Численные методы. ЧМитог. Интерполяция функций

• Название: Интерполяция функций
• Анкор: Численные методы
• Дата: 08.03.2023
• Размер: 50.9 Kb.
• Имя файла: ЧМитог.docx
• Тип: Документы; #975170

МИНИСТЕРСТВО ЦИФРОВОГО РАЗВИТИЯ, СВЯЗИ И МАССОВЫХ

КОММУНИКАЦИЙ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное

Бюджетное образовательное учреждение высшего образования

«Московский технический университет связи и информатики»

«Интерполяция функций»

Выполнила: студент гр. БИК2103 Пудовкина Ульяна

Вариант 16

Москва, 2023 г.

Содержание:

1. Выбрать из таблицы 2–1 индивидуальное задание для интерполяции:

• 
  точку интерполяции x=a для интерполяции многочленом Ньютона;
  
• 
  точку интерполяции x=b для интерполяции многочленом Лагранжа;
  

2.Для интерполяции в точке x=a выбрать из таблицы 2–2 с интерполируемой функцией 4 подходящихузладля построения многочленов 1, 2 и 3-ей степени.

3. Перенумеровать узлы интерполяции для каждого из методов интерполяции. Занести перенумерованные узлы в таблицы вида 2–3.

4.Выполнить вручную интерполяцию по заданной формуле в заданной точке x=aилиx=bмногочленами 1–й, 2–й и 3–й степени:

• 
  заполнить таблицу конечных разностей (для интерполяционной формулы Ньютона);
  
• 
  записать интерполяционные формулы для 1, 2 и 3-ей степени многочлена;
  
• 
  выполнитьрасчетыпо интерполяционным формулам для каждой степени многочлена; все промежуточные вычисления производить с сохранением всех значащих цифр, окончательные результаты округлять до 4 знаков после десятичной точки.
  
• 
  занести полученные результаты в таблицу вида 2–4;для многочленов 1–й и 2–й степени вычислить и занести в таблицы 2-4 и 2-5 оценки погрешности интерполяции: модули разности между текущимP_k(x) (L_k(x)) и следующимP_k+1(x) (L_k+1(x)) значением многочлена.
  

5. Решить задачу интерполяции в точке с точностью 0.0001 на компьютере.

6. Объяснитьполученныерезультаты и сделать выводы.

1. 
   Индивидуальное задание
   

№ вар.	Интерполяционный многочлен
	Ньютона		Лагранжа
	x=a		x=b
16	0.37	на компьютере	0.17	ручной расчет

2. 
   Выбор и перенумерацияузлов.
   

Для ручной интерполяции в точке x = b = 0.17 по формуле Лагранжа выбираем из таблицы 3–2 4 узла так, чтобы точка b = 0.17 оказалась в центре отрезка интерполяции: узлы с номерами с 1 по 4:

№ узла	Значение аргумента xi	Значение функцииyi
1	0.10	-4.1330
2	0.15	-4.0845
3	0.20	-4.0240
4	0.25	-3.9500

Следует отметить, что формула Лагранжа может использоваться как для таблиц с постоянным шагом, так и с непостоянным шагом. Выбор точек определяется тем, чтобы при решении задачи интерполяции в точке с заданной точностью добавлять узлы симметричноотносительно точки x.

Перенумеруем узлы интерполяции симметрично относительно точки x=bдля использования их в интерполяционных формулах и занесем в таблицы вида 2–3:

k	0	1	2	3
xk	0.15	0.20	0.10	0.25
yk	-4.0845	-4.0240	-4.1330	-3.9500

3. 
   Ручной расчет по формуле Лагранжа.
   

Степень многочлена k	Pk(x)	Погрешность
1	-4.0603	0.0014
2	-4.0617	0.0001
3	-4.0618	–

L3=

=-4.0618

Вывод. Получены выражения для интерполяционных многочленов 1, 2 и 3-ей степени и их значения в т. b. Оценку погрешности проведём в соответствии с неравенством:



Можно утверждать, что разность между точным значением функции и значением функции в т.x=0.17 после 3=х итераций не превышает 0.0001.

4. 
   Метод Ньютона
   

Точка интерполяции для формулы Ньютона a = 0.37.

Выбор и нумерация узлов.

Для ручной интерполяции в точке x = a = 0.37 по 1 формуле Ньютона выбираем 4 узла из таблицы 2–2 так, чтобы точка a = 0.37 оказалась между узлами с номерами с 1 по 2 и добавляем узлы вправо:

6	0.35	-3.7555
7	0.40	-3.6320
8	0.45	-3.4890
9	0.50	-3.3250

Выбор точек определяется тем, чтобы при решении задачи интерполяции в точке по 1 формуле Ньютона, с заданной точностью,добавлять узлы вправо относительно точки x=a.

Изменим нумерацию узлом интерполяции для использования их в интерполяционных формулах и занесем в таблицы вида 2–3.

k	0	1	2	3
xk	0.35	0.40	0.45	0.50
yk	-3.7555	-3.6320	-3.489	-3.3250

Ручной расчет по 1–й формуле Ньютона.





























Вывод.Получены выражения для интерполяционных многочленов 1, 2 и 3-ей степени и их значения в т. а. Оценку погрешности проведём в соответствии с неравенством:



Можно утверждать, что разность между точным значением функции и значением функции в т.x=0.12 после 3-х итераций не превышает 0.0001.