Финансовые ренты Финансовая математикаЦели изучения темы
 Скачать 0.52 Mb.
|
|
Финансовые ренты Финансовая математика Цели изучения темы: - ознакомление с видами потоков платежей; - ознакомление с характеристиками и параметрами финансовых рент; - получение представления о финансовых рентах. Задачи изучения темы: определение сущности потока платежей и его характеристики; изучение формулы вычисления наращенной суммы для различных видов финансовых рент; изучение формулы вычисления современной стоимости для различных видов финансовых рент; изучение методов определения параметров финансовых рент; анализ переменных потока платежей. В результате изучения данной темы Вы будете Знать: о потоках платежей и одним из видов потоков платежей – финансовых рент; основные методы вычисления основных характеристик и параметров потока платежей. Уметь: вычислять современную и будущую стоимости различных фондов; определять выплаты в погашение кредита банка, регулярные взносы в пенсионный и другие фонды. Владеть: навыками математического анализа и применения математических моделей для оценки состояния, и прогноза развития экономических явлений и процессов. Учебные вопросы темы: 1. Понятие потоков платежей, их характеристики и параметры. 2. Наращенная сумма и современная стоимость постоянных рент постнумерандо. 3. Определение параметров рент постнумерандо. Вопрос 1. Понятие потоков платежей, их характеристики и параметры Очень часто в контрактах финансового характера предусматриваются не отдельные разовые платежи, а серии платежей, распределенных во времени. Примерами могут быть регулярные выплаты с целью погашения долгосрочного кредита вместе с начисленными на него процентами, периодические взносы на расчетный счет, на котором формируется некоторый фонд различного назначения (инвестиционный, пенсионный, страховой, резервный, накопительный и т.д.), дивиденды, выплачиваемые по ценным бумагам, выплаты пенсий из пенсионного фонда и прочее. Ряд последовательных выплат и поступлений называют потоком платежей. Выплаты представляются отрицательными величинами, а поступления – положительными. Обобщающими характеристиками потока платежей являются наращенная сумма и современная величина. Каждая из этих характеристик является числом. Наращенная сумма потока платежей – это сумма всех членов последовательности платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты. Под современной величиной потока платежей понимают сумму всех его членов, дисконтированных (приведенных) на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему. Конкретный смысл этих обобщающих характеристик определяется природой потока платежей, причиной, его порождающей. Например, наращенная сумма может представлять собой итоговый размер формируемого инвестиционного или какого- либо другого фонда, общую сумму задолженности. Современная величина может характеризовать приведенную прибыль, приведенные издержки. Финансовые ренты (аннуитеты). Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы постоянны, называют финансовой рентойили аннуитетом. Финансовая рента имеет следующие параметры: член ренты (выплата) – величина каждого отдельного платежа; период ренты – временной интервал между двумя соседними платежами; срок ренты – время, измеренное от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода; процентная ставка – ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту, число платежей в году, число начислений процентов в году, моменты платежа внутри периода ренты. Виды финансовых рент. Классификация рент может быть произведена по различным признакам. В зависимости от продолжительности периода, ренты делят на годовые и p – срочные, где p – число выплат в году. По числу начислений процентов различают ренты с начислением один в году, m раз или непрерывно. Моменты начисления процентов могут не совпадать с моментами рентных платежей. По величине членов различают постоянные (с равными членами) и переменные ренты. Если размеры платежей изменяются по какому-либо математическому закону, то часто появляется возможность вывести стандартные формулы, значительно упрощающие расчеты. По вероятности выплаты членов различают ренты верныеи условные. Верные ренты подлежат безусловной выплате, например, при погашении кредита. Выплата условной ренты ставится в зависимость от наступления некоторого случайного события. Поэтому число ее членов заранее неизвестно. Например, число выплат пенсий зависит от продолжительности жизни пенсионера. По числу членов различают ренты с конечным числом членов или ограниченные и бесконечные или вечные. В качестве вечной ренты можно рассматривать выплаты по облигационным займам с неограниченными или не фиксированными сроками. В зависимости от наличия сдвига момента начала ренты по отношению к началу действия контракта или какому-либо другому моменту ренты подразделяются на немедленные и отложенные или отсроченные. Срок немедленных рент начинается сразу, а у отложенных запаздывает. Ренты различают по моменту выплаты платежей. Если платежи осуществляются в конце каждого периода, то такие ренты называются обычными или постнумерандо. Если же выплаты производятся в начале каждого периода, то ренты называются пренумерандо. Иногда предусматриваются платежи в середине каждого периода. Анализ потоков платежей в большинстве случаев предполагает расчет наращенной суммы или современной величины ренты. Вопрос 2. Наращенная сумма и современная стоимость постоянных рент постнумерандо Пусть в конце каждого года в течение n лет на расчетный счет вносится по R рублей, проценты начисляются один раз в года по ставке i. В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины R(1+i) n-1 , так как на сумму R проценты начислялись в течение n-1 года. Второй взнос увеличится до R(1+i) n-2 и т.д. На последний взнос проценты не начисляются. Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессии: S=R+R(1+i)+R(1+i) 2 +. . . + R(1+i) n-1 , в которой первый член равен R, знаменатель (1+i), число членов n. Эта сумма равна: i i R S n 1 ) 1 ( = Rs n;i (1) где i i s n i n 1 ) 1 ( , (2) – называется коэффициентом наращения ренты. Он зависит только от срока ренты n и уровня процентной ставки i. Годовая рента, начисление процентов m раз в году. Предположим теперь, что платежи делают один раз в конце года, а проценты начисляют m раз в году. Это означает, что применяется каждый раз ставка j/m, где j – номинальная ставка процентов. Тогда члены ренты с начисленными до конца срока процентами имеют вид R(1+j/m) m(n-1) , R(1+j/m) m(n-2) , . . . , R. Если прочитать предыдущую строку справа налево, то нетрудно увидеть, что перед нами опять геометрическая прогрессия, первым членом которой является R, знаменателем (1+j/m) m, а число членов n. Сумма членов этой прогрессии и будет наращенной суммой ренты. Она равна: 1 1 1 1 m n m m j m j R S (3) Рента p-срочная, p=m В контрактах часто начисление процентов и поступление платежа совпадают во времени. Таким образом число платежей p в году и число начислений процентов m совпадают, т.е. p=m. Тогда для получения формулы расчета наращенной суммы можно воспользоваться аналогией с годовой рентой и одноразовым начислением процентов в конце года, для которой i i R S n 1 ) 1 ( Различие будет лишь в том, что все параметры теперь характеризуют ставку и платеж за период, а не за год. Таким образом получаем j m j R S n m 1 1 (4) Рента p-срочная, p≥1, m≥1 Это самый общий случай p-срочной ренты с начислением процентов m раз в году, причем, возможно p≥m. Наращенная сумма: 1 1 1 1 p m n m m j p m j R S (5) Отметим, что из нее легко получить все рассмотренные выше частные случаи, задавая соответствующие значения p и m. Формулы современной величины Обычная годовая рента: А – современная величина ренты. n 1 (1 i) A R i (6) Коэффициент приведения ренты зависит только от двух параметров: срока ренты n и процентной ставки i. Поэтому его значения могут быть представлены в табличном виде. Такие таблицы можно найти в книгах или построить самим на компьютере. Рента p-срочная, p≥1, m≥1 Аналогичные рассуждения позволяют получить формулу для расчета современной величины ренты в самом общем случае для произвольных значений p и m 1 1 1 1 p m n m m j p m j R А (7) от которой нетрудно перейти к частным случаям при различных p и m. Рента пренумерандо. Рассмотрим теперь ренту, когда платежи производятся в начале каждого периода, – ренту пренумерандо. Различие между рентой постнумерандо и рентой пренумерандо заключается лишь в том, что у последней на один период начисления процентов больше. В остальном структура потоков с одинаковыми параметрами одинакова. Поэтому наращенные суммы обоих видов рент (с одинаковой периодичностью платежей и начисления процентов и размером выплат) тесно связаны между собой. Если обозначить через 𝑆̈ наращенную сумму ренты пренумерандо, а через S, как и раньше, наращенную сумму соответствующей ренты постнумерандо, то в самом общем случае получим 𝑆̈ р т m j S 1 (8) Точно также для современной величины ренты пренумерандо и соответствующей ей ренты постнумерандо имеем следующее соотношение 𝐴 ̈ = A(1+ j /m) m/р (9) Пример 1. Инвестиции производятся на протяжении 4 лет один раз в конце года по 2 млн. руб. Ставка сложных процентов 17% годовых. Найти сумму инвес тици й к концу срока. Решение: Наращенная сумма инвестиций: i i R S n 1 ) 1 ( 17 , 0 1 ) 17 , 0 1 ( 2 4 S = 10,28 млн. руб. Пример 2. В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб., на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока. Решение: = 33,1 Пример 3. Найти наращенную сумму годовой ренты, если проценты начисляются по номинальной ставке 16% ежемесячно, член ренты 50000 руб., срок ренты 4 года. Решение: 1 1 1 1 p m n m m j p m j R S 12 16 , 0 1 ) 12 16 , 0 1 ( 50000 12 S = 384 615 руб. Пример 4. В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб., на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока. Решение: 1 , 0 1 ) 1 , 0 1 ( 10 3 S = 33,1 Пример 5. Бизнесмен арендовал виллу за 10000 долларов в год. Какова выкупная цена аренды при годовой ставке процента 5%? Решение: Выкупная цена есть современная величина всех будущих арендных платежей и равна: А = R/i = 200 000 долларов. Пример 6. Инвестиции в проект к концу первого года его реализации составят 10000 руб. В последующие три года ожидаются годовые доходы по проекту 3000 руб., 4200 руб., 6800 руб. Издержки привлечения капитала 10%. Рассчитать чистую текущую стоимость проекта. Решение: В данной задаче применяем формулу расчета наращенной суммы постоянной ренты пренумерандо. 1 , 0 1 ) 1 , 0 1 ( 10 3 S ) 1 ( 1 ) 1 ( i i i R S n Так как 10000 руб. – вложенные деньги, то будем их учитывать со знаком «-»: P= 4 3 2 ) 1 , 0 1 ( 6800 ) 1 , 0 1 ( 4000 ) 1 , 0 1 ( 3000 ) 1 , 0 1 ( 10000 = 1188,44 руб. Вопрос 3. Определение параметров финансовой ренты Иногда при разработке контрактов возникает задача определения по заданной наращенной сумме ренты S или ее современной стоимости A остальных параметров ренты: R, n, i, p, m. Такие параметры как m и p обычно задаются по согласию двух подписывающих сторон. Остаются параметры R, n, i. Два из них задаются, а третий рассчитывается. Такие расчеты могут быть неоднократно повторены при различных значениях задаваемых параметров, пока не будет достигнуто согласие сторон. Определение размера ежегодной суммы платежа R В зависимости от того какая обобщающая характеристика постоянной ренты задана S или A, возможны два варианта расчета R=S/sn;i (10) или R=A/an;i. (11) Определение срока постоянной ренты Рассмотрим решение этой задачи на примере обычной годовой ренты с постоянными заданными платежами. Решая исходные формулы для S и A i i R S n 1 ) 1 ( или n 1 (1 i) A R i относительно срока n, получаем соответственно следующие два выражения: ) 1 ln( 1 ln i R S i n или ) 1 ln( 1 ln i R А i n (12) Последнее выражение, очевидно, имеет смысл только при R>Ai. Определение ставки процентов Для того, чтобы найти ставку i, необходимо решить одно из нелинейных уравнений (предполагаем, что речь идет о постоянной годовой ренте постнумерандо) следующего вида: i i R S n 1 ) 1 ( или n 1 (1 i) A R i которые эквивалентны двум другим i n n s R S i i , 1 ) 1 ( или i n n a R A i i , ) 1 ( 1 (13) В этих уравнениях единственным неизвестным является процентная ставка i. Решение нелинейных уравнений может быть найдено лишь приближенно. Известно несколько методов решения таких уравнений: метод подбора, метод линейной интерполяции, метод Ньютона-Рафсона и другие. Эквивалентные платежи. Принцип эквивалентности. В практике часто возникает необходимость в изменении условий контракта: например, должник может попросить об отсрочке срока погашения долга или, напротив, изъявить желание погасить его досрочно, в ряде случаев может возникнуть потребность объединить (консолидировать) несколько долговых обязательств в одно и т.д. Во всех этих случаях применяется принцип финансовой эквивалентности старых (заменяемых) и новых (заменяющих) обязательств. Для решения задач по изменению условий контракта разрабатывается так называемое уравнение эквивалентности, в котором сумма заменяемых платежей, приведенных к какому- либо одному моменту времени, приравнивается сумме платежей по новому обязательству, приведенных к той же дате. Для краткосрочных контрактов применяются простые процентные ставки, а для средне- и долгосрочных - сложные ставки. Консолидация потока платежей. Уравнение эквивалентности. В случае с объединением (консолидированием) нескольких платежей в один сумма заменяемых платежей, приведенных к одной и той же дате, приравнивается к новому обязательству: S 0 = ΣS j · (1 + i · t j ) (14) где t j – временной интервал между сроками, t j = n 0 - n j Пример 7. Решено консолидировать два платежа со сроками 20.04 и 10.05 и суммами платежа 20 тыс. руб. и 30 тыс. руб. Срок консолидации платежей 31.05. Определить сумму консолидированного платежа при условии, что ставка равна 10% годовых. Решение: Определим временной интервал между сроками для первого платежа и консолидированного платежа 1 : t 1 = 11(апрель) + 31(май) – 1 = 41 день; для второго платежа и консолидированного платежа: t 2 = 22(май) – 1 = 21 день. Отсюда сумма консолидированного платежа будет равна: S oб. = S 1 · (1 + t 1 / T · i) + S 2 · (1 + t 2 / T · i) = = 20 000 · (1 + 41/360 · 0,1) + 30 000· (1 + 21/360 · 0,1) = 50 402,78 руб. Таким образом, консолидированный платеж со сроком 31.05 составит 50402,78 руб. Конечно, существуют различные возможности изменения условий финансового соглашения, и в соответствии с этим многообразие уравнений эквивалентности. Готовыми формулами невозможно охватить все случаи, возникающие в практической деятельности, но в каждой конкретной ситуации при замене платежей уравнение эквивалентности составляется похожим образом. Если платеж S 1 со сроком n 1 надо заменить платежом S об. со сроком n об. (n об. > n 1 ) при использовании сложной процентной ставки i, то уравнение эквивалентности имеет вид: S об. = S 1 · (1 + i) n - n 1 (15) 1 Не забудьте, что дата выдачи и дата погашения считается за один день. Пример 8. Предлагается платеж в 45000 руб. со сроком уплаты через 3 года заменить платежом со сроком уплаты через 5 лет. Найти новую сумму платежа, исходя из ставки 12 % годовых. Решение: Поскольку n об. > n 1 , то платеж составит: S об. = S 1 (1 + i) n - n 1 = 45 000 (1 + 0,12) 5 - 3 = 56 448 руб. Таким образом, в новых условиях финансовой операции будет предусмотрен платеж 56448 руб. Отложенная рента Начало отложенной (или отсроченной) ренты отодвигается от момента заключения сделки на какой-то момент в будущем. Наращенная сумма такой ренты может быть подсчитана по тем формулам, которые нам уже известны. А ее современную величину можно определить в два этапа: сначала найти современную величину соответствующей немедленной ренты (эта сумма характеризует ренту на момент начала ее срока), а затем с помощью дисконтирования этой величины по принятой ставке в течение срока задержки привести ее к моменту заключения договора. Например, если современная величина годовой немедленной ренты равна A, то современная величина отложенной на t лет ренты составит At=Av t (16) где v t – дисконтный множитель за t лет, v=1/(1+i)<1. Рента с платежами в середине периодов Наращенная сумма (S1/2) и современная стоимость (A1/2) ренты с платежами в середине периодов и соответствующей ренты постнумерандо связаны так S1/2=S(1+j/m) m/p и A1/2=A(1+j/m) m/(2p). (17) Пример 9. В долг берется 300000 руб. под годовую ставку 6%. В год выплачивается по 34000 руб. Сколько лет займут эти выплаты? Решение: i i R S n 1 ) 1 ( = Р(1+i) n 06 , 0 1 ) 06 , 0 1 ( 34000 n + 300000(1+0,06) n =0 − 34000 ·1.06 n + 34000 + 18000 ·1.06 n = 0 1.06 n = 2.125 n = 13 лет Пример 10. Два платежа S 1 = 100 тыс. руб. и S 2 = 50 тыс. руб. со сроками 150 и 180 дней, отсчитываемыми от одной базы, заменяются одним со сроком 200 дней. Стороны согласились на замену при использовании простой ставки, равной 6% годовых. Найти величину консолидированного платежа S. Решение: Для замены ренты S 1 , S 2 платежом S можно воспользоваться тем, что платеж S должен равняться сумме наращений выплат S 1 , S 2 за период их отсрочки: S = 100(1 + 0,06· 50/365) + 50(1 + 0,06 · 20/365) = 150986 руб. Вопросы для самопроверки: 1. Укажите соотношение между современной и конечной величинами потока. 2. Какие потоки называются регулярными и нерегулярными? 3. Перечислите основные характеристики потока платежей. 4. Перечислите параметры ренты. 5. Дайте определение наращенной суммы современной стоимостью потока платежей. 6. Дайте определение наращенной суммы современной стоимостью потока платежей. 7. Какие ренты называются постоянными? 8. Дайте определение годовой ренты, ренты с начислением по номинальной процентной ставке, р-срочной ренты, непрерывной ренты. 9. Перечислите типы непрерывных постоянных рент. 10. Дайте определение ренты постнумерандо. 11. Что такое рента пренумерандо? 12. В чем отличие отложенной ренты от обычной ренты? 13. Напишите формулу для современной стоимости вечной ренты. 14. Напишите формулу наращенной суммы в случае ежегодных взносов и ежегодном начислении процентов. 15. Напишите формулу современной величины суммы в случае ежегодных взносов и ежегодном начислении процентов. 16. Определите связь между наращенной суммой ренты с платежами в середине периодов и рентой постнумерандо. 17. Определите связь между современной величиной ренты с платежами в середине периодов и рентой постнумерандо. 18. Напишите формулу наращенной суммы ренты в случае абсолютного прироста платежей. 19. Напишите формулу современной величины суммы ренты в случае постоянного темпа роста платежей. |