Алгоритмы вычисления интегралов. Составные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона

• Название: Составные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона
• Анкор: Алгоритмы вычисления интегралов
• Дата: 24.10.2019
• Размер: 94.97 Kb.
• Имя файла: vm_lr7.pdf
• Тип: Отчет; #91660

МИНОБРНАУКИ РОССИИ
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
«ЛЭТИ» ИМ. В.И. УЛЬЯНОВА (ЛЕНИНА)
Кафедра МО ЭВМ
ОТЧЕТ
по практической работе №7
по дисциплине «Вычислительная математика»
Тема: Составные формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона
Студентка гр. 8382
Наконечная А.Ю.
Преподаватель
Щеголева Н.Л.
Санкт-Петербург
2019

Цель работы.
Изучение и сравнение различных методов численного интегрирования на примере составных формул прямоугольников, трапеций, Симпсона.
Задание.
Используя квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и
Симпсона, вычислить значения заданного интеграла и, применив правило
Рунге, найти наименьшее значение n (наибольшее значение шага h), принаибольшее значение шага h), при котором каждая из указанных формул дает приближенное значение интеграла с погрешностью ε, не превышающей заданную.
Вариант №11:
∫
1 2
exp (−x−
1
x
)
dx
(наибольшее значение шага h), при1)
Основные теоретические положения.
Пусть требуется найти определенный интеграл
I=
∫
a
b
f (x)dx
,
(наибольшее значение шага h), при2)
где функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b].a, b].
Для приближенного вычисления интегралов чаще всего подынтегральную функцию заменяют «близкой» ей вспомогательной функцией, интеграл от которой вычисляется аналитически. За приближенное значение интеграла принимают значение интеграла от вспомогательной функции.
Заменим функцию на отрезке [a, b].a, b] её значением в середине отрезка.
Искомый интеграл, равный площади криволинейной фигуры, заменяется на площадь прямоугольника. Из геометрических соображений нетрудно записать формулу прямоугольников:
∫
a
b
f (x)dx≈f (
a+b
2
)(
b−a)
(наибольшее значение шага h), при3)
2

Приблизив f(x) линейной функцией и вычислив площадь соответствующей трапеции, получим формулу трапеций:
∫
a
b
f (x)dx≈
1 2
(
f (a)+f (b))(b−a)
(наибольшее значение шага h), при4)
Если же приблизить подынтегральную функцию параболой, проходящей через точки (a, f(a)),
(
a+b
2
, f (
a+ b
2
))
, (b, f(b)), то получим формулу Симпсона (наибольшее значение шага h), припарабол):
∫
a
b
f (x)dx≈
1 6
(
f (a)+4 f (
a+b
2
)+
f (b))(b−a)
(наибольшее значение шага h), при5)
Все три формулы хорошо иллюстрируются геометрически и представлены на рис. 1.
рис. 1 — Геометрическое представление формулы прямоугольников,
трапеций и парабол
Для повышения точности интегрирования применяют составные формулы. Для этого разбивают отрезок [a, b].a, b] на чётное n = 2m число отрезков длины
h=
b−a
n
на каждом из отрезков длины 2h применяют соответствующую формулу. Таким образом получают составные формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона.
3

На сетке
x
i
=
a+ih
,
y=f (x
i
)
, i = 0, 1, 2, …, 2m, составные формулы имеют следующий вид:
Формула прямоугольников:
∫
a
b
f (x)dx=h
∑
i=0
n−1
(
f (x
i
+
h
2
))+
R
1
(наибольшее значение шага h), при6)
Формула трапеций:
∫
a
b
f (x)dx=
h
2
∑
i=0
n−1
(
f (x
i
)+
f (x
i+1
))+
R
2
(наибольшее значение шага h), при7)
Формула парабол:
∫
a
b
f (x)dx=
h
3
∑
i=0
m−1
(
f (x
2i
)+
4 f (x
2 i+1
)+
f (x
2 i+2
))+
R
3
,
(наибольшее значение шага h), при8)
где
R
1,
R
2,
R
3
- остаточные члены,
n→∞
приближенные значения интегралов для всех трех формул (наибольшее значение шага h), прив предположении отсутствия погрешностей округления) стремятся к точному значению интеграла.
Для практической оценки погрешности квадратурной формулы можно использовать правило Рунге. Для этого проводят вычисления на сетках с шагом h, и h/2 получают приближённые значения интеграла
I
h
и
I
h/ 2
за окончательные значения интеграла принимают величины:
Для формулы прямоугольников:
I
h/ 2
+
I
h/ 2
−
I
h
3
(наибольшее значение шага h), при9)
Для формулы трапеций:
I
h/ 2
+
I
h/ 2
−
I
h
3
(наибольшее значение шага h), при10)
Для формулы парабол:
I
h/ 2
+
I
h/ 2
−
I
h
15
(наибольшее значение шага h), при11)
За погрешность приближенного значения интеграла для формул прямоугольников и трапеций тогда принимают величину
|
I
h /2
−
I
h
|
/
3
, а для формулы Симпсона
|
I
h /2
−
I
h
|
/
15 4

Выполнение работы.
1. Составим программы-функции для вычисления интегралов по формулам прямоугольников (наибольшее значение шага h), приRECT), трапеций (TRAP) и Симпсона (SIMPS),), трапеций (наибольшее значение шага h), приT), трапеций (TRAP) и Симпсона (SIMPS),RAP) и Симпсона (SIMPS),) и Симпсона (наибольшее значение шага h), приSIMP) и Симпсона (SIMPS),S),
а также подпрограмму-функцию F для вычисления подынтегральной функции. double F(double x) {
return exp(-x - (1 / x));
}
double RECT(int n, int a, int b) {
double x, h, sum = 0;
h = (double)(b - a) / n;
for (int i = 0; i <= n - 1; ++i) {
x = a + i * h;
sum += F(x + (h / 2));
}
return (h * sum);
}
double TRAP(int n, int a, int b) {
double x, x1, h, sum = 0;
h = (double)(b - a) / n;
for (int i = 0; i x = a + i * h;
x1 = a + (i + 1) * h;
sum += (F(x) + F(x1));
}
return (h / 2 * sum);
}
double SIMPS(int n, int a, int b) {
int m;
double x, x1, x2, h, sum = 0;
m = n >> 1;
h = (double)(b - a) / n;
for (наибольшее значение шага h), приint i = 0; i x = a + (2 * i) * h;
x1 = a + (2 * i + 1) * h;
x2 = a + (2 * i + 2) * h;
sum += (F(x) + 4 * F(x1) + F(x2));
}
return (h / 3 * sum);
5

}
2. Составим головную программу, содержащую оценку по Рунге погрешности каждой из перечисленных ранее квадратурных формул,
удваивающих n до тех пор, пока погрешность не станет меньше ε, и осуществляющих печать результатов значения интеграла и значения n для каждой формулы. int main() {
int nr = 2, nt = 2, ns = 2;
int a = 1, b = 2;
double eps, Ir, It, Is, eps1, eps2, eps3;
cout << ">> Input eps" << endl;
cin >> eps;
cout << endl;
cout << ">> eps is: " << eps << endl;
eps1 = fabs((RECT(nr << 1, a, b) - RECT(nr, a, b)) / 3);
while(eps1 >= eps) {
nr <<= 1;
eps1 = fabs((RECT(nr << 1, a, b) - RECT(nr, a, b)) / 3);
}
Ir = RECT(nr << 1, a, b) + eps1;
eps2 = fabs((TRAP(nt << 1, a, b) - TRAP(nt, a, b)) / 3);
while(eps2 >= eps) {
nt <<= 1;
eps2 = fabs((TRAP(nt << 1, a, b) - TRAP(nt, a, b)) / 3);
}
It = TRAP(nt << 1, a, b) + eps2;
eps3 = fabs((SIMPS(ns << 1, a, b) - SIMPS(ns, a, b)) / 15);
while(eps3 >= eps) {
ns <<= 1;
eps3 = fabs((SIMPS(ns << 1, a, b) - SIMPS(ns, a, b)) /
15);
}
Is = SIMPS(ns << 1, a, b) + eps3;
cout << endl;
cout << ">> Result calculated using the rectangle formula is:
" << Ir << " n is:" << nr << endl;
cout << ">> Result calculated using the trapezoidal formula is: " << It << " n is:" << nt << endl;
cout << ">> Result calculated using the Simpson formula is: "
<< Is << " n is:" << ns << endl;
return 0;
}
6

3. Проведём вычисления по программе, добиваясь, чтобы результат удовлетворял требуемой точности.
табл.1 — Вычислительный эксперимент
Eps
Формула прямоугольников
Формула трапеций
Формула парабол
0.1
I = 0.11315; n = 2
I = 0.112834; n = 2
I = 0.112849; n = 2 0.0001
I = 0.11293; n = 4
I = 0.11285; n = 4
I = 0.112849; n = 2 0.00001
I = 0.112871; n = 8
I = 0.112851; n = 16 I = 0.112851; n = 4 0.000001
I = 0.112852; n = 32
I = 0.112851; n = 62 I = 0.112851; n = 8 0.0000001
I = 0.112851; n = 128 I = 0.112851; n = 128 I = 0.112851; n = 8
Выводы.
Проведя вычисления по программе и проанализировав результаты,
отображённые в табл. 1, можно сделать вывод, что число итераций,
необходимых для вычисления интеграла по составным формулам прямоугольника, трапеции и Симпсона, увеличиваются с увеличением задаваемой точности результата.
Меньше всего итераций для получения необходимой точности результата требуется при вычислении интеграла по формуле Симпсона.
7