ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТ. Исследование устойчивости стационарных состоя
 Скачать 202.26 Kb.
|
|
74 С ЕМИНАР 7 Исследование устойчивости стационарных состоя- ний нелинейных систем второго порядка. Классическая система В. Вольтерра. Аналитическое исследование (оп- ределение стационарных состояний и их устойчивости) и построение фазовых и кинетических портретов. И ССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ СТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ВТОРОГО ПОРЯДКА Пусть биологическая система описывается системой двух автономных дифференциальных уравнения второго порядка общего вида: ( , ), ( , ). ⎧ = ⎪⎪ ⎨ ⎪ = ⎪⎩ dx P x y dt dy Q x y dt Стационарные значения переменных системы опре- деляются из алгебраических уравнений: ( , ) 0, ( , ) 0. = ⎧ ⎨ = ⎩ P x y Q x y Исследование характера поведения траекторий сис- темы в окрестностях стационарных состояний, а также анализ устойчивости стационарных состояний проводят с помощью метода Ляпунова (метод линеаризации систем в окрестности стационарного состояния). Ляпунов показал, что в большом числе случаев анализ устойчивости ста- ционарного состояния нелинейной системы можно заме- нить анализом устойчивости системы, линеаризованной в окрестности стационарного состояния. Семинар 7. Устойчивость стационарных состояний нелинейных систем 75 Коэффициенты линеаризованной системы в окрест- ности каждого стационарного состояния исходной нели- нейной системы определяются по формулам (подробный вывод приведен в Лекции 5 учебника Г. Ю. Ризниченко, (Ризниченко, 2002)): ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y x y a P x y b P x y c Q x y d Q x y ′ ′ = = ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ′ ′ = = ⎝ ⎠ Так же, как и в линейных системах, корни характе- ристического уравнения ( ) 2 1,2 1 ( ) ( ) 4( ) 2 a d a d ad bc λ = + ± + − − дают представление о характере поведения решений сис- темы. Если оба характеристических корня имеют отлич- ные от нуля действительные части (грубые системы), то исследование линеаризованной системы дает всегда пра- вильный ответ на вопрос о типе устойчивости состояния исходной нелинейной системы, а также о характере фа- зовых траекторий в достаточно малой его окрестности. Как и в случае линейных уравнений, возможны пять ти- пов грубых состояний равновесия: узел (устойчивый, не- устойчивый), фокус (устойчивый, неустойчивый) и седло. Если действительные части обоих корней характеристи- ческого уравнения равны нулю, или если один корень равен нулю, а другой отрицателен, то для ответа на во- прос об устойчивости необходимо рассматривать члены более высокого порядка малости в разложении в ряд Тейлора правых частей уравнений исходной системы (функций ( , ), ( , ) P x y Q x y ). Учебное пособие «Математические модели в биологии» 76 П РИМЕР 7.1: Проведите линеаризацию системы уравне- ний в окрестности нулевого стационарного состояния и оп- ределите его тип устойчивости: 4 3 2 , 5 2 3 . dx xy x y dt dy x y x y dt ⎧ = − + ⎪⎪ ⎨ ⎪ = + + − ⎪⎩ Р ЕШЕНИЕ : Для линеаризации системы уравнений в ок- рестности нулевого стационарного состояния найдем част- ные производные функций в правых частях уравнений. В качестве координаты стационарного состояния ( , ) x y подста- вим значения (0,0) . [ ] ( , ) 2 2 1 x x a P x y xy x y y ′ ′ = = − + = − , 0 2 1 1 y y = − = − ; [ ] ( , ) 2 2 1 y y b P x y xy x y x ′ ′ = = − + = + , 0 2 1 1 x x = + = ; 4 3 3 ( , ) 5 2 3 20 2 x x c Q x y x y x y x ′ ′ ⎡ ⎤ = = + + − = + ⎣ ⎦ , 3 0 20 2 2 x x = + = ; 4 3 2 ( , ) 5 2 3 3 3 y y d Q x y x y x y y ′ ′ ⎡ ⎤ = = + + − = − ⎣ ⎦ , 2 0 3 3 3 y y = − = − . Имеем 1 ( 3) 4 a d + = − + − = − , ( 1) ( 3) 1 2 1 ad bc − = − ⋅ − − ⋅ = , особая точка грубая. Характеристические корни системы первого приближения равны 1,2 4 16 4 1 2 3 2 λ − ± − ⋅ = = − ± , оба действительны и отрицательны, следовательно, в окрестно- сти нулевой особой точки поведение фазовых траекторий системы будет соответствовать типу «устойчивый узел». Семинар 7. Устойчивость стационарных состояний нелинейных систем 77 Системы нелинейных уравнений будем исследовать по следующему плану: 1) определение стационарных состояний, 2) линеаризация системы в окрестности каждого ста- ционарного состояния, 3) расчет значений корней характеристических уравне- ний системы, линеаризованной в окрестности каж- дого стационарного состояния, 4) вывод об устойчивости и характере поведения фазо- вых траекторий в окрестностях каждого стационар- ного состояния. А НАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ В ОЛЬТЕРРА Классическая модель «хищник—жертва», предло- женная В. Вольтерра для объяснения периодических из- менений числа особей, имеет вид: ( ), ( ). x xy yx y dx x y dt dy y x dt ε γ γ ε ⎧ = − ⎪⎪ ⎨ ⎪ = − ⎪⎩ Здесь x — число жертв, y — число хищников, x ε — скорость размножения жертв, y ε — скорость гибели хищ- ников, , xy yx γ γ — параметры, отражающие влияние встречи жертвы и хищника на скорость изменения численности жертвы и хищника соответственно. Учебное пособие «Математические модели в биологии» 78 1) Поиск стационарных состояний. Решаем систему ал- гебраических уравнений: ( ) 0, ( ) 0. x xy yx y x y y x ε γ γ ε − = ⎧⎪ ⎨ − = ⎪⎩ Получаем координаты двух стационарных состоя- ний: 1 1 2 2 0, 0, , y x yx xy x y x y ε ε γ γ = = = = . Все параметры положительны, поэтому точка, соответствующая второму (ненулевому) стационарному состоянию принадлежит положительной четверти фазовой плоскости. 2-3) Линеаризация системы в окрестности стационарного состояния и расчет значений корней характеристи- ческих уравнений системы, линеаризованной в окре- стности каждого стационарного состояния. ( , ) x x xy P x y y ε γ ′ = − , ( , ) y xy P x y x γ ′ = − ( , ) x yx Q x y y γ ′ = , ( , ) y yx y Q x y x γ ε ′ = − В окрестности стационарного состояния 1 1 0, 0 x y = = матрица коэффициентов линеаризованной системы имеет вид: 0 0 x y ε ε ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − ⎝ ⎠ Корни соответствующего характеристического урав- нения есть ( ) 2 1,2 1 ( ) ( ) 4 2 x I x y x y x y y ε λ ε ε ε ε ε ε ε ⎡ = − ± − + = ⎢− ⎣ Семинар 7. Устойчивость стационарных состояний нелинейных систем 79 Корни действительные, разных знаков. Таким обра- зом, получаем, стационарное состояние 1 0, x = 1 0 y = неустойчиво, и поведение фазовых траекторий в его окрестности имеет седловой характер. В окрестности стационарного состояния 2 2 , y x yx xy x y ε ε γ γ = = матрица коэффициентов линеаризо- ванной системы имеет вид: 0 0 xy y yx yx x xy γ ε γ γ ε γ ⎛ ⎞ − ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Корни соответствующего характеристического урав- нения есть 1,2 II x y i λ ε ε = ± . Таким образом, исследова- ние показывает, что особая точка 2 2 , y x yx xy x y ε ε γ γ = = яв- ляется центром, а траектории вблизи этого стацио- нарного состояния являются концентрическими эл- липсами. Учебное пособие «Математические модели в биологии» 80 П РИМЕР ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ «И ССЛЕДОВАНИЕ МОДЕЛИ В. В ОЛЬТЕРРА « ХИЩНИК - ЖЕРТВА » 1. Используя численные значения параметров, найдите координаты стационарных состояний, коэффициенты линеа- ризованной системы в окрестности каждого из стационар- ных состояний, значения корней характеристических урав- нений системы уравнений: 1 2 3 4 ( ), ( ). dx x p p y dt dy y p x p dt ⎧ = − ⎪⎪ ⎨ ⎪ = − ⎪⎩ Результат занесите в таблицу. Параметры Координаты стационарных состояний Коэффициенты линеаризован- ной системы Значения корней характеристиче- ского уравнения 1 x = 1 y = a = b = c = d = 1 I λ = 2 I λ = 1 4 p = 2 0.1 p = 3 0.8 p = 4 0.5 p = 2 x = 2 y = a = b = c = d = 1 II λ = 2 II λ = 2. Найдите уравнения главных изоклин и сепаратрис. Постройте в тетради качественный фазовый портрет реше- ния системы В. Вольтерра «хищник-жертва». 3. В программе TRAX постройте фазовый портрет ре- шения системы В. Вольтерра «хищник-жертва». Обратите внимание на выбор масштаба окна фазовой плоскости. Зари- суйте результат. 4. В программе TRAX постройте кинетический портрет решениясистемы В. Вольтерра «хищник-жертва» для про- извольного начального положения изображающей точки. Зарисуйте результат. Семинар 7. Устойчивость стационарных состояний нелинейных систем 81 З АДАЧИ К СЕМИНАРУ 7 7.1. Проведите линеаризацию системы уравнений в окрестности нулевого стационарного состояния и опреде- лите его тип устойчивости: а) 4 3 2 , 5 2 3 ; dx xy x y dt dy x y x y dt ⎧ = − + ⎪⎪ ⎨ ⎪ = + + − ⎪⎩ б) 2 2 2 2 , 3 3 ; dx x y x dt dy x x y dt ⎧ = + − ⎪⎪ ⎨ ⎪ = − + ⎪⎩ в) 2 cos3 , 4 8 2 ; x y y dx e x dt dy x e dt + ⎧ = − ⎪⎪ ⎨ ⎪ = + − ⎪⎩ г) ( ) 3 3 ln 4 , 2 1 1 6 . x dx y e dt dy y x dt − ⎧ = + ⎪⎪ ⎨ ⎪ = − + − ⎪⎩ 7.2. Для модели «кинетические уравнения Лотки» 0 1 1 2 , dx k k xy dt dy k xy k y dt ⎧ = − ⎪⎪ ⎨ ⎪ = − ⎪⎩ найдите стационарную точку ( , ) x y и определите ее тип. Найдите уравнения главных изоклин, изоклин 45 ± . Для заданных значений параметров постройте эскиз фазового портрета системы: 1) 0 8 k = , 1 1 k = , 0 2 k = ; 2) 0 8 k = , 0 1 k = , 0 1 k = . |