Пск. ПСК. И математическая статистика

• Название: И математическая статистика
• Дата: 16.10.2021
• Размер: 0.64 Mb.
• Имя файла: ПСК.pdf
• Тип: Практикум; #248769
• страница: 7 из 8

ЗАДАЧИ
13.1 Найти методом моментов оценку параметра
λ
случайной величины, распределенной по экспоненциальному закону (см. пример13.2)
Ответ:
1
ˆ
x
λ
=
13.2. Отобрано 5 телевизоров с целью контроля некоторых параметров.
Результаты измерения напряжения источника питания в телевизорах: 12; 11,5;
12,2; 12,5; 12,3 В. Методом наибольшего правдоподобия найти оценку параметра m, если напряжение – случайная величина X, распределенная по нормальному закону .
Ответ: ˆ
m = 12,1 В.
13.2. Определить методом наибольшего правдоподобия оценку параметра
p биномиального распределения
!
(
)
!(
)!
i n i
i
n
p X i
p
p q
i n i
−
= =
=
−
, если в n1 независимых опытах событие A появилось m1 раз и в n2 независимых опытах – m2 раз.
Ответ: p = (m1 + m2)/(n1 + n2).

14. ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ЧИСЛОВЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
Доверительным
называется интервал, в который с заданной вероятностью
(надежностью)
γ попадают значения параметра Q. Вероятность γ выбирается близкой к 1: 0,9; 0,95; 0,975; 0,99.
Доверительный интервал надежностью
γ для математического
ожидания
случайной величины X с неизвестным законом распределения:
0 0
,
X
S z
S z
x
m
x
n
n
γ
γ
⋅
⋅
−
<
< +
(14.1) где arg
( )
2
z
γ
γ
=
Φ
– значение аргумента функции Лапласа Ф(zγ) =
2
γ
(см. приложение).
Доверительный интервал надежностью
γдля математического ожидания нормально распределенной случайной величины X :
0
, 1 0
, 1
,
n
n
X
S t
S t
x
m
x
n
n
γ
γ
−
−
⋅
⋅
−
<
< +
(14.2) где
, 1
n
t
γ
−
– значение, взятое из таблицы распределения Стьюдента
(см. приложение).
Доверительный интервал надежностью
γдля дисперсии случайной величины X с неизвестным законом распределения:
2 2
2 2
0 0
0 0
2 2
1 1
X
S
z
S
D
S
z
S
n
n
γ
γ
−
<
<
+
−
−
, (14.3) где arg
( )
2
z
γ
γ
=
Φ
– значение аргумента функции Лапласа Ф(zγ) =
2
γ
(см. приложение).
Доверительный интервал надежностью
γдля дисперсии нормально распределенной случайной величины X:
2 2
0 0
2 2
1 1
,
1
,
1 2
2
(
1)
(
1)
,
X
n
n
n
S
n
S
D
γ
γ
χ
χ
−
+
−
−
−
−
<
<
(14.4) где
2 2
1 1
, 1
, 1 2
2
,
n
n
γ
γ
χ
χ
−
+
−
−
– значения, взятые из таблицы распределения
2
χ
(см. приложение).
Доверительный интервал надежностью
γдля вероятности события A в схеме независимых опытов Бернулли
*
*
*
*
*
*
(1
)
(1
)
( )
p
p
p
p
p
z
p A
p
z
n
n
γ
γ
−
−
− ⋅
<
<
+ ⋅
,
(14.5)

где
*
*
( )
m
p
p A
n
=
=
– частота появления события A в n опытах;
m – число опытов, в которых произошло событие A;
n – число проведенных опытов.
Пример 14.1. Производится серия независимых опытов с целью определения вероятности события A. В 100 опытах событие произошло 40 раз.
Частота события
*
( )
m
p A
n
=
принимается за приближенное значение вероятности этого события. Найти вероятность того, что допущенная при этом ошибка меньше 0,1.
Решение. Необходимо найти надежность γ следующего доверительного интервала:
(
)
*
*
*
( )
( )
0,1
(
0,1
( )
0,1)
p p A
p A
p p
p A
p
γ
−
≤
=
−
<
<
+
=
, т.е.
*
*
(1
)
0,1
p
p
z
n
γ
−
⋅
=
(см. формулу (14.5)).
С учетом того, что
*
40 0,1 100 0,4, z
2,041 100 0,4 0,6
p
γ
⋅
=
=
=
=
⋅
, искомая вероятность
2
(2, 041)
0, 958
γ
= ⋅ Φ
≈
Пример 14.2. Найти минимальный объем выборки, при котором с вероятностью 0,95 точность оценки математического ожидания случайной величины по выборочному среднему равна 0,2, если S
0
= 1,5.
Решение. Из условия задачи известно, что
(
)
0,2
(
0,2 0,2) 0,95
X
X
p m
x
p x
m
x
− <
=
−
<
< +
=
В соответствии с формулой (14.1) точность оценки математического ожидания
2 0
0 0, 2 0, 2
S z
S z
n
n
γ
γ
⋅
⋅
⎛
⎞
<
⇒ > ⎜
⎟
⎝
⎠
Из таблицы функции Лапласа выбираем значение
0, 95
arg
(
) 1, 96 2
z
γ
=
Φ
=
Следовательно,
(
)
2 1,5 1,96/0,2 216,09 217
n
>
⋅
>
=
Пример 14.3. По результатам 10 измерений определена несмещенная оценка дисперсии
2 2
0 4м
S
=
. Определить доверительный интервал для дисперсии с надежностью 0,96.
Решение. Воспользуемся формулой (14.4), так как погрешности измерений, как правило, распределены по нормальному закону. Из таблицы
2
χ
выбираем значение
2 2
0,02;9 0,98;9 19, 68;
2,53
χ
χ
≈
≈
Поэтому
9 4 9 4 1,829 14,23 19,68 2,53
X
X
D
D
⋅
⋅
<
<
⇒
<
<

ЗАДАЧИ
14.1. Вычислить доверительный интервал для математического ожидания емкости конденсатора, если
2 0 м к Ф
x
=
, n = 16, доверительная вероятность
γ = 0,9, среднее квадратическое отклонение равно 4 мкФ.
Ответ: (18,35 мкФ; 21,65 мкФ).
14.2. Производится серия независимых опытов с целью определения вероятности события A. В результате 100 опытов событие произошло 36 раз.
Относительная частота принимается за приближенное значение вероятности.
Каково должно быть число опытов, чтобы с вероятностью 0,99 можно было утверждать, что допущенная при этом ошибка не превышает 0,05
?
Ответ: 139.
14.3. По результатам пяти измерений определена несмещенная состоятельная оценка дисперсии
2 2
0 10м
S
=
. Оценить вероятность того, что истинное значение дисперсии попадает в интервал (5м2; 20 м2).
Ответ: 0,64.
14.4. Что происходит с длиной доверительного интервала при увеличении: а) объема выборки n, б) доверительной вероятности
γ?
Ответ: а) уменьшается; б) увеличивается.

15. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ
О ЗАКОНЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Критерием согласия
называется случайная величина
(
)
1
,
,
,
n
U
x
x
ϕ
=
K
где x
i
– значение выборки, которая позволяет принять или отклонить гипотезу о предполагаемом законе распределения.
Алгоритм проверки гипотезы при помощи критерия согласия
2
χ
:
1. Построить интервальный статистический ряд вероятностей и гистограмму.
2. По виду гистограммы выдвинуть гипотезу
H0: f(x) = f0(x), F(x) = F0(x),
H1: f(x) ≠ f0(x), F(x) ≠ F0(x), где f0(x), F0(x) – плотность и функция гипотетического закона распределения.
3. Используя метод моментов или максимального правдоподобия, определить оценки неизвестных параметров
1
ˆ
ˆ
, ...,
m
Q
Q
гипотетического закона распределения.
4. Вычислить значение критерия по формуле
(
)
(
)
2 2
*
2 1
1
M
M
j
j
j
j
j
j
j
j
p
p
np
n
p
np
ν
χ
=
=
−
−
=
=
∑
∑
,
(15.1) где
pj –
теоретическая вероятность попадания случайной величины в
j
- й интервал при условии, что гипотеза
H
0 верна:
0 0
0
(
)
( )
( )
( )
j
j
B
j
j
j
j
j
A
p
p A
X B
f x dx F B
F A
=
≤ <
=
=
−
∫
. (15.2)
Замечания
. При расчете
p
1
и
p
M
в качестве крайних границ первого и последнего интервалов
A
1
,
B
M
следует использовать теоретические границы гипотетического закона распределения. Например, для нормального закона
A
1 = –
∞
,
BM
= +
∞
. После вычисления всех вероятностей
pi
проверить, выполняется ли контрольное соотношение
1 1
0,01
M
i
j
p
=
−
≤
∑
5. Из таблицы
2
χ
(см. приложение) выбирается значение
2
,k
α
χ
, где
α
– заданный уровень значимости (
α
= 0,05 или 0,01), а
k
– число степеней свободы, определяемое по формуле
-
1
-
k
M
s
=
,

где
s
– число параметров гипотетического закона распределения, значения которых были определены в п. 3.
6. Если
2 2
,k
α
χ
χ
>
, то гипотеза
H
0
отклоняется, в противном случае нет оснований ее отклонить.
Последовательность действий при проверке гипотезы о законе распределения при помощи критерия согласия Колмогорова следующая.
1. Построить вариационный ряд и график эмпирической функции распределения
F
*(
x
) (см. (12.1)).
2. По виду графика
F
*(
x
) выдвинуть гипотезу:
H
0:
F
(
x
) =
F
0(
x
),
H
1:
F
(
x
)
≠
F
0(
x
), где
F
0(
x
) – функция гипотетического закона распределения.
3. Используя метод моментов или максимального правдоподобия, определить оценки неизвестных параметров
1
ˆ
ˆ
, ...,
m
Q
Q
гипотетического закона распределения.
4. Рассчитать 10
−
20 значений функции
F
0
(
x
) и построить ее график в одной системе координат с функцией
F
*(
x
).
5. По графику определить максимальное по модулю отклонение между функциями
F
*(
x
) и
F
0
(
x
).
*
0 1
max
( )
( ) .
n
i
i
i
Z
F x
F x
=
=
−
(15.3)
6. Вычислить значение критерия Колмогорова
n Z
λ
=
⋅
(15.4)
7. Из таблицы распределения Колмогорова (см. приложение) выбрать критическое значение
λγ
, 1
γ
α
= −
. Здесь
α
– заданный уровень значимости
(
α
= 0,05 или 0,01).
8. Если
λ
>
λγ
, то нулевая гипотеза
H
0 отклоняется, в противном случае нет оснований ее отклонить.
Пример
15.1
. Выдвинуть гипотезу о законе распределения случайной величины
X
и проверить ее с помощью критерия
χ
2. Вариационный ряд, интервальные статистические ряды вероятностей и гистограммы распределения случайной величины
X
приведены в примере 12.2. Уровень значимости
α
равен
0,05.
Решение
. По виду гистограмм, приведенных в примере 12.2, выдвигаем гипотезу о том, что случайная величина
X
распределена по нормальному закону:
H
0:
2 0
2 1
(
)
( )
exp
2 2
x a
f x
σ
σ π
⎧
⎫
−
=
−
⎨
⎬
⎩
⎭
,
0
( )
0, 5
x
m
F x
σ
−
⎛
⎞
=
+ Φ ⎜
⎟
⎝
⎠
;
H
1:
f
(
x
)
≠
N
(
m
,
σ
).

Используя метод моментов, определим оценки неизвестных параметров
m
и
σ
гипотетического (нормального) закона распределения:
0
ˆ
ˆ
1, 7 , =
1, 9 8
m
x
S
σ
=
= −
=
Значение критерия вычисляем по формуле (15.1):
* 2 10 2
1
(
)
100
j
j
j
j
p
p
p
χ
=
−
=
∑
При проверке гипотезы используем равновероятностную гистограмму. В этом случае
*
10 0,1.
100
j
j
p
n
ν
=
=
=
Теоретические вероятности
pi
рассчитываем по формуле (15.2)
0 0
0 0
( )
( )
(
)
(
)
j
j
j
j
j
B
x
A
x
p
F B
F A
S
S
−
−
=
−
= Φ
−Φ
:
p
1 = Ф((–4,5245 + 1,7) / 1,98) – Ф((–
∞
+ 1,7) / 1,98) = Ф(–1,427) – Ф(–
∞
) = 0,078.
p
2 = Ф((–3,8865 + 1,7) / 1,98) – Ф((–4,5245 + 1,7) / 1,98) = Ф(–1,104) + 0,845 = 0,058.
p
3 = 0,094;
p
4 = 0,135;
p
5 = 0,118;
p
6 = 0,097;
p
7 = 0,073;
p
8 = 0,059;
p
9 = 0,174;
p
10 = Ф((+
∞
+ 1,7) / 1,98) – Ф((0,6932 + 1,7) / 1,98) = 0,114.
После этого проверяем выполнение контрольного соотношения
10 1
1 0
0, 01.
j
j
p
=
−
= <
∑
Тогда
2 2
2 2
(0,078 0,1)
(0,064 0,1)
(0,114 0,1)
100 0,078 0,064 0,114
χ
⎛
⎞
−
−
−
=
⋅
+
+
+
=
⎜
⎟
⎝
⎠
L
= 100
⋅
(0,0062 + 0,0304 + 0,0004 + 0,0091 + 0,0028 + 0,0001 + 0,0100 +
+ 0,0285 + 0,0315 + 0,0017 ) = 100
⋅
0,1207 = 12,07.
После этого из таблицы распределения
χ
2 выбираем критическое значение
2 2
;
0,05; 7 14,07
k
α
χ
χ
=
=
. Так как
2 14,07,
χ
<
то гипотеза
H
0 принимается
(нет основания ее отклонить).
Пример
15.2
. По критерию Колмогорова проверить гипотезу о равномерном законе распределения
R
(0,5; 5,25) случайной величины по выборке объема 10: 2,68 1,83 2,90 1,03 0,90 4,07 5,05 0,94 0,71 1,16, уровень значимости
α
=
0,05.
Решение
. Вариационный ряд данной выборки имеет вид:
0,71 0,90 0,94 1,03 1,16 1,83 2,68 2,90 4,07 5,05.
После этого строим график эмпирической функции распределения
F
*(
x
)
(рис. 15.1).

Рис. 15.1
Теоретическая функция распределения
F
0(
x
) равномерного закона
R
(0,5;5,25) равна
( )
0 0,
0,5
(
0,5) /(5,25 0,5),0,5 5,25 1,
5,25
x
F x
x
x
x
<
⎧
⎪
=
−
−
≤ <
⎨
⎪
>
⎩
Максимальная разность по модулю между графиками
F
*(
x
) и
F
0(
x
)
Z = 0,36 при
х
= 1,16.
Вычислим значение критерия Колмогорова
10 0,36 1,14.
n Z
λ
=
⋅ =
⋅
=
Из таблицы
Колмогорова выбираем критическое значение
λ
λ
λ
γ
α
=
=
=
−
1 0 95 1 36
,
,
Так как
λ
< 1,36, гипотеза о равномерном законе распределения принимается.
ЗАДАЧИ
15.1. С помощью критерия Колмогорова проверить гипотезу о законе распределения случайной величины по выборке, приведенной в задаче 12.2.
15.2. По критерию
χ
2 проверить гипотезу о законе распределения по выборке, приведенной в задаче 12.3.
15.3. Проверить гипотезу о равномерном и экспоненциальном законах распределения по данным задачи 14.2.
1 2
3 4
5
x
F (x)
*
F (x)
0
0,36 1

16. ОЦЕНКА КОЭФФИЦИЕНТА КОРРЕЛЯЦИИ
И ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ
Пусть проводится
n
независимых опытов, в каждом из которых двухмерная СВ (
Х,У
) принимает определенные значения и результаты опытов представляют собой двухмерную выборку вида {(
х
1
,
у
1
), (
х
2
,
у
2
), (
х
n
,
у
n
)}.
Первичная обработка опытных данных включает в себя обработку составляющих
Х
и
У
как одномерных величин (см. разделы 12–15) и вычисление оценок, присущих только двухмерным (многомерным) случайным величинам.
Состоятельная несмещенная оценка корреляционного момента равна
*
1 1
(
)(
),
1
n
XY
i
i
i
K
x
x y
y
n
=
=
⋅
−
−
−
∑
(16.1) где
xi
,
yi
– значения, которые приняли случайные величины
X
,
Y
в
i
-м опыте;
,
x y
– средние значения случайных величин
X
и
Y
соответственно.
Состоятельная оценка