Лекции. Источники и классификация погрешностей
 Скачать 3.8 Mb.
|
§2. Формулы Ньютона-КотесаНеобходимо вычислить Делим отрезок [a, b] на n равных частей. Шаг разбиения и x0 = a, x i = x i –1 + h (i=1,2,…,n–1), xn= b. Тогда (1) – квадратурная формула Ньютона-Котеса, где (2) – коэффициенты Котеса. (значению x = a, соответствует значение q = 0, а x = b – значение q = n и dx = hdq) Эти формулы определяют семейство квадратурных формул. Параметром этого семейства является число n – степень интерполяционного многочлена, которым заменяется подынтегральная функция. Рассмотрим несколько простейших частных случаев, соответствующих небольшим значениям n N. При этом конкретные формулы будем получать не на основе общих формул, а используя для этой цели вместо многочлена Лагранжа Эквивалентный ему первый интерполяционный многочлен Ньютона: Pn(x0 + qh) = y0 + qy0 + 2y0 + … + + ny0 Пусть n=1, т.е. имеется всего две точки x0 и x1=x0 + h, в которых известны значения функции (y0 = f(x0) и y1 = f(x1)) Этим точкам соответствуют значения 0 и 1 переменной q. Следовательно (4) 2 0 1 0 y y y h (3) Получена простейшая квадратурная формула трапеций, к которой можно прийти и из геометрических соображений: x0 h x1 y1 y0 y = L1(x) y = f(x) Остаточный член этой формулы: (5) где 1 (x0, x1) – некоторая точка. Положим в (3) n = 2, т.е. проинтерполируем функцию f(x) по трем точкам: x0, x1 = x0 + h, x2 = x0 = 2h. Тогда = h [ 2y0 + 2(y1 – y0) + (y2 – 2y1 + y0)] = = (y0 + 4y1 + y2) (6) Полученное приближенное равенство называется простейшей формулой Симпсона. Ее остаточный член: , (x0, x2) (7) Предполагая теперь n = k, мы придем к частным формулам Ньютона-Котеса: (6) где xi = x0 + ih, а коэффициенты Bk, , и остаточные члены rk(h) задаются таблицей (точка (x0,xk), для каждого k своя). Параметры некоторых частных формул Ньютона-Котеса вида (8)
Общий вид линейной квадратурной формулы – это (8) где фиксированные аргументы xi называют узлами, а коэффициенты Ai – весами (весовыми коэффициентами) квадратурной формулы (определенный интеграл приближенно равен среднему взвешенному значений подынтегральной функции, вычисленных в определенных точках промежутка интегрирования). Все рассмотренные выше квадратурные формулы характерны тем, что узла в них брались равноотстоящими с шагом h, а веса находились в результате подмены подынтегральной функции f(x) кусочно-постоянной в случае формул прямоугольников, кусочно-линейной в случае формул трапеций, кусочно-квадратичной в случае формулы Симпсона и т.д. Например, у составной формулы трапеций набор весов получился следующий: , h, h, …, h, а у составной формулы Симпсона – Далее откажемся от равномерного распределения узлов xi на промежутке интегрирования [a, b]. В таком случае целесообразно предварительно сделать линейную замену и преобразовать исходный интеграл к интегралу со стандартным промежутком интегрирования [–1, 1]: (9) Это равенство позволяет рассматривать вычисление интеграла т.е. строить квадратурные формулы вида (10) от которых на основе (9) легко перейти к квадратурным формулам (8). Формула (10) имеет 2n параметров: n узлов ti и n весов Ai. Если считать, что мы свободны в выборе как узлов, так и весов, можно попытаться подобрать их такими, чтобы равенство (11) было точным для многочленов степени 2n – 1 или, что тоже, для 2n степенных функций (t) = 1, t, t2, …, t 2n – 1. Формула (11) называется квадратурной формулой Гаусса. Ее решение упирается в решение нелинейной системы: Однако, решение этой системы затруднительно, но его не сложно обойти, если знать конечный результат. Но мы рассматривать их не будем. |