Исследование функции. Лекция на 18.03.15. Исследование функции. Лекция на 18.03. Исследование функции. Экстремумы и интервалы монотонности функции

• Название: Исследование функции. Экстремумы и интервалы монотонности функции
• Анкор: Исследование функции. Лекция на 18.03.15.doc
• Дата: 22.09.2018
• Размер: 0.49 Mb.
• Имя файла: Исследование функции. Лекция на 18.03.15.doc
• Тип: Исследование; #24958

Исследование функции.
Экстремумы и интервалы монотонности функции.

Функция называется возрастающей на интервале , если для любых точек из этого интервала при выполнении условия выполняется неравенство (большему значению аргумента соответствует большее значение функции).

Аналогично, функция называется убывающей на интервале , если для любых точек из этого интервала при выполнении условия выполняется неравенство (большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции).

Возрастающие на интервале и убывающие на интервале функции называются монотонными на интервале .

Знание производной дифференцируемой функции позволяет находить интервалы ее монотонности.

Теорема (достаточное условие возрастания функции). Если производная дифференцируемой на интервале функции положительна на интервале , то функция монотонно возрастает на этом интервале.

Теорема (достаточное условие убывания функции). Если производная дифференцируемой на интервале функции отрицательна на интервале , то функция монотонно убывает на этом интервале.

Геометрический смысл этих теорем состоит в том, что на интервалах убывания функции касательные к графику функции образуют с осью тупые углы, а на интервалах возрастания – острые (см. рис. 1).



Рис. 1.

Теорема (необходимое условие монотонности функции). Если функция дифференцируема и () на интервале , то она не убывает (не возрастает) на этом интервале.

Алгоритм нахождения интервалов монотонности функции :

1. 
   Найти .
   
2. 
   Найти нули производной.
   
3. 
   На числовой оси отметить область определения , нули производной и те точки, где производная не существует.
   
4. 
   На каждом из полученных интервалов определить знак производной .
   
5. 
   Сделать вывод о возрастании или убывании функции на каждом интервале.
   

Пример. Найти интервалы монотонности функции .

Точка называется точкой максимума функции , если существует некоторое число такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполнено неравенство .

Максимум функции – это значение функции в точке максимума.

На рис 2 показан пример графика функции, имеющей максимумы в точках .



Рис. 2.

Точка называется точкой минимума функции , если существует некоторое число такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполнено неравенство . На рис. 2 функция имеет минимум в точке .

Для максимумов и минимумов есть общее название – экстремумы. Соответственно точки максимума и точки минимума называются точками экстремума.

Функция, определенная на отрезке, может иметь максимум и минимум только в точках, находящихся внутри этого отрезка. Нельзя также путать максимум и минимум функции с ее наибольшим и наименьшим значением на отрезке – это понятия принципиально различные.

В точках экстремума у производной есть особые свойства.

Теорема (необходимое условие экстремума). Пусть в точке функция имеет экстремум. Тогда либо не существует, либо .

Те точки из области определения функции, в которых не существует или в которых , называются критическими точками функции.

Таким образом, точки экстремума лежат среди критических точек. В общем случае критическая точка не обязана быть точкой экстремума. Если производная функции в некоторой точке равна нулю, то это еще не значит, что в этой точке функция имеет экстремум.

Пример. Рассмотрим . Имеем , но точка не является точкой экстремума (см. рис 3).



Рис. 3.

Теорема (первое достаточное условие экстремума). Пусть в точке функция непрерывна, а производная при переходе через точку меняет знак. Тогда – точка экстремума: максимума, если знак меняется с «+» на «–», и минимума, если с «–» на «+».

Если при переходе через точку производная не меняет знак, то в точке экстремума нет.

Теорема (второе достаточное условие экстремума). Пусть в точке производная дважды дифференцируемой функции равна нулю (), а ее вторая производная в этой точке отлична от нуля () и непрерывна в некоторой окрестности точки . Тогда – точка экстремума ; при это точка минимума, а при это точка максимума.

Алгоритм нахождения экстремумов функции с помощью первого достаточного условия экстремума:

1. 
   Найти производную.
   
2. 
   Найти критические точки функции.
   
3. 
   Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов.
   
4. 
   Найти экстремальные значения функции.
   

Алгоритм нахождения экстремумов функции с помощью второго достаточного условия экстремума:

1. 
   Найти производную .
   
2. 
   Найти вторую производную .
   
3. 
   Найти те точки, в которых .
   
4. 
   В этих точках определить знак .
   
5. 
   Сделать вывод о существовании и характере экстремумов.
   
6. 
   Найти экстремальные значения функции.
   

Пример. Найти экстремумы функции .
Интервалы выпуклости и точки перегиба.

Функция называется выпуклой вниз (выпуклой вверх) на промежутке , если для любых значений выполняется неравенство .

Теорема (достаточное условие выпуклости функции). Если функция имеет на интервале вторую производную , то график функции имеет на выпуклость направленную вниз (вверх).

Точкой перегиба графика непрерывной функции называется точка, разделяющая интервалы, в которых функция выпукла вниз и вверх.

Теорема (необходимое условие перегиба). Вторая производная дважды дифференцируемой функции в точке перегиба равна нулю, т.е. .

Теорема (достаточное условие перегиба). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции при переходе через некоторую точку меняет свой знак, то есть точка перегиба ее графика.

Алгоритм нахождения выпуклостей функции и точек перегиба:

1. 
   Находим вторую производную .
   
2. 
   Находим точки, в которых или не существует.
   
3. 
   Исследуем знак слева и справа от найденных точек и делаем вывод об интервалах выпуклости и о наличии точек перегиба.
   
4. 
   Находим значение функции в точках перегиба.
   

Пример. Найти точки перегиба графика функции .
Асимптоты графика функции.

Асимптотой графика функции называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Различают вертикальные (рис. 4а), горизонтальные (рис. 4б) и наклонные (рис. 4в) асимптоты.



Рис. 4.

Теорема. В точках вертикальных асимптот (например, ) функция терпит разрыв, ее предел слева и справа от точки равен : и (или) .

Теорема. Пусть функция определена при достаточно больших и существуют конечные пределы и . Тогда прямая является наклонной асимптотой графика функции .

Теорема. Пусть функция определена при достаточно больших и существует предел функции . Тогда прямая есть горизонтальная асимптота графика функции .

Горизонтальная асимптота является частным случаем наклонной асимптоты, когда . Поэтому, если в каком-либо направлении кривая имеет горизонтальную асимптоту, то в этом направлении нет наклонной, и наоборот.

Пример. Найти асимптоты графика функции .
Общая схема исследования функции и построения ее графика.

1. 
   Найти область определения .
   
   1. 
      Если у есть знаменатель, он не должен обращаться в 0.
      
   2. 
      Подкоренное выражение корня четной степени должно быть неотрицательным (больше либо равно нулю).
      
   3. 
      Подлогарифмическое выражение должно быть положительным.
      
2. 
   Исследовать функцию на четность – нечетность.
   
   1. 
      Если , то функция четная.
      
   2. 
      Если , то функция нечетная.
      
   3. 
      Если не выполнено ни , ни , то – функция общего вида.
      
3. 
   Найти вертикальные асимптоты и точки разрыва (если есть).
   
   1. 
      Вертикальная асимптота может возникнуть только на границе области определения функции.
      
   2. 
      Если (или ), то – вертикальная асимптота графика .
      
4. 
   Исследовать поведение функции в бесконечности; найти горизонтальные и наклонные асимптоты (если есть).
   
   1. 
      Если , то – горизонтальная асимптота графика .
      
   2. 
      Если и , то прямая является наклонной асимптотой графика .
      
   3. 
      Если пределы, указанные в п. a, b, существуют только при одностороннем стремлении к бесконечности ( или ), то полученные асимптоты будут односторонними: левосторонними при и правосторонними при .
      
5. 
   Найти экстремумы и интервалы монотонности функции.
   
   1. 
      Найти производную .
      
   2. 
      Найти критические точки (те точки, где или, где не существует).
      
   3. 
      На числовой оси отметить область определения и ее критические точки.
      
   4. 
      На каждом из полученных числовых интервалов определить знак производной .
      
   5. 
      По знакам производной сделать вывод о наличии экстремумов у и их типе.
      
   6. 
      Найти экстремальные значения .
      
   7. 
      По знакам производной сделать вывод о возрастании и убывании .
      
6. 
   Найти интервалы выпуклости и точки перегиба.
   

1. 
   Находим вторую производную .
   
2. 
   Находим точки, в которых или не существует.
   
3. 
   Исследуем знак слева и справа от найденных точек и делаем вывод об интервалах выпуклости и о наличии точек перегиба.
   
4. 
   Находим значение функции в точках перегиба.
   

7. 
   Найти точки пересечения графика с осями координат и, если это нужно для схематического построения графика, найти дополнительные точки.
   
   1. 
      Для того, чтобы найти точки пересечения графика с осью , надо решить уравнение . Точки , где – нули , будут точками пересечения графика с осью .
      
   2. 
      Точка пересечения графика с осью имеет вид . Она существует, только если точка входит в область определения функции .
      
8. 
   Схематично построить график.
   

1. 
   Построить систему координат и асимптоты.
   
2. 
   Отметить экстремальные точки.
   
3. 
   Отметить точки перегибы и интервалы выпуклости.
   
4. 
   Отметить точки пересечения графика с осями координат.
   
5. 
   Схематично построить график так, чтобы он проходил через отмеченные точки и приближался к асимптотам.
   

Пример. Исследовать функцию и схематично построить ее график.
Задания для самостоятельной работы.

Найти промежутки монотонности функций:

.

.

Исследовать функции на экстремум:

.	.
.	.

Найти наибольшее и наименьшее значения каждой из функций на заданном отрезке:

.

.

Определить точки перегиба и интервалы выпуклости графиков функций:

.

.

Найти асимптоты графиков функций:

.	.
.	.

Исследовать функции и построить их графики:

.	.
.	.
.	.
.	.