учетом ограниченности ресурсов системы.

Содержание

Введение 4

1 Постановка задачи 5

2 Классический пример Понтрягина и его лодка 7

Практическая часть 13

Заключение 15

Список использованных источников 16

Введение

Создание систем управления, обеспечивающих минимум времени переходного процесса с учетом требований на их динамические свойства, приводит к постановке задачи оптимального быстродействия с различного вида ограничениями. Основная задача состоит в определении таких граничных условий из заданных множеств и управлений из заданного функционального пространства, которые обеспечивают переход объекта управления из одного состояния в другое за минимально возможное время с учетом ограниченности ресурсов, зоны нормального функционирования системы и интегральных ограничений.

Задача создания оптимальных по быстродействию систем возникает при разработке следящих систем, автоматических компенсаторов, систем управления приводами прокатных станов, ракетами, подъемными устройствами и систем автоматизации и других технических устройств.

1 Постановка задачи

Рассмотрим задачу быстродействия вида

(1),

где и - фиксированные точки из пространства , _- время окончания, которое неотрицательно и свободно, - время, - траектория, - управление, - множество допустимых управлений, .

Следовательно, (1) является задачей перехода из состояния в состояние за минимальное время: такая задача называется оптимальной по быстродействию, ее решение имеет оптимальное время .

Так как , Гамильтониан имеет вид

(2)

Сформулируем следующую теорему.

Теорема 1. Рассмотрим задачу (1), в которой . Пусть - оптимальное управление с временем окончания , а _- соответствующая траектория. Тогда существует множитель , где _, - непрерывна, и

1. 
   выполняется принцип максимума Понтрягина
   

2. 
   справедливы сопряженные уравнения
   

3. 
   условия трансверсальности имеют вид
   

(3)

4. 
   
   

Так как задача оптимального быстродействия относится к задаче с переменным временем, то сложно сформулировать достаточные условия оптимальности.

В следующем примере рассмотрим два различных подхода, гарантирующие, что экстремаль действительно является оптимальным решением.

Пример 1.

Рассмотрим



Гамильтониан имеет вид .

Необходимые условия оптимальности дают следующие результаты:

Согласно принципу максимума Понтрягина

(4)



Из (3), для некоторой константы , имеем

(5)

Легко видеть, что и (5) получаем , то есть . Значит из (4) имеем на . Уравнение динамики с начальным условием дает решение .

Используя конечное условие , получим значение .

Вернемся к условию (5): .

2 Классический пример Понтрягина и его лодка

Предположим, что мы находимся на лодке, которая в момент времени имеет расстояние от причала пирса и скорость в направлении пирса. Лодка оснащена мотором, который обеспечивает ускорение или замедление. Мы ищем стратегию, чтобы прибыть к пирсу в кратчайшие сроки с «мягкой стыковкой», т. е. с нулевой скоростью в финальный момент времени .

Введем обозначения

- расстояние от причала в момент времени ,

– скорость лодки

– ускорение ( ) или замедление ( )

Для того чтобы получить «мягкую стыковку», мы потребуем

, где – конечное время (явно неизвестно).

Отметим, что наша стратегия зависит только от нашего выбора в каждый момент времени .

Получаем задачу оптимального управления:

(6)

где - фиксированы, - свободно (неизвестно).

Модель (6) – один из возможных вариантов представления данного классического примера.

Рассмотрим задачу (6) «В лодке с Понтрягиным», положим и получим

(7),

где - фиксированные константы, - положительно.

Гамильтониан и необходимые условия теоремы 1 дают

(8)

(9)

(10)

(7) (11)

Простые вычисления из (9) и (10) дают

(12),

где и - константы.

Из (PMP) в (8) мы имеем



Предположим, что на всем интервале , то мы получим . По (12)

:

Но данный результат противоречит (11), следовательно, ситуация с невозможна. Значит, и является прямой линией, тогда существует не более одной точки переключения , в которой управление имеет разрыв первого рода (скачок).

Рассмотрим два случая.

Случай А. Допустим для . Тогда для любого имеем , а значит

(13)

(14)

Преобразуем (14) к виду

(15)

На данный момент не так то просто найти константы и : однако ясно, что (15) представляет некоторые параболы на плоскости . Кроме того, уравнение динамики дает, что если , то функция возрастает и если , то убывает (на рисунке 1 указаны соответствующие направления).



Рисунок 1.

Случай В. Допустим при . Тогда для любого , а значит

(16)

(17)

Аналогично предыдущему случаю, получаем

(18)

Снова у нас есть некоторый набор парабол с указанным направлением движения.



Рисунок 2.

Случай А+В. Теперь соединим вместе эти два семейства парабол в (15) и (17) (рисунок 3).



Рисунок 3.

Для того чтобы в начальный момент времени стартовав из точки , прибыть в момент окончания времени в точку , мы можем проследить вдоль различных участков таких парабол (с верным направлением). Понятно, что существует бесконечное множество таких путей: например, начиная из точки мы можем двигаться по кривой, прибыв в точку , затем следуя по пунктирной линии, прибыть в точку и попасть в начало новой параболы.

Заметим, что каждый раз, когда мы переходим от одной кривой на другую, оптимальное управление имеет точку разрыва, т.е. проходит от +1 до -1 и наоборот. Поскольку мы знаем, что оптимальное управление имеет не более одной точки разрыва, то «красная линия ADO» - это единственная прямая, чтобы показать минимальный путь.



Рисунок 4.

Практическая часть

Рассмотрим задачу



Поскольку , по (16) и (17) мы получаем и . Условие (15) дает кривую с уравнением

.

Точка является точкой пересечения кривой , заданной уравнением , и кривой : мы получаем . Отметим, что начиная с в момент времени , мы приходим в точку в момент времени по (16).

Начиная от точки , прибываем, по кривой , к точке .

Из условия (13) получаем ⇒ .

Из условия (15) и уравнения , мы имеем .

В момент времени мы приходим в начало координат, используя (13), получим .

Следовательно .

Оптимальное управление и оптимальные траектории окончательно примут вид (графики оптимальных решений представлены на рисунке 5)









Рисунок 5 – Оптимальное решение задачи.

Заключение

Задачи оптимального управления встречаются на практике (например, при описании импульсных систем) и потому представляют интерес не только как конечноразностные аналоги непрерывных задач.

Задачи оптимизации управляемых процессов, или как они будут в дальнейшем называться, задачи оптимального управления, составляют один из широких классов экстремальных задач и имеют важное прикладное значение.

Структурная схема задачи управления состоит из двух звеньев: управляющего органа и объекта управления. В качестве объекта управления может служить, например, космический эксперимент, экономика отрасли промышленности, система машин, семейный бюджет и т. д. Управляющее звено со времени возникновения задач управления претерпело эволюции от простейшего регулятора до современной ЭВМ.

Список использованных источников

1. 
   Calogero, А. Notes on optimal control theory with economic models and exercises/ A. Calogero // Dipartimento di Matematica e Applicazioni. - 2014.
   
2. 
   Айсагалиев, С.А. Дифференциальные уравнения и процессы управления / С.А. Айсагалиев // Оптимальное управление. – 2010.