Федорова Г.Н. Разработка программных модулей программного обеспечения для компьютерных систем: учебник Г.Н. Федорова. - 2-е изд. ДИПЛОМ. Исследование задач о движении слабых растворов полимеров Выполнил студент го курса
 Скачать 0.83 Mb.
|
|
Численное исследование задач о движении слабых растворов полимеров Выполнил студент го курса Ковтонюк Е.В. Научный руководитель Петрова А.Г. Цель работы • Исследование задачи о ламинарном стационарном пограничном слое вблизи пластины при обтекании её слабым водным раствором полимеров в переменных Мизеса. Полимеры Полимеры- высокомолекулярные химические соединения. Их макромолекулы состоят из большого числа повторяющихся звеньев одинаковой структуры. Растворы полимеров-термодинамически устойчивые однородные молекулярно- дисперсные смеси полимеров и низкомолекулярных жидкостей. Основные свойства Высокая вязкость раствора при малой концентрации полимера Растворение полимера происходит через стадию набухания. Применение Растворы полимеров широко применяют при получении волокон и плёнок, клев, лаков, красок и др. изделий из полимерных материалов. Введение в полимер малых количеств растворителя пластификатора) используют в технологии полимеров для снижения темп-р стеклования и текучести, а также для понижения вязкости расплава. Пограничный слой в вязкой жидкости Для стационарного течения система уравнений (1) (2) с граничными условиями при при Описывает пограничный слой вблизи пластины 2 2 1 u u dp u u v v x y dx y 0 u v x y 0, 0 u v 0; ( ) y u U x y Модель Павловского 2 2 ( Здесь динамическая вязкость время релаксации, релаксационная вязкость t d P pI D e D s ds ds ч D–тензор скоростей деформаций,соответствующийвекторному полю озна а а d/dt етоператор полного дифференциров ния повремени, так что d dt t В результате упрощения модели реологического соотношения, математическая модель движения водных растворов полимеров, имеет вид 1 d d p dt dt v v v div 0 v Переменные Мизеса В 1927 г. Р. Мизес указал на возможность примечательного преобразования уравнений пограничного слоя к виду, более четко раскрывающему их математические особенности. Для такого преобразования прямоугольные координаты x и y заменяются новыми независимыми переменными x и функцией тока Вычислим в новых координатах производные и . Имея ввиду, что , можем найти , x / u x / v y u y v x u u u u u v x x x 0 u u u u u y y y Переменные Мизеса (1) (2) Вычислим в новых координатах производные и . Имея ввиду, что , можем найти Внеся эти выражения в (1) получим 2 2 1 u u dp u u v v x y dx y 0 u v x y , x / u x / v y u y v x u u u u u v x x x 0 u u u u u y y y 1 u p u u vu u Переменные Мизеса в модели Павловского Задача ламинарного стационарного погранслоя в модели Павловского (3) Для системы (3) краевые условия при при , Для замыкания постановки задачи требуется задать начальное условие по координате x, играющей роль эволюционной переменной. при , Перегруппировкой ряда членов в первом уравнении (3), приводим его к виду (4) Обозначим - функцию тока течения так, что , . Введем новую независимую переменную и новые искомые функции : x y xyy yyy yy uu vu uu vu u 0 y p 0 x y u v 0 u v 0 y 1 u y o x l 0 ( ) u u y 0 x 0 y ( ) ( ) yy x yy y yy u u u v u u u y u x v ( , ) ( , ) ( , ) yy U x u x y W x u u Вследствие отношений Уравнение (4) преобразуется к виду (5) Соотношение связывающее функции U и W, имеет вид (6) Из условий (3) следуют краевые условия для функции U: (7) Hачальное условие для функции W, (8) 2 2 ( ) ( ) yy x yy y u U U U y y u U U U U U y y W W W W u u u v u u u vu U x x x 2 2 2 ( ) 2 W U x 2 2 2 2 U U U W 0, 0; 1, 1, 0 1 U U x 0 ( ), 0, 0 W W x Численное решение Краевая задача (5)-(8) для системы нелинейных, вырождающихся на левой границе уравнений до сих пор не исследована. Вопросы о существовании и единственности решения остаются открытыми. Для численного исследования рассмотрим уравнение (5) с краевыми условиями (7) при x=0. Найдем решение задачи (5),(7) при х. Заметим, что при Задача имеет точное решение 0 ( 1 e x p ( ) ) ( 2 e x p ( 2 ) e x p ( ) 1 ) W 0 1 exp( ) W 2 2 2 ( ) 2 W U x 0, 0; 1, 1, 0 1 U U x Численное решение Решаем задачу С заданной функцией , удовлетворяющей условиям , , где - монотонно возрастающая выпуклая вверх ф-я . Стандартным методом решения краевых задач является метод стрельбы, основанный на сведении краевой задачи к задаче Коши, которая решается методом Рунге-Кутты го порядка. Однако обращение в 0 коэффициента при старшей производной сильно затрудняет численное исследование, и приводит к необходимости построения асимптотики вблизи нуля. 2 2 2 2 W U U U 0 , , 1 ; 0 , 0 l x U U W ( , 0) 0 W x ( , ) 1 W x W Численное решение Возьмем функцию в виде . Сделаем замену В результате получим краевую задачу Поскольку коэффициент при второй производной искомой функции в нуле обращается в ноль, тов силу условий согласования поэтому вместо краевых условий в нуле берутся краевые условия в близкой к нулю точке следующим образом Константа α подбирается методом стрельбы так, чтобы выполнялось требуемое условие на устаноленных границах интервала. W ( ) 1 W e 2 Z U 2 2 2 Z Z Z W 0, 0; 1, , 0 Z Z x l ( О (0,001) 0,001; (0,001) Z Z Нахождение функции W Данное уравнение было получены комбинацией уравнений (5) и (6) . Переменная в данном случае играет роль параметра. Решение этой задачи дается формулой Используя найденное в предыдущем пункте значение U , независящее от x, запишем решение в виде По этой формуле находится значение 0 0 1 ( ) x x W W Z W W 0 0 0 ( , ) ( , ) ( , ) 0 0 ( , ) ( ) x x x d d d Z Z Z W x W e e e ( ) ( ) 0 (1 ) x x U U W W e U e (0.01, ) W Численное решение Рисунок 6 Сравнение графиков и . 0 W W Выводы • В процессе выполнения работы было изучено применение переменных Мизеса для задач ламинарного пограничного слоя течения вязкой жидкости. • Для задачи обтекания плоской пластины слабым водным раствором полимеров (модель Павловского) также были введены переменные Мизеса и рассмотрена краевая задача на полубесконечном интервале для системы двух нелинейных уравнений. ( аналог задачи Блазиуса для раствора полимера. • Произведено численное исследование задачи. Построен и реализован алгоритм нахождения скорости в переменных Мизеса с использованием асимптотики в нуле. Далее предполагается решение двух связанных нелинейных задач методом итераций и на этом пути сделан первый шаг, показавший вполне правдоподобный результат. |