реферат_я. Фрактальная модель динамики численности народонаселения

• Название: Фрактальная модель динамики численности народонаселения
• Дата: 07.02.2023
• Размер: 457.01 Kb.
• Имя файла: реферат_я.docx
• Тип: Реферат; #925276

Министерство образования Российской Федерации
Тверской государственный университет

Реферат на тему:
«Фрактальная модель динамики численности народонаселения»

Исполнитель: студент группы М-11М

Фёдоров А.В.

Тверь 2023
Оглавление

Введение

1. 
   Анализ подходов к построению математических моделей динамики численности населения.
   
2. 
   Уравнения демографической динамики.
   
3. 
   Построение и реализация фрактальной модели динамики численности народонаселения.
   

Заключение

Список использованных источников

Введение

В настоящее время существует достаточно большое количество математических моделей для прогноза динамики численности населения. При построении данных математических моделей, различные авторы используют свои идеи и принципы их построения. Так, например, анализируя динамику народонаселения всей Земли, часто используют принцип замкнутой системы. Данный принцип используется, когда на систему не действуют внешние факторы, а только те, что используются в модели. Принцип замкнутой системы используют не только для описания численности всей Земли, но и для страны, отдельного региона и т.д. Но помимо не включенных факторов, в таких системах не используют показатели миграции. Ведь учет миграционных процессов в модели динамики численности соответствует принципу открытой системы. Другие используют биологические модели, где динамика численности популяции определяется процессами воспроизводства. В таких моделях факторы, влияющие на демографические процессы (например, уровень жизни населения и т.д.), учитываются введением соответствующих коэффициентов модели, характерных только для биологических популяций (такие как, рождаемость, смертность и т.д.). Иногда в таких моделях динамика численности (рождаемость и смертность) учитывается не коэффициентами, а функциями.

В моделях мировой динамики используют также принцип ограниченности ресурсов. В необходимы для описания последствий роста численности населения, нехватки пищи или ресурсов, загрязнение окружающей среды. Первая из широко известных математических моделей роста народонаселения была предложена Т.Мальтусом в XIX веке. Согласно ей численность народонаселения N изменяется со временем как eαt, где коэффициент α получил название мальтузианского коэффициента. По-видимому, такой рост народонаселения соответствует неограниченным территории и ресурсам.

1. 
   Анализ подходов к построению математических моделей динамики численности населения
   

В настоящее время численность населения Земли составляет 6,8 млрд. человек. Скорость роста народонаселения является одним из важнейших количественных показателей, характеризующих качество условий проживания человечества на Земле. Так в 20 веке количество людей выросло в четыре раза. Причем в городах живет 47% населения, а в деревнях – 53%. По многим прогнозам ожидается, что примерно в 2030 г. численность населения Земли достигнет 8 млрд. В первую очередь, рост народонаселения прогнозируется в городах.

Необходимо отметить и явление старения населения Земли. Быстрее всего увеличивается численность людей старше 80 лет. По проведенным оценкам ООН, в настоящее время ежегодно численность населения увеличивается на 1,2 %. На развивающиеся страны приходится 97 роста. Лидерами прироста являются Индия, Китай, Пакистан, Нигерия, Бангладеш, Индонезия. Из развитых стран высокий уровень рождения сохраняется лишь в США. Эта страна занимает 7 место в мире по темпам прироста численности населения. Иммигранты обеспечивают 80% этого роста. В Европе численность населения сокращается несмотря на существенную иммиграцию. В ряде работ [17 - 27] рассматривается вероятность того, что “пик” (численности человечества) будет достигнут уже при жизни нынешнего поколения, после чего начнется неуклонное ее снижение. Такой возможный ход истории получил отражение в изданиях ООН, отличающихся взвешенным подходом. Так в прогнозе комитета ООН по народонаселению “The 1996 Revision” наряду с “высшим” и “средним” присутствует и “низкий” вариант, согласно которому уже после 2040 г. при “нормальном” развитии событий, исключающем войны, голод и крупные эпидемии, рост численности прекратится, после чего начнется депопуляция мира. По этому сценарию народонаселение в 2040 году будет составлять 7,7 млрд. человек. Но уже за период с 2040 по 2050 г.г. человечество сократиться на 8 млн. человек. Далее оно будет сокращаться на 25% с каждым поколением [28].

Многообразие сценариев динамики народонаселения, опирающихся на различные механизмы, влияющие на демографические процессы, ставит вопрос о построение модели роста народонаселения, описывающих этот процесс и независящей от всевозможных допущений и предположений.

В настоящее время численность населения Земли составляет 6,8 млрд. человек. Скорость роста народонаселения является одним из важнейших количественных показателей, характеризующих качество условий проживания человечества на Земле. Так в 20 веке количество людей выросло в четыре раза. Причем в городах живет 47% населения, а в деревнях – 53%. По многим прогнозам ожидается, что примерно в 2030 г. численность населения Земли достигнет 8 млрд. В первую очередь, рост народонаселения прогнозируется в городах.

Первая из широко известных математических моделей роста народонаселения была предложена Т.Мальтусом в XIX веке. Согласно ей численность народонаселения N изменяется со временем как e^αt, где коэффициент α получил название мальтузианского коэффициента. По-видимому такой рост народонаселения соответствует неограниченным территории и ресурсам.

Но в 1960 г. X. фон Ферстер, П. Мора и JI. Амиот опубликовали в журнале Science сообщение [14] что между 1 и 1958 г. н.э. динамика числен­ность народонаселения мира (N) может быть с необычайно высокой точ­ностью описана при помощи другого соотношения:



С. фон Хернером (von Hoerner 1975) [14] и С. П. Капицей (1992, 1996, 1999) [8, 13, 15] было показано, это уравнение имеет смысл использовать в следующем аппроксимированном виде



Графиком данного уравнения является гипербола; описываемый этим уравнением закон роста обозна­чается как «гиперболический».

В этом случае численность народонаселения растет по гиперболическому закону росла по гораздо более быстрому ги­перболическому закону, а время t₀ 2025 год . Этот закон также получил название режима с обострением.

Согласно этой модели в 2025 году нас ждет демографический взрыв, когда численность народонаселения должна вырасти почти мгновенно до очень больших значений, что практически нереально.

1. 
   
   

Рис 1.

Как видно из Рис. 1 реальный рост народонаселения не соответствует как экспоненциальному, так и гиперболическому законам. Кривая народонаселения с 1950 года разбивается на 3 участка, на каждом из которых с высокой степенью точности численность народонаселения растет линейно.

Характер данного процесса ближе всего соответствует описанию в рамках мультифрактальной динамики.

В данной работе мы предлагаем такую модель, которая основана на фрактальном подходе. Эта модель представляется более надежной по сравнению с другими. Она мало зависит от деталей функционирования рассматриваемой системы, устройство которой и численные параметры ее нам недостаточно известны.

2. 
   Уравнения демографической динамики.
   

В основе уравнений демографической динамики лежит, как правило, соотношение между скоростью изменения тренда численности народонаселения и трендом численности народонаселения (непрерывной и гладкой функции апроксимирующей данные по численности народонаселения). Из многочисленных демографических уравнений приведем некоторые их них: (Мальтус [2]), (Х. фон Ферстер [3], С. фон Хернер [4], Капица С.П. [5]), (Ферхюльст [6]), уравнения со стабилизацией численности народонаселения (Капица С.П. [7], А.В. Подлазов [8], С.В. Цирель [9], Коротаев А.В., Малков А.С., Халтурина Д.А. [10], Акаев А.А., Садовничий В.А. [11]), уравнения мультифрактальной динамики (А.Н. Кудинов и др. [12]). Рассмотренные примеры говорят о многообразии типов уравнений, используемых для решения конкретных задач в демографии.

Для описания демографической динамики в данной работе предлагается использовать новое демографическое уравнение:

(1)

Преобразованием уравнение (1) сводится к уравнению Мальтуса с мальтузианским коэффициентом и поэтому его интегрирование не вызывает затруднений.

Уравнение демографической динамики (1) содержит три независимых параметра , выбором которых можно описать гораздо больше демографических сценариев по сравнению с другими уравнениями, зависящими от одного или двух параметров, и поэтому его вполне можно отнести к классу реалистических демографических уравнений. Полагая , получаем из (1) уравнение Мальтуса, при - уравнение С. фон Хернера, С.П. Капицы, а при - уравнение Ферхюльста.

В уравнении (1) параметры являются фундаментальными демографическими параметрами. Определим демографический период, как временной интервал, на котором демографические параметры постоянны, и значения которых определяются совокупностью экономических, социальных, политических и других факторов интересующей нас территориальной структуры. На стыке демографических периодов параметры естественно меняются скачками. А переход из одного демографического периода в другой имеет смысл демографического фазового перехода. При этом будем полагать, что численность народонаселения и скорость его изменения являются в точке демографического фазового перехода непрерывными функциями времени . Пусть при t=0 величина и , , тогда - предельное значение численности народонаселения при его росте. Если же , , тогда - предельное значение численности народонаселения при его уменьшении. Величина и знак параметра определяют, прежде всего, скорость роста или уменьшения численности народонаселения. Параметр в уравнении (1) является степенным фактором и существенно определяет характер его решения. Поэтому естественно назвать демографическим индексом, в значительной степени определяющим эволюцию демографического процесса.

Для описания мировой демографической динамики будем использовать предложенное нами уравнение (1), а параметры будем вычислять из условия наилучшего согласия с данными по народонаселению Мира с РХ по настоящее время [1], что принципиально отличает данный метод от других подходов. Таким образом, используя данные [1], мы учитываем все многообразие демографических факторов (экономические, политические, социальные, культурные, биологические и др.), определяющих рост народонаселения Земли.

Представим демографические данные на Рис. 2 с РХ по настоящее время. Здесь и далее величины мы будем измерять в млрд. человек.


Рис. 2. Зависимость численности

народонаселения Мира от времени

с РХ по 2017 год.



Рис. 3. Графики решения уравнения (1).


Из данных по динамике численности народонаселения Земли [1] следует, что можно выделить за временной промежуток в 2017 лет качественно два периода: I-й период с РХ до середины 1960-х годов, на котором наблюдается увеличение скорости роста народонаселения, II-й период, начиная с середины 60-х и по настоящее время, характеризуется уже замедлением скорости роста народонаселения Земли. Ранее на возможный демографический переход после 1965 года указывал С.П. Капица [7].

Естественно искать решения уравнения (1) в виде двух различных функций и с различными значениями демографических параметров . В точке фазового перехода должны выполняться условия непрерывного перехода от первого демографического перехода ко второму:



3. Построение и реализация фрактальной модели динамики численности народонаселения.

Численность народонаселения будем измерять в млрд. человек, а время – в годах. Скорость роста народонаселения обозначим  и она измеряется в 

Будем предполагать, что динамика народонаселения является мультифрактальной динамикой. Это означает, что весь промежуток времени наблюдения можно разбить на промежутки, на каждом из которых она имеет определенное значение фрактальной размерности  . На этих участках скорость роста народонаселения  (тангенс угла наклона линейного тренда) согласно нашей модели [29] является функцией  , которая является решением кубического уравнения

 (2).

В этом уравнении для функции  , мы выбираем следующее аналитическое представление:

 при  , а при   .

Параметры модели  и выбираются из наилучшего согласия с опытными данными. В случае  членом с  можно пренебречь, как это нами уже отмечалось ранее, соответственно справедливо линейное приближение:

 (3).

Стандартной заменой уравнение (2) можно упростить.  . График зависимости  приведен на Рис. 4 и 5 для

 .

D_k

D

D_b

ξ(D)

Рис.4 График зависимости  при  .

ξ(D)

D_k

D_b

D

Рис.5 График зависимости  при  .

Из Рис. 4 и 5 следует наличие в данной модели трех характерных точек  . В точке  и . В этой точке скорость роста равна нулю и мы имеем статистическую ситуацию. Численность народонаселения для этого значения  стабилизируется и равна константе. При небольшом превышении  значение  будет отрицательно и численность народонаселения линейно начинает сокращаться.

Критическая точка  соответствует условию  и становится определяющей нелинейная зависимость  от  . В точке   при  и . Это значит, что в критической точке в первом случае имеет место рост народонаселения, а во втором случае - его убывание. При достаточно малых  и возникает или быстрый рост или быстрое убывание народонаселения в этой точке.

Точка бифуркации  находится из условия:

 (3).

Отсюда следует значение  :

 (4)

и сдвиг точки бифуркации от критической точки  при  происходит влево, а при  - вправо. В точке  имеются два вещественных корня  , которые имеют разные знаки. Если  , то  .

Таким образом, в точке  может иметь место, как рост народонаселения, так и убывание народонаселения. Причем скорость роста в два раза превосходит скорость убывания.

В случае  картина наблюдается обратная.

С учетом выявленных трендовых периодов были рассчитаны параметры модели народонаселения, которые приведены в таблице 1.
Таблица 1. Параметры модели с кусочно-линейным трендом

i	1	2	3
	12	20	29
	49,804	73,614	80,872
	1,41	1,33	1,29
	1,61

Так как значения , то используем линейное приближение и получим расчетные значения в  : . Разности расчетных и фактических значений составляют не более 2% [13].

Учитывая опыт моделирования, выберем ,  а значение вычислим по следующей формуле [13]:



 Подставив в формулу (4) значения , , и получим

Анализ рассчитанных параметров фрактальной модели показал следующее.

1. Коэффициент линейного тренда во втором периоде увеличился на 48% по сравнению с первым, а в третьем – всего на 10% по сравнению со вторым.

2. Фрактальная размерности кривой народонаселения во втором периоде уменьшилась на 6% по сравнению с первым, а в третьем – всего на 3% по сравнению со вторым. Тенденция к уменьшению фрактальной размерности соответствует увеличению скорости роста народонаселения.

3. Значения намного меньше значения соответствующего нулевой скорости роста народонаселения. По классификации, приведенной в [16], процесс роста народонаселения в рассматриваемые периоды является монотонным процессом I типа.

4. Значения фрактальных размерностей  еще дальше находятся от критических значений и , чем от , что указывает на стабильный рост народонаселения. И, следовательно, в ближайшее время катастрофических изменений темпа роста народонаселения не ожидается.

Для анализа роста народонаселения в модели мультифрактальной динамики с нелинейным трендом рассчитаем числовые значения и ширину трендовых каналов для трех участков. Эти значения приведены в таблице 2.

Таблица 2. Параметры модели с нелинейным трендом

i	1	2	3
	0,0235	0,0071	-0,0128
	9,7581	10,1557	9,2046

Аппроксимация графика народонаселения нелинейным трендом приведена на рис. 6.



Рис.6. Аппроксимация графика народонаселения нелинейным трендом

Интересно отметить, что ширина трендовых каналов при нелинейном тренде увеличивается (по сравнению с линейным трендом), но все равно остается достаточно малой величиной.
4. Заключение

В данной работе рассматривается новая демографическая математическая модель, которая основана на использовании нового дифференциального уравнения для тренда численности народонаселения, содержащего три параметра, вариативность которых позволяет отразить многообразие сценариев демографической динамики. Их значения вычисляются из условия минимального уклонения расчетной кривой тренда народонаселения Земли в фиксированные моменты времени от данных ООН по народонаселению Земли. Такой подход позволяет учесть через эти данные влияние основных мировых демографических факторов. Одним из важных результатов нашей модели является возникновение асимптотической стабилизации народонаселения Земли в течение ближайших 100 лет. При этом народонаселение Земли может достигнуть значения порядка 11.57 миллиардов человек. В построенной нами математической модели мировая демографическая история оказалась разделенной на три демографических периода 0, I и II. Показано, что к началу следующего столетия прогнозное население Земли может приблизиться к 11.0257 млрд. человек, а к середине следующего столетия (2150 год) достигнет близого к предельной числености народонасления Земли (11.57 млрд. человек) и сотавит 11.44 млрд. человек.

По мнению ряда авторов такое значение численности народонаселение Земли является неустойчивым и впоследствии может начаться процесс уменьшения до 5.2-5.6 млрд. человек [11]. Это обстоятельство вполне объяснимо конечностью ресурсов Земли и технологическим уровнем развития общества, которые необходимы для поддержания жизнедеятельности человечества на приемлемом уровне.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. 
   World population. URL: http://countrymeters.info/en/World (accessed 05.12.17).
   
2. 
   Т. Мальтус. Опыт о законе народонаселения. Шедевры мировой экономической мысли. -Петрозаоводск: Петроком, 1993, т. 4, 139 с;
   T. Maltus. Opyt o zakone narodonaseleniia. Shedevry mirovoi ekonomicheskoi mysli. -Petrozavodsk: Petrokom, 1993, t. 4, 139 s.
   
3. 
   H. von Foerster, P. Mora, L. Amiot. Doomsday: Friday, 13 November, A.D. 2026. At this date human population will approach infinity if it grows as it has grown in the last two millennia // Science, 1960, v. 132. p. 1291–1295.
   
4. 
   S.J. von. Hoerner Population Explosion and Interstellar Expansion // Journal of the British Interplanetary Society, 1975, 28: 691-712.
   
5. 
   С.П. Капица. Математическая модель роста народонаселения мира // Матем. моделирование, 1992, т. 4, № 6, с. 65–79;
   S.P. Kapitsa. Matematicheskaia model rosta narodonaseleniia mira // Matem. modelirovanie, 1992, t. 4, № 6, s. 65–79.
   
6. 
   P.F. Verhulst Recherches Mathématiques sur La Loi D’Accroissement de la Population (Mathematical Researches into the Law of Population Growth Increase) // Nouveaux Mémoires de l’Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles, 1845, 18: Art. 1, 1-45.
   
7. 
   С.П. Капица. Феноменологическая теория роста населения Земли // Успехи физ. наук, 1996, т. 166, № 1, с. 63–80;
   S.P. Kapitsa. Fenomenologicheskaia teoriia rosta naseleniia Zemli // Uspekhi fiz. nauk, 1996, t. 166, № 1, s. 63–80.
   

С.П. Капица. Общая теория человечества. Как рос и куда идёт мир человека. Второе издание. -М.: Москва, 2009, 120 с;
S.P. Kapitsa. Obshchaia teoriia chelovechestva. Kak ros i kuda idet mir cheloveka. Vtoroe izdanie. -M.: Moskva, 2009, 120 s.

8. 
   А.В. Подлазов Теоретическая демография как основа математической истории. М.: ИПМ РАН, 2000;
   A.V. PodlazovTeoreticheskaia demografiia kak osnova matematicheskoi istorii. M.: IPM RAN, 2000.
   
9. 
   S.V. Tsirel On the Possible Reasons for the Hyperexponential Growth of the Earth Population // Mathematical Modeling of Social and Economic Dynamics. 2004, p. 367-369.
   
10. 
    А.В. Коротаев, А.С. Малков, Д.А. Халтурина Компактная математическая модель технико-экономического и демографического развития Мир-Системы (1-1973 гг.) // История и синергетика: Математическое моделирование социальной динамики / Ред. С.Ю. Малков и А.В. Коротаев. М.: КомКнига/URSS, 2005, c. 6-48;
    A.V. Korotaev, A.S. Malkov, D.A. KhalturinaKompaktnaia matematicheskaia model tekhniko-ekonomicheskogo i demograficheskogo razvitiia Mir-Sistemy (1-1973 gg.) // Istoriia i sinergetika: Matematicheskoe modelirovanie sotsialnoi dinamiki / Red. S.IU. Malkov i A.V. Korotaev. M.: KomKniga/URSS, 2005, c. 6-48.
    
11. 
    А.А. Акаев, В.А. Садовничий. Математическая модель демографической динамики со стабилизацией численности населения мира вокруг стационарного уровня // Доклады Академии Наук, 2010, т. 435, № 3, с. 320–324;
    A.A. Akaev, V.A. Sadovnichii. Matematicheskaia model demograficheskoi dinamiki so stabilizatsiei chislennosti naseleniia mira vokrug statsionarnogo urovniia // Doklady Akademii Nauk, 2010, t. 435, № 3, s. 320–324.
    
12. 
    А.Н. Кудинов, В.Н. Рыжиков, В.П. Цветков, И.В. Цветков. Тенденции и прогнозирование роста народонаселения в модели мультифрактальной динамики // Нелинейный мир, 2014, т. 12, № 12, с. 53-63;
    A.N. Kudinov, V.N. Ryzhikov, V.P. Tsvetkov, I.V. Tsvetkov. Tendentsii i prognozirovanie rosta narodonaseleniia v modeli multifraktalnoi dinamiki // Nelineinyi mir, 2014, t. 12, № 12, s. 53-63.
    

13. Wilson I., Purushothaman R. Dreaming with BRICs: The Path to 2050. Goldman Sachs Global Economics Paper 99. 2003.

14. Foerster H. von, Mora M., Amiot L. Doomsday: Friday, 13 November, A.D. 2026. Science 132: 1291-1295. 1960.

15. Hoerner S.J. von. Population Explosion and Interstellar Expansion. Journal of the British Interplanetary Society 28: 691-712. 1975.

16. Е. Федер. Фракталы. М.: Мир. 1991.

17. А. Кваша. Что такое демография. Москва: Мысль, 1993 год.

18. Д. Шелестов, В. Минаев "Миграционные процессы в России". Журнал "Родина", № 10 за 1996 год.

19. Капица С.П. Сколько людей жило, живет и будет жить на земле.
Очерк теории роста человечества. М.: 1999.

20. Капица С. П. Синергетика и прогноз будущего. М.: 1997

21. Современная демография. Под редакцией А. Я. Кваша, В. А. Ионцевой. М.: Издат-во МГУ 1995.

22. Бондарская Г.А. "Изменение демографического поведения российских семей за 100 лет" / "Мир России", № 4 за 1999 год.

23. Современная демография. / Под ред. А.Я. Кваши, В.А. Ионцева. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1995

24. Борисов В. А. Демография — М.: Издательский дом NOTABENE, 1999, 2001. — 272 с.

25. Медков В. М. Демография: Учебное пособие. Серия «Учебники и учебные пособия». — Ростов-на-Дону: «Феникс», 2002. — 448

26. World Urbanization Prospects: The 1996 Revision.(Review) New York: United Nations, 1998.

27. Капица С.П. Математическая модель роста населения мира// Математическое моделирование. 1992. Т.4, N6. Стр. 65 80.

28. URL: http://www.un.org/esa/population/pubsarchive/catalogue/catrpt1.htm

29. Кудинов А. Н., Сажина О. И., Цветков В. П., Цветков И. В. Фрактальная модель роста народонаселения// Вестник РУДН. Серия Математика. Информатика. Физика. № 2 (2), 2010, с 132-138.