Идз 12. 1 Вариант Доказать сходимость ряда и найти его сумму. 0
![]()
|
![]() ИДЗ 12.1 – Вариант 0. 1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму. 1.0 ![]() Знаменатель приравняем к нулю, решим квадратное уравнение ![]() Тогда ряд можно представить в виде ![]() Общий член ![]() ![]() Тогда: ![]() При ![]() ![]() При ![]() ![]() Поэтому ![]() Найдем сумму первых n членов ряда: ![]() Вычислим сумму ряда: ![]() Сумма ряда ![]() 2. Исследовать на сходимость указанные ряды с положительными членами.(2-6) 2.0 ![]() Воспользуемся признаком Д’Аламбера Пусть для ряда ![]() ![]() ![]() Тогда 1) при q<1 данный ряд сходится; 2) при q>1 данный ряд расходится. где ![]() ![]() ![]() Ответ: ряд расходится 3.0 ![]() Если, начиная с некоторого n=n0, un > 0 и ![]() при q < 1 ряд сходится, а при q > 1 ряд расходится при q = 1 радикальный признак Коши не применим Согласно радикальному признаку Коши, имеем: ![]() Заменим арксинус эквивалентной величиной ![]() ![]() Ответ: ряд расходится 4.0 ![]() Воспользуемся интегральным признаком Коши. Для этого исследуем несобственный интеграл: ![]() Решим неопределенный интеграл: ![]() Тогда ![]() Так как интеграл расходится, следовательно, исследуемый ряд тоже расходится Ответ: ряд расходится 5.0 ![]() Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом ![]() Используем предельный признак сравнения ![]() ![]() Таким образом, исследуемый ряд расходится вместе с гармоническим рядом ![]() Ответ: ряд расходится 6.0 ![]() Сравним данный ряд со сходящимся рядом ![]() Используем предельный признак сравнения ![]() ![]() Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд сходится вместе с рядом ![]() Ответ: ряд сходится Исследовать на сходимость и абсолютную сходимость знакочередующиеся ряды. (7-8) 7.0 ![]() Используем признак Лейбница. Данный ряд является знакочередующимся. ![]() Ряд сходится по признаку Лейбница. Исследуем ряд на абсолютную сходимость: ![]() Воспользуемся признаком Д’Аламбера где ![]() ![]() ![]() Так как ![]() Исходный ряд абсолютно сходится Ответ: ряд абсолютно сходится 8.0 ![]() Используем признак Лейбница. Данный ряд является знакочередующимся. ![]() Ряд сходится по признаку Лейбница. Исследуем ряд на абсолютную сходимость: ![]() Воспользуемся интегральным признаком Коши. Для этого исследуем несобственный интеграл: ![]() Так как интеграл расходится, следовательно, исследуемый ряд тоже расходится Исходный ряд условно сходится Ответ: ряд условно сходится 1> |