Исследование функции. Исследование функции и построение ее графика План исследования ооф

• Название: Исследование функции и построение ее графика План исследования ооф
• Анкор: Исследование функции
• Дата: 02.04.2023
• Размер: 50.66 Kb.
• Имя файла: plan_issledovania_i_primer.docx
• Тип: Исследование; #1030772

Расчетно-графическая работа № 2

Исследованиефункцииипостроениеееграфика
План исследования:

1. 
   ООФ. Исследовать область определения функции, найти точки разрывов функции, исследо- вать функцию на вертикальные асимптоты. На вертикальные асимптоты функцию необходимо исследовать в точках разрывов и на концах области определения, если область определения ог- раничена.
   

2. 
   Особенности и симметрия функции. Исследовать функцию на четность-нечетность (и сим- метрия), периодичность. Если функция периодическая, то ее исследование можно проводить на отрезке, длина которого равно периоду. После завершения исследования построить график функции с учетом периода.
   

3. 
   Точка пересечения функции с осью Оу(при х= 0).
   

4. 
   Нулифункциииинтервалызнакопостоянства. Найти точки пересечения с осью Ох(при у = 0) и определить знаки функции в каждом из получившихся интервалов, учитывая, в том числе, и точки разрывов функции.
   

5. 
   Монотонность и экстремумы. Найти первую производную функции и определить критиче- ские точки функции первого рода, рассмотрев ситуации у′ = 0, y′ = ∞ и у′ не существует; оп- ределить знаки производной и поведение (возрастание-убывание) функции на каждом интерва- ле. Изобразить на схеме поведение функции, указав для каждой критической точки вид экстре- мума (max, min, острый, гладкий), положение касательной в точке экстремума и схематический рисунок. Найти координаты (х; у) точек экстремума.
   

6. 
   Выпуклость-вогнутость и точки перегибов. Найти вторую производную функции и опреде- лить критические точки функции второго рода, рассмотрев ситуации у′′ = 0, y′′ = ∞ и у′′ не существует; определить знаки второй производной и поведение (выпуклость-вогнутость) функции на каждом интервале. Изобразить на схеме поведение функции. Найти точки перегиба графика функции и их координаты.
   

7. 
   Наклонные или горизонтальные асимптоты. Исследовать функцию на существование на- клонных асимптот. При исследовании обязательно указывать, при каких значениях х(х → +∞; х→ ∞ или х→ ±∞) данная прямая является асимптотой функции. При отсутствии наклон-
   

ных асимптот необходимо исследовать поведение функции при x  .

8. 
   Дополнительные точки. В том, и только в том случае, когда исследуемая функция не имеет критических точек в пп. 4, 5 и 6, необходимо найти несколько дополнительных точек для по- строения графика функции — по одной дополнительной точке для каждой ветви графика.
   

Замечание: дополнительных точек не должно быть много, так как график функции должен быть построен по ее исследованию, а не по точкам. Функции, построенные по точкам, на проверку не принимаются.

9. 
   Эскиз графика функции. Построить эскиз графика функции, учитывая результаты исследо- ваний, критические точки и асимптоты. Для облегчения решения задачи можно изобразить итоговую схему поведения функции.
   

Замечание1: при оформлении работы каждый пункт должен быть оформлен отдельно и содер- жать вывод, причем пп.4, 5 и 6 — в виде схемы.

Замечание2: все критические точки, положение касательной в точках экстремума, асимптоты и т.д. должны быть отмечены на графике.

Пример. Исследовать функцию

y и построить ее график.

1. 
   ООФ. х R, функция непрерывна, вертикальных асимптот не имеет.
   
2. 
   Четность-нечетность,периодичность. Данная функция непериодична. Исследуем ее на чет-
   

ность-нечетность. Найдем

f(x) 

f(x) :


,  f( x) 
f(x),
f(x)   f(x)

 функция общего вида, симметрией не обладает.

3. ПересечениесОу.

f(0) 

 0  имеем точку (0; 0).

4. Нули функциииинтервалызнакопостоянства.

 0 

x² (6  x)  0

 х= 0, х= 6.

 имеем две точки, в которой значение функции равно нулю: (0; 0) и (6; 0). Опреде- лим знаки функции в остальных точках об- ласти определения:

5. 
   Монотонностьиэкстремумы. Вычислим первую производную функции:
   

_ 12x 3x²

4  x

f(x)   .

3³ x⁴ 6  x^{2 3} x6  x²

Найдем точки функции, подозрительные на экстремум:

1) f^(x)  0 

4  x 0 

x 4

— точка, в которой возможен гладкий экстремум;

2) f^(x)  

тремум;

 х (6  х)² = 0  х= 0; х= 6 — точки, в которых возможен острый экс-

3) f^(x)

не существует — таких точек нет.

Найденные точки отметим на схеме, вычислим знаки производной в по- лученных интервалах, определим участки возрастания и убывания функции и точки экстремумов:

6. Выпуклость-вогнутостьиточки перегиба.

Вычислим вторую производную функции:


y^  =

3x6  x  4  x6  x6  3x


 8

= .

Точки, в которых возможен перегиб графика функции:

³ x⁴ 6  x⁵

1. 
   f^ (x)  0 — таких точек нет; 2) f^ (x)    х= 0, х= 6;
   

3) f^ (x)

не существует — таких точек нет.

Найденные точки отметим на схеме, вычислим знаки второй производной в полученных интер- валах, определим участки выпуклости и вогну- тости графика функции и точки перегиба:

7. 
   Наклонныеасимптоты. у = kx +b,
   

где

k lim

x

f(x) x

 lim

n _x

 lim

n _x

 1 ;

b lim  f(x)  kx lim ³

6x² 

x³  x =
lim

6x²

=

x

n


=

lim

n

n
6x²



 ⁶  2

3

 функция имеет наклонную асимптоту у = 2  хпри х → ± ∞.

8. 
   Дополнительныеточки — не требуются.
   

9. Эскизграфикафункции.

Прежде чем строить график функции, составим итоговую схему, на которой объединим результаты, полученные в пп.1−8:
Эскиз графика функции: