Главная страница
Навигация по странице:

  • 14. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК Доверительным

  • 15. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ О ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Критерием согласия

  • 16. ОЦЕНКА КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ И ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ

  • Пск. ПСК. И математическая статистика


    Скачать 0.64 Mb.
    НазваниеИ математическая статистика
    Дата16.10.2021
    Размер0.64 Mb.
    Формат файлаpdf
    Имя файлаПСК.pdf
    ТипПрактикум
    #248769
    страница7 из 8
    1   2   3   4   5   6   7   8
    ЗАДАЧИ
    13.1 Найти методом моментов оценку параметра
    λ
    случайной величины, распределенной по экспоненциальному закону (см. пример13.2)
    Ответ:
    1
    ˆ
    x
    λ
    =
    13.2. Отобрано 5 телевизоров с целью контроля некоторых параметров.
    Результаты измерения напряжения источника питания в телевизорах: 12; 11,5;
    12,2; 12,5; 12,3 В. Методом наибольшего правдоподобия найти оценку параметра m, если напряжение – случайная величина X, распределенная по нормальному закону .
    Ответ: ˆ
    m = 12,1 В.
    13.2. Определить методом наибольшего правдоподобия оценку параметра
    p биномиального распределения
    !
    (
    )
    !(
    )!
    i n i
    i
    n
    p X i
    p
    p q
    i n i

    = =
    =

    , если в n1 независимых опытах событие A появилось m1 раз и в n2 независимых опытах – m2 раз.
    Ответ: p = (m1 + m2)/(n1 + n2).

    14. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
    Доверительным
    называется интервал, в который с заданной вероятностью
    (надежностью)
    γ попадают значения параметра Q. Вероятность γ выбирается близкой к 1: 0,9; 0,95; 0,975; 0,99.
    Доверительный интервал надежностью
    γ для математического
    ожидания
    случайной величины X с неизвестным законом распределения:
    0 0
    ,
    X
    S z
    S z
    x
    m
    x
    n
    n
    γ
    γ



    <
    < +
    (14.1) где arg
    ( )
    2
    z
    γ
    γ
    =
    Φ
    – значение аргумента функции Лапласа Ф(zγ) =
    2
    γ
    (см. приложение).
    Доверительный интервал надежностью
    γдля математического ожидания нормально распределенной случайной величины X :
    0
    , 1 0
    , 1
    ,
    n
    n
    X
    S t
    S t
    x
    m
    x
    n
    n
    γ
    γ





    <
    < +
    (14.2) где
    , 1
    n
    t
    γ

    – значение, взятое из таблицы распределения Стьюдента
    (см. приложение).
    Доверительный интервал надежностью
    γдля дисперсии случайной величины X с неизвестным законом распределения:
    2 2
    2 2
    0 0
    0 0
    2 2
    1 1
    X
    S
    z
    S
    D
    S
    z
    S
    n
    n
    γ
    γ

    <
    <
    +


    , (14.3) где arg
    ( )
    2
    z
    γ
    γ
    =
    Φ
    – значение аргумента функции Лапласа Ф(zγ) =
    2
    γ
    (см. приложение).
    Доверительный интервал надежностью
    γдля дисперсии нормально распределенной случайной величины X:
    2 2
    0 0
    2 2
    1 1
    ,
    1
    ,
    1 2
    2
    (
    1)
    (
    1)
    ,
    X
    n
    n
    n
    S
    n
    S
    D
    γ
    γ
    χ
    χ

    +




    <
    <
    (14.4) где
    2 2
    1 1
    , 1
    , 1 2
    2
    ,
    n
    n
    γ
    γ
    χ
    χ

    +


    – значения, взятые из таблицы распределения
    2
    χ
    (см. приложение).
    Доверительный интервал надежностью
    γдля вероятности события A в схеме независимых опытов Бернулли
    *
    *
    *
    *
    *
    *
    (1
    )
    (1
    )
    ( )
    p
    p
    p
    p
    p
    z
    p A
    p
    z
    n
    n
    γ
    γ


    − ⋅
    <
    <
    + ⋅
    ,
    (14.5)
    где
    *
    *
    ( )
    m
    p
    p A
    n
    =
    =
    – частота появления события A в n опытах;
    m – число опытов, в которых произошло событие A;
    n – число проведенных опытов.
    Пример 14.1. Производится серия независимых опытов с целью определения вероятности события A. В 100 опытах событие произошло 40 раз.
    Частота события
    *
    ( )
    m
    p A
    n
    =
    принимается за приближенное значение вероятности этого события. Найти вероятность того, что допущенная при этом ошибка меньше 0,1.
    Решение. Необходимо найти надежность γ следующего доверительного интервала:
    (
    )
    *
    *
    *
    ( )
    ( )
    0,1
    (
    0,1
    ( )
    0,1)
    p p A
    p A
    p p
    p A
    p
    γ


    =

    <
    <
    +
    =
    , т.е.
    *
    *
    (1
    )
    0,1
    p
    p
    z
    n
    γ


    =
    (см. формулу (14.5)).
    С учетом того, что
    *
    40 0,1 100 0,4, z
    2,041 100 0,4 0,6
    p
    γ

    =
    =
    =
    =

    , искомая вероятность
    2
    (2, 041)
    0, 958
    γ
    = ⋅ Φ

    Пример 14.2. Найти минимальный объем выборки, при котором с вероятностью 0,95 точность оценки математического ожидания случайной величины по выборочному среднему равна 0,2, если S
    0
    = 1,5.
    Решение. Из условия задачи известно, что
    (
    )
    0,2
    (
    0,2 0,2) 0,95
    X
    X
    p m
    x
    p x
    m
    x
    − <
    =

    <
    < +
    =
    В соответствии с формулой (14.1) точность оценки математического ожидания
    2 0
    0 0, 2 0, 2
    S z
    S z
    n
    n
    γ
    γ




    <
    ⇒ > ⎜



    Из таблицы функции Лапласа выбираем значение
    0, 95
    arg
    (
    ) 1, 96 2
    z
    γ
    =
    Φ
    =
    Следовательно,
    (
    )
    2 1,5 1,96/0,2 216,09 217
    n
    >

    >
    =
    Пример 14.3. По результатам 10 измерений определена несмещенная оценка дисперсии
    2 2
    0 4м
    S
    =
    . Определить доверительный интервал для дисперсии с надежностью 0,96.
    Решение. Воспользуемся формулой (14.4), так как погрешности измерений, как правило, распределены по нормальному закону. Из таблицы
    2
    χ
    выбираем значение
    2 2
    0,02;9 0,98;9 19, 68;
    2,53
    χ
    χ


    Поэтому
    9 4 9 4 1,829 14,23 19,68 2,53
    X
    X
    D
    D


    <
    <

    <
    <

    ЗАДАЧИ
    14.1. Вычислить доверительный интервал для математического ожидания емкости конденсатора, если
    2 0 м к Ф
    x
    =
    , n = 16, доверительная вероятность
    γ = 0,9, среднее квадратическое отклонение равно 4 мкФ.
    Ответ: (18,35 мкФ; 21,65 мкФ).
    14.2. Производится серия независимых опытов с целью определения вероятности события A. В результате 100 опытов событие произошло 36 раз.
    Относительная частота принимается за приближенное значение вероятности.
    Каково должно быть число опытов, чтобы с вероятностью 0,99 можно было утверждать, что допущенная при этом ошибка не превышает 0,05
    ?
    Ответ: 139.
    14.3. По результатам пяти измерений определена несмещенная состоятельная оценка дисперсии
    2 2
    0 10м
    S
    =
    . Оценить вероятность того, что истинное значение дисперсии попадает в интервал (5м2; 20 м2).
    Ответ: 0,64.
    14.4. Что происходит с длиной доверительного интервала при увеличении: а) объема выборки n, б) доверительной вероятности
    γ?
    Ответ: а) уменьшается; б) увеличивается.

    15. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
    О ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
    Критерием согласия
    называется случайная величина
    (
    )
    1
    ,
    ,
    ,
    n
    U
    x
    x
    ϕ
    =
    K
    где x
    i
    – значение выборки, которая позволяет принять или отклонить гипотезу о предполагаемом законе распределения.
    Алгоритм проверки гипотезы при помощи критерия согласия
    2
    χ
    :
    1. Построить интервальный статистический ряд вероятностей и гистограмму.
    2. По виду гистограммы выдвинуть гипотезу
    H0: f(x) = f0(x), F(x) = F0(x),
    H1: f(x) ≠ f0(x), F(x) F0(x), где f0(x), F0(x) – плотность и функция гипотетического закона распределения.
    3. Используя метод моментов или максимального правдоподобия, определить оценки неизвестных параметров
    1
    ˆ
    ˆ
    , ...,
    m
    Q
    Q
    гипотетического закона распределения.
    4. Вычислить значение критерия по формуле
    (
    )
    (
    )
    2 2
    *
    2 1
    1
    M
    M
    j
    j
    j
    j
    j
    j
    j
    j
    p
    p
    np
    n
    p
    np
    ν
    χ
    =
    =


    =
    =


    ,
    (15.1) где
    pj –
    теоретическая вероятность попадания случайной величины в
    j
    - й интервал при условии, что гипотеза
    H
    0 верна:
    0 0
    0
    (
    )
    ( )
    ( )
    ( )
    j
    j
    B
    j
    j
    j
    j
    j
    A
    p
    p A
    X B
    f x dx F B
    F A
    =
    ≤ <
    =
    =


    . (15.2)
    Замечания
    . При расчете
    p
    1
    и
    p
    M
    в качестве крайних границ первого и последнего интервалов
    A
    1
    ,
    B
    M
    следует использовать теоретические границы гипотетического закона распределения. Например, для нормального закона
    A
    1 = –

    ,
    BM
    = +

    . После вычисления всех вероятностей
    pi
    проверить, выполняется ли контрольное соотношение
    1 1
    0,01
    M
    i
    j
    p
    =



    5. Из таблицы
    2
    χ
    (см. приложение) выбирается значение
    2
    ,k
    α
    χ
    , где
    α
    – заданный уровень значимости (
    α
    = 0,05 или 0,01), а
    k
    – число степеней свободы, определяемое по формуле
    -
    1
    -
    k
    M
    s
    =
    ,
    где
    s
    – число параметров гипотетического закона распределения, значения которых были определены в п. 3.
    6. Если
    2 2
    ,k
    α
    χ
    χ
    >
    , то гипотеза
    H
    0
    отклоняется, в противном случае нет оснований ее отклонить.
    Последовательность действий при проверке гипотезы о законе распределения при помощи критерия согласия Колмогорова следующая.
    1. Построить вариационный ряд и график эмпирической функции распределения
    F
    *(
    x
    ) (см. (12.1)).
    2. По виду графика
    F
    *(
    x
    ) выдвинуть гипотезу:
    H
    0:
    F
    (
    x
    ) =
    F
    0(
    x
    ),
    H
    1:
    F
    (
    x
    )

    F
    0(
    x
    ), где
    F
    0(
    x
    ) – функция гипотетического закона распределения.
    3. Используя метод моментов или максимального правдоподобия, определить оценки неизвестных параметров
    1
    ˆ
    ˆ
    , ...,
    m
    Q
    Q
    гипотетического закона распределения.
    4. Рассчитать 10

    20 значений функции
    F
    0
    (
    x
    ) и построить ее график в одной системе координат с функцией
    F
    *(
    x
    ).
    5. По графику определить максимальное по модулю отклонение между функциями
    F
    *(
    x
    ) и
    F
    0
    (
    x
    ).
    *
    0 1
    max
    ( )
    ( ) .
    n
    i
    i
    i
    Z
    F x
    F x
    =
    =

    (15.3)
    6. Вычислить значение критерия Колмогорова
    n Z
    λ
    =

    (15.4)
    7. Из таблицы распределения Колмогорова (см. приложение) выбрать критическое значение
    λγ
    , 1
    γ
    α
    = −
    . Здесь
    α
    – заданный уровень значимости
    (
    α
    = 0,05 или 0,01).
    8. Если
    λ
    >
    λγ
    , то нулевая гипотеза
    H
    0 отклоняется, в противном случае нет оснований ее отклонить.
    Пример
    15.1
    . Выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины
    X
    и проверить ее с помощью критерия
    χ
    2. Вариационный ряд, интервальные статистические ряды вероятностей и гистограммы распределения случайной величины
    X
    приведены в примере 12.2. Уровень значимости
    α
    равен
    0,05.
    Решение
    . По виду гистограмм, приведенных в примере 12.2, выдвигаем гипотезу о том, что случайная величина
    X
    распределена по нормальному закону:
    H
    0:
    2 0
    2 1
    (
    )
    ( )
    exp
    2 2
    x a
    f x
    σ
    σ π



    =





    ,
    0
    ( )
    0, 5
    x
    m
    F x
    σ



    =
    + Φ ⎜



    ;
    H
    1:
    f
    (
    x
    )

    N
    (
    m
    ,
    σ
    ).

    Используя метод моментов, определим оценки неизвестных параметров
    m
    и
    σ
    гипотетического (нормального) закона распределения:
    0
    ˆ
    ˆ
    1, 7 , =
    1, 9 8
    m
    x
    S
    σ
    =
    = −
    =
    Значение критерия вычисляем по формуле (15.1):
    * 2 10 2
    1
    (
    )
    100
    j
    j
    j
    j
    p
    p
    p
    χ
    =

    =

    При проверке гипотезы используем равновероятностную гистограмму. В этом случае
    *
    10 0,1.
    100
    j
    j
    p
    n
    ν
    =
    =
    =
    Теоретические вероятности
    pi
    рассчитываем по формуле (15.2)
    0 0
    0 0
    ( )
    ( )
    (
    )
    (
    )
    j
    j
    j
    j
    j
    B
    x
    A
    x
    p
    F B
    F A
    S
    S


    =

    = Φ
    −Φ
    :
    p
    1 = Ф((–4,5245 + 1,7) / 1,98) – Ф((–

    + 1,7) / 1,98) = Ф(–1,427) – Ф(–

    ) = 0,078.
    p
    2 = Ф((–3,8865 + 1,7) / 1,98) – Ф((–4,5245 + 1,7) / 1,98) = Ф(–1,104) + 0,845 = 0,058.
    p
    3 = 0,094;
    p
    4 = 0,135;
    p
    5 = 0,118;
    p
    6 = 0,097;
    p
    7 = 0,073;
    p
    8 = 0,059;
    p
    9 = 0,174;
    p
    10 = Ф((+

    + 1,7) / 1,98) – Ф((0,6932 + 1,7) / 1,98) = 0,114.
    После этого проверяем выполнение контрольного соотношения
    10 1
    1 0
    0, 01.
    j
    j
    p
    =

    = <

    Тогда
    2 2
    2 2
    (0,078 0,1)
    (0,064 0,1)
    (0,114 0,1)
    100 0,078 0,064 0,114
    χ





    =

    +
    +
    +
    =




    L
    = 100

    (0,0062 + 0,0304 + 0,0004 + 0,0091 + 0,0028 + 0,0001 + 0,0100 +
    + 0,0285 + 0,0315 + 0,0017 ) = 100

    0,1207 = 12,07.
    После этого из таблицы распределения
    χ
    2 выбираем критическое значение
    2 2
    ;
    0,05; 7 14,07
    k
    α
    χ
    χ
    =
    =
    . Так как
    2 14,07,
    χ
    <
    то гипотеза
    H
    0 принимается
    (нет основания ее отклонить).
    Пример
    15.2
    . По критерию Колмогорова проверить гипотезу о равномерном законе распределения
    R
    (0,5; 5,25) случайной величины по выборке объема 10: 2,68 1,83 2,90 1,03 0,90 4,07 5,05 0,94 0,71 1,16, уровень значимости
    α
    =
    0,05.
    Решение
    . Вариационный ряд данной выборки имеет вид:
    0,71 0,90 0,94 1,03 1,16 1,83 2,68 2,90 4,07 5,05.
    После этого строим график эмпирической функции распределения
    F
    *(
    x
    )
    (рис. 15.1).

    Рис. 15.1
    Теоретическая функция распределения
    F
    0(
    x
    ) равномерного закона
    R
    (0,5;5,25) равна
    ( )
    0 0,
    0,5
    (
    0,5) /(5,25 0,5),0,5 5,25 1,
    5,25
    x
    F x
    x
    x
    x
    <


    =


    ≤ <


    >

    Максимальная разность по модулю между графиками
    F
    *(
    x
    ) и
    F
    0(
    x
    )
    Z = 0,36 при
    х
    = 1,16.
    Вычислим значение критерия Колмогорова
    10 0,36 1,14.
    n Z
    λ
    =
    ⋅ =

    =
    Из таблицы
    Колмогорова выбираем критическое значение
    λ
    λ
    λ
    γ
    α
    =
    =
    =

    1 0 95 1 36
    ,
    ,
    Так как
    λ
    < 1,36, гипотеза о равномерном законе распределения принимается.
    ЗАДАЧИ
    15.1. С помощью критерия Колмогорова проверить гипотезу о законе распределения случайной величины по выборке, приведенной в задаче 12.2.
    15.2. По критерию
    χ
    2 проверить гипотезу о законе распределения по выборке, приведенной в задаче 12.3.
    15.3. Проверить гипотезу о равномерном и экспоненциальном законах распределения по данным задачи 14.2.
    1 2
    3 4
    5
    x
    F (x)
    *
    F (x)
    0
    0,36 1

    16. ОЦЕНКА КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ
    И ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ
    Пусть проводится
    n
    независимых опытов, в каждом из которых двухмерная СВ (
    Х,У
    ) принимает определенные значения и результаты опытов представляют собой двухмерную выборку вида {(
    х
    1
    ,
    у
    1
    ), (
    х
    2
    ,
    у
    2
    ), (
    х
    n
    ,
    у
    n
    )}.
    Первичная обработка опытных данных включает в себя обработку составляющих
    Х
    и
    У
    как одномерных величин (см. разделы 12–15) и вычисление оценок, присущих только двухмерным (многомерным) случайным величинам.
    Состоятельная несмещенная оценка корреляционного момента равна
    *
    1 1
    (
    )(
    ),
    1
    n
    XY
    i
    i
    i
    K
    x
    x y
    y
    n
    =
    =





    (16.1) где
    xi
    ,
    yi
    – значения, которые приняли случайные величины
    X
    ,
    Y
    в
    i
    -м опыте;
    ,
    x y
    – средние значения случайных величин
    X
    и
    Y
    соответственно.
    Состоятельная оценка
    1   2   3   4   5   6   7   8


    написать администратору сайта