Лекции. Источники и классификация погрешностей
 Скачать 3.8 Mb.
|
§4. Интерполяционный многочлен НьютонаПредположим, что узлы интерполяции отстоят друг от друга на одинаковом расстоянии x0, x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, … xk = x0 + kh, (1) h > 0, k = 0, 1, …, n (т.е. узлы интерполяции образуют арифметическую прогрессию с разностью h) Такое расположение узлов обычно имеет место при интерполировании функций, заданных в виде таблицы с постоянным шагом. Определение. Пусть xk = x0 + kh, где k – целое, h > 0, fk = f(xk). Величина fk = fk+1 – fk, называется конечной разностью первого порядка функции f в точке xk (с шагом h), Т.е. f0 = f(x1) – f(x0) = y1 – y0, f1 = f(x2) – f(x1) = y2 – y1, …………………………… fk = f(xk+1) – f(xk) = yk+1 – yk, а величину nfk = n–1fk+1 – n–1fk, называют конечной разностью n-ого порядка функции f в точке xk. Т.е. 2fk = fk+1 – fk(xk), 3fk = 2fk+1 –2fk(xk), и т.д. Конечные разности функции f удобно записывать в таблице x0 x1 x2 x3 x4 f0 f1 f2 f3 f4 f0 f1 f2 f3 2f0 2f1 2f2 3f0 3f1 Пусть x0, x1 = x0 + h, x2 = x0 + 2h, … xk = x0 + kh - узлы интерполяции функции f(x). Тогда интерполяционный многочлен имеет вид Pn(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)(x – x1) + … + an(x – x0) …(x – xn-1) где a0 , a1 , …, an найдены из условия, что Pn(xi) = f(xi), i = 0, 1, …, n. Pn(x0) = a0 = y0 Pn(x1) = a0+ a1(x1 – x0) = y1 y0 + a1h = y1; a1 = ; a1 = ; Pn(x2) = a0+ a1(x2 – x0) + a2(x2 – x0)(x2 – x1) = y2 y0 + 2h + a2 2h h = y2 2h2 a2 = y2 – y0 – y0 2; a2 = ; a2 = ; итак, a2 = Pn(x3) = a0+ a1(x3 – x0) + a2(x3 – x0)(x3 – x1) + + a3(x3 – x0)(x3 – x1)(x3 – x2) = y3 y0 + 3h + 3h2h + a3 3h2h h = y3 6h3 a3 = y3 – y0 – 3 y0 + 3 2y0; a3 = = и т.д. Общий вид an = Таким образом, формула Ньютона для интерполирования вперед имеет вид Pn(x) = y0 + (x – x0) + (x – x0)(x – x1) + + (x – x0)(x – x1)(x – x2) + … + (x – x0) …(x – xn-1) (2) В нем начало отсчета расположено в крайнем левом узле x0, а используемые конечные разности идут в таблице разностей от f0 вправо вниз. Интерполяционный многочлен (2) удобно использовать в начале таблицы и для экстраполяции левее точки x0, т.е. < 0. Интерполяционный многочлен с узлами x0, x –1 , …, x –n, где x – k = x0 – kh, имеет вид Pn(x) = yn + (x – xn) + (x – xn)(x – xn-1) + + (x – xn)(x – xn-1)(x – xn-2)+ … + (x – xn) …(x – x1) (3) И называется интерполяционным многочленом Ньютона для интерполирования назад. В нем начало отсчета расположено в крайнем правом узле x0, а используемые конечные разности идут в таблице от f0 вправо вверх: x-4 x-3 x-2 x-1 x0 f-4 f-3 f-2 f-1 f0 f-4 f-3 f-2 f-1 2f-4 2f-3 2f-2 3f-4 3f-3 Интерполяционный многочлен (3) удобно использовать при интерполяции в конце таблицы и для экстраполяции правее точки x0, т.е. > 0. Рассмотрим численный процесс приближения производной f(x): (1) Выберем последовательность {hk} так, что hk 0, и вычисляем ее предел: для k = 1, 2, …, n, … (2) Будем вычислять только конечное количество членов D1, D2, …, Dn последовательности (2). Следовательно, для ответа следует использовать Dn. Причем необходимо выбирать значение hn так, чтобы Dn было хорошим приближением к производной f (x). Для примера рассмотрим функцию f (x) = ex и используем длину шагов, равную h = 1, ½ и ¼, чтобы построить секущую линию, которая проходит между точками (0; 1) и (h, f (h)) соответственно. Так как h уменьшается, то секущая приближается к касательной, как показано на рисунке. y x 0 0,25 0,5 0,75 1 y = f(x) 1 Нужно произвести вычисления при h = 0,00001, чтобы получить приемлемый численный ответ, и для этого значения h графики касательной и секущей должны быть неразличимы. §1. Приближенные методы вычислений определенных интегралов Формула Ньютона-Лейбница для вычисления определенного интеграла имеет вид . Однако, вычисление по этой формуле не всегда возможно. В таких случаях используются приближенные методы вычисления интегралов. Наиболее употребительными среди них являются метод прямоугольников, метод трапеций и метод парабол. Пусть дан интеграл: - c c 0 x y y = f(x) Основная идея: Заменить подынтегральную функцию f(x) на многочлен, совпадающий с этой функцией в узлах интерполяции. f(x) заменим многочленом нулевого порядка y = f(0): f(x) заменим многочленом первого порядка, который совпадает с функцией f(x) в точках –с и с. Т.е. y = kx + b (площадь трапеции (а + b)/2 h) y - c c 0 x y = f(x) f(x) заменим многочленом второго порядка, который совпадает с функцией f(x) в точках –с, 0 и с. Т.е. y = ax2 + bx + c. y - c c 0 x y = f(x) Метод прямоугольников Пусть дан интеграл Отрезок интегрирования [a, b] разобьем на n равных частей: a = x0 < x1 < x2 < x3 <…< xn = b, тогда длина каждого отрезка , xk = x0 + kh. Формулы прямоугольников имеют вид: или Однако для удобства вычислений поступают следующим образом: Точку x1 выбирают таким образом, чтобы она являлась серединой первого отрезка, т.е. при разбивании отрезка на части таким образом: a = x0 < x2 < x4 < x6 <…< x2n = b, точка Остальные точки получаются прибавлением шага h к каждой предыдущей точке. В результате получается формула: – обобщенная формула прямоугольников. a x2 x4 x6 b=x2n x y y= f(x) Оценка погрешности формулы прямоугольников: , где Метод трапеций Пусть дан интеграл Отрезок интегрирования [a, b] разобьем на n равных частей: a = x0 < x1 < x2 < x3 <…< xn = b, тогда длина каждого отрезка , xk = x0 + kh. Вывод: – формула трапеций. Оценка погрешности формулы трапеций. , где 3) Метод парабол (Симпсона). Пусть дан интеграл Отрезок интегрирования [a, b] разобьем на 2n равных частей: a = x0 < x1 < x2 < x3 <…< x2n = b. Заменим функцию f(x) на [x0, x2] интерполяционным многочленом Ньютона с узлами x0, x1, x2. P2(x) = y0 + (x – x0) + (x – x0)(x – x1) Где (x – x1) = x – x0 – h Тогда (x – x0)(x – x1) = (x – x0)( x – x0 – h) = =(x – x0)2 – h(x – x0) = 2h y0 + 2hy0 + h2y0 – 2y0 h = = h (2y0 +2(y1 – y0) + (y2 – 2y1 + y0)) = = h ( y2 + y1 + y0) = ( y2 + 4y1 + y0) тогда на промежутке [x0, x2] имеем: ( y2 + 4y1 + y0 + y4 + 4y3 + y2 + y6 + 4y5 + y4 + … + 4y2n–1 + y2n–2) = = {f(a) + f(b)+ 2 + 4 } Вывод: {f(a) + f(b)+ 2 + 4 } Оценка погрешности формулы парабол: где |