Курсовая интерполяция полей. Курсовая Леша. Построенние интерполяционного многочлена

• Название: Построенние интерполяционного многочлена
• Анкор: Курсовая интерполяция полей
• Дата: 28.10.2022
• Размер: 0.63 Mb.
• Имя файла: Курсовая Леша.docx
• Тип: Курсовая; #759319

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Тульский государственный университет»
Институт прикладной математики и компьютерных наук
Кафедра вычислительной техники

Курсовая работа по дисциплине

ЧИСЛИННЫЕ МЕТОДЫ

на тему: ПОСТРОЕННИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО МНОГОЧЛЕНА


Студент группы . _________

(Ф.И.О.) (подпись, дата)
Руководитель работы _________

(Ф.И.О., должность) (подпись, дата)
Комиссия: ________________________

________________________

________________________

Тула 2022

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

ФГБОУ ВО «Тульский государственный университет»

Институт прикладной математики и компьютерных наук

Кафедра «Вычислительная техника»

З А Д А Н И Е
На курсовой проект (курсовую работу) по дисциплине (наименование дисциплины указать полностью) ____________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

студенту(ке) группы ____________ Ф.И.О. студента ________________________________

_____________________________________________________________________________

Тема проекта (работы) _________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Входные данные _____________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

_____________________________________________________________________________

Задание получил ___________________ «______» __________________20____г.

(подпись студента)

Срок предоставления задания «______» ________________________ 20____г.

Руководитель ___________________ ___________________________________________

(подпись) (расшифровка подписи)

«__» ______________________ 20___г.

К защите. Руководитель _________________ _____________________________________

(подпись) (расшифровка подписи)
Замечания руководителя _______________________________________________________

__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

«____» _________________________ 20___г.

При защите курсового проекта (работы) наличие рецензии обязательно.

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Темой курсовой работы является построение интерполяционных многочленов. Тема достаточно актуальна так как, интерполяция — это метод нахождения неизвестных промежуточных значений некоторой функции по имеющемуся дискретному набору ее известных значений. И в реальной жизни часто приходится работать с интерполяцией. И решение таких задач очень востребовано в наше время так как, интерполяция применяется в различных областях. Таких как, интерполяция поверхности осадков в метеорологии, интерполяция высот в геологии, вычисление уклонов в строительстве и во многих других областях.

Целью работы является закреплением теоретических знаний по курсу «Численные методы» и изучением различных методов интерполяции.

Задачи работы:

- получить навык в построении интерполяционного многочлена с заданными характеристиками;

- получить навык разработки программных средств для интерполяции функции, заданной таблично.

В ходе выполнения курсовой работы необходимо разработать программу для интерполирования функции и фиксирования погрешности с помощью многочленов Бесселя и Стирлинга.

1. ЗАДАНИЕ
Построить интерполяционные многочлены n-ой степени для функции, заданной таблично на интервале [a, b] с шагом h, используя интерполяционный многочлен Бесселя и интерполяционный многочлен Стирлинга, для функции . Построить график для исходной функции.

2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ
Интерполяционные многочлены Стирлинга и Бесселя:

Интерполяционные формулы — в математике формулы, дающие приближённое выражение функции при помощи интерполяции, то есть через интерполяционный многочлен степени , значения которого в заданных точках совпадают со значения функции в этих точках.

Рассмотрим задачу построения интерполяционного многочлена для функции f, заданной своими значениями и равномерной сетки с шагом h.

Пусть точка х* расположена вблизи некоторого узла, который обозначим . Требуется построить интерполяционный многочлен четной степени. В качестве узлов интерполирования следует выбрать сетку, симметричную относительно узла :
(1)
Для представления интерполяционных многочленов Стирлинга и Бесселя используют центральные конечные разности и средние арифметические соседних конечных разностей одного и того же порядка .

Центральные разности для построения центральных интерполяционных формул определяются по формулам -

Первого порядка:

или ;

k-ого порядка ; (2)

средние арифметические соседних конечных разностей одного и того же порядка:
(3)
Интерполяционный многочлен Стирлинга от переменной t обычно обозначается :
(4)
Пусть теперь точка интерполирования лежит между узлами и в близи точки . Требуется построить интерполяционный многочлен нечетной степени. Тогда сетка, минимизирующая погрешность, симметрична относительно точки , т.е. относительно точки .

На сетке можно получить интерполяционный многочлен Бесселя, обычно обозначаемый :
(5)
Итак, рассмотрено два интерполяционных многочлена: многочлен Стирлинга, который используется при построении многочлена четной степени и строится по нечетному числу узлов, и многочлен Бесселя, который используется при построении многочлена нечетной степени и строится по четному числу узлов.

Если же степень многочлена фиксирована не жестко, т.е. может быть, как четной, так и нечетно, то целесообразно использовать многочлен Стирлинга в случае, когда
, (6)
т.е. когда точка интерполирования расположена ближе к узлу , чем к середине между узлами. Многочлен Бесселя следует использовать в случае, когда
, (7)
т.е. когда точка интерполирования расположена ближе к середине между узлами и . Одно из условий (6) или (7) всегда может быть обеспечено выбором соответствующего узла в качестве .

3. ВХОДНЫЕ И ВЫХОДНЫЕ ДАННЫЕ

3.1 Входные данные

Для вычисления интерполяционного многочлена Стирлинга и Бесселя используются следующие переменные:

• 
  double X^* - искомое точка на отрезке интерполяции в textbox1;
  
• 
  double a,b – нижняя и верхняя граница отрезка исследуемой функции в textBox2 и textBox3 соответственно;
  
• 
  int n – количество заданных точек на отрезке в textBox4;
  
• 
  int S – степень многочлена в textBox5.
  

3.2 Выходные данные

По итогу выполнения программы на выход идут следующие элементы:

- double Stirling – значение функции в точке X^*, полученное при помощи полинома Стирлинга;

- double Bassel - значение функции в точке X^*, полученное при помощи полинома Бесселя;

- long timeSt – время подсчета полинома Стирлинга;

- long timeBs – время подсчета полинома Бесселя.

4. АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ МНОГОЧЛЕНОВ

Алгоритм представлен в виде блок-схем:

1. 
   Блок-схема 1 - конструктора класса Function, находящий узел , и строящий конечные разности k-того порядка и подсчитывающий значения функции в промежутке от до , где n – степень многочлена;
   
2. 
   Блок-схема 2 – метода EndDifference(int n) функция, вычисляющая конечные разности k-того порядка.
   
3. 
   Блок-схема 3 – метода Factorial(int a)- функция, вычисляющая факториал от a.
   
4. 
   Блок-схема 4 - метода Stirling()функция, вычисляющая значение в точки при помощи интерполяционного полинома Стирлинга.
   
5. 
   Блок-схема 5 – метода Bessel()функция, вычисляющая значение в точки при помощи интерполяционного полинома Бесселя.
   

Блок-схема 1 – Конструктора класса Function



Блок-схема 2 – Метода EndDifference



Блок-схема 3 – Метода Factorial



Блок-схема 4 – Метода Stirling



Блок-схема 5 – Метода Bessel

5. ОПИСАНИЕ ОСНОВНЫХ ФУНКЦИЙ ПРОГРАММЫ

Программа содержит следующие основные функции:

public Function (double a, double b, int n, double xisc, int stepen)- конструктор класса Function, находящий узел , и строящий конечные разности k-того порядка и подсчитывающий значения функции в промежутке от до , где n – степень многочлена.

public void EndDifference(int n) - функция, вычисляющая конечные разности k-того порядка.

ulong Factorial(int a) – функция, вычисляющая факториал от a.

public double Stirling()- функция, вычисляющая значение в точки при помощи интерполяционного полинома Стирлинга.

public double Bessel()- функция, вычисляющая значение в точки при помощи интерполяционного полинома Бесселя.

private void Interpolation_Click(object sender, EventArgs e) – функция, вызывающая подсчет многочленов в точке и выводящая результат в таблицу.

Для начала заполняются поля входные данные описанные в пункте 3 в textBox. Далее, при нажатии кнопки вызывается метод private void Interpolation_Click(object sender, EventArgs e), который сначала запускает поиск значения в точке при обоих интерполяционных многочленов. Далее происходит заполнения таблицы точных значений и построение графика по точкам, данным в диапазоне (точное значение функции) и точкам, посчитанным с помощью интерполяционных многочленов Стирлинга и Бесселя.

При вызове конструктора класса, куда подается низшая и верхняя граница функции, кол-во узлов, искомая точка и степень многочлена происходит нахождение узла . Он определяется, как ближайший узел к

Затем происходит построение нового диапазона значений функций от до , где n степень многочлена. Это нужно, чтобы при нахождении многочлена Стирлинга в угловых точках изначального отрезка не возникала ошибка при попытке обратиться к несуществующему индексу.

После построения нового диапазона значений строим конечные разности и запускаем алгоритм Стирлинга и Бесселя, описанных в пункте 2.

6. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ ПРОГРАММЫ

Приведем несколько примеров работоспособности программы для наглядности возьмем разное степень многочлена маленькую и большую.

С помощью кнопки «Пример» у нас заполняются наши textBoxы уже заготовленными данными. После нажатия кнопки «Интерполировать» мы выводим таблицу значений X и Y в dataGridView1, график интерполяции многочлена Бесселя, интерполяционный многочлен Стирлинга и график первоначальной функции выводится в chart1, значение интерполяции Y в dataGridView2.

Исходная функция cо степенью многочлена равной трем, результат программы представлен на рисунке 1.


Рисунок 1 – Результат программы со степенью три
Исходная функция cо степенью многочлена равной семи, результат программы представлен на рисунке 2


Рисунок 2 – Результат программы со степенью семь

Исходная функция cо степенью многочлена равной десяти, результат программы представлен на рисунке 3


Рисунок 3 – Результат программы со степенью десять

7. ПРОВЕРКА КОРРЕКТНОСТИ РАБОТЫ ПРОГРАММЫ

Мы должны проверить корректность работоспособности программы. Для этого мы, используя формулы подставляем наши значения, получаем ответ и сравниваем его с ответом программы. Начнем с полинома Стирлинга. Формула Стирлинга (4). Возьмем точку X= 4,3 с диапазоном от 0 до 7 с шагом 1, тогда = 4 ,поскольку 4,3 ближе к 4. Посчитаем коэффициент t:



Затем построим конечную разность функции. Конечная разность представлена на таблице 1:

Таблица 1 – Конечная разность

x	y
1	0,00002	0,41398	-0,0959	0,0459	-0,0279	0,0199	-0,0179
2	0.414	0.318	-0.05	0.018	-0.008	0,002
3	0.732	0.268	-0.032	0.01	-0.006
4	1	0.236	-0.022	0.004
5	1.236	0.214	-0.018
6	1.45	0.196
7	1.646

Мы построили конечные разности для многочлена третьей степени, степени относительно . Теперь посчитаем значение в точке:



Результат, получившийся ручным путём, хоть и имеет не большую погрешность и является сходным с программным. Программа работает корректно.

Теперь надо проверить следующий полином, полином Бесселя. У нас уже есть посчитанный коэффициент t=0.3 и посчитанная конечная разность в таблице 1. Теперь мы можем сразу в формулу (5) подставить наши значения и выяснить корректность роботы полинома Бесселя. Считаем значение в точке:



Результат, получившийся ручным путём, хоть и имеет не большую погрешность и является сходным с программным. Программа работает корректно.

8. СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ МНОГОЧЛЕНОВ

Для сравнительного анализа проведем эксперимент.

За исходные данные возьмем 3 варианта: с малой степенью, со средней и высокой. В процессе будем засекать время работы программы, без операции ввода исходных данных.

Результаты сравнительного анализа сведем в таблицу 2.

Таблица 2 – Сравнительный анализ

	Исходные данные 1 (3 степень)		Исходные данные 2 (7 степень)			Исходные данные 3 (10 степень)
	ИМC	ИМБ	ИМС	ИМБ	ИМС		ИМБ
Точность	X = 13 Y = 2,6 X = 14 Y = 2,7 X = 15 Y = 2,8 X = 16 Y = 3 X = 17 Y = 3,1	X = 13 Y = 2,6 X = 14 Y = 2,7 X = 15 Y = 2,8 X = 16 Y = 3 X = 17 Y = 3,1	X = 13 Y = 2,6 X = 14 Y = 2,7 X = 15 Y = 2,8 X = 16 Y = 3 X = 17 Y = 3,1	X = 13 Y = 2,6 X = 14 Y = 2,7 X = 15 Y = 2,8 X = 16 Y = 3 X = 17 Y = 3,1	X = 13 Y = 2,6 X = 14 Y = 2,7 X = 15 Y = 2,8 X = 16 Y = 3 X = 17 Y = 3,1		X = 13 Y = 2,6 X = 14 Y = 2,7 X = 15 Y = 2,8 X = 16 Y = 3 X = 17 Y = 3,1
Время	0 сек.	0 сек.	0 сек.	0 сек.	0 сек.		0 сек.
Вывод	2,92968838	2,92968045	2,92968838	2,92968045	2,92968838		2,92968045
Погрешность	1,8%	0,0002%	1,8%	0,0002%	1,8%		0,0002%

Исходя из наших выводов, эти два полинома считает почти одинаково, но в интерполировании с помощью полинома Стирлинга больше погрешность, так как выбранная точка находится ближе к середине узлов и при этом при увеличении степени многочлена существенно точность не меняется. При большинстве значений разность не существенная, как можно видеть из рисунков 1-3. Также из графиков функции видно, что многочлены накладываются друг на друга, что также говорит о универсальности обоих многочленов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В ходе курсовой работы мной были закреплены теоретические знания по курсу «Численные методы» и получены практические навыки построения интерполяционного многочлена с заданными характеристиками. В ходе выполнения данной работы были подробно изучены два интерполяционных многочлена, Стирлинга и Бесселя.

Было реализовано программное обеспечение на языке высокого уровня С# с использованием интегрированной среды разработки программ MS Visual Studio 2019. для интерполяции функции, заданной таблично.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. 
   Полное руководство по языку программирования С#. [Электронный ресурс] - URL: https://metanit.com/ (дата обращения 06.05.2022).
   
2. 
   Уроки программирования с нуля. [Электронный ресурс] - URL: http://mycsharp.ru/ (дата обращения 09.052022).
   
3. 
   C Sharp [Электронный ресурс] - URL: https://ru.wikipedia.org/ (дата обращения 12.05.2022).
   
4. 
   Программирование, NET: [Электронный ресурс] - URL: https://habr.com/ (дата обращения 15.05.2022).
   
5. 
   Документация по C# [Электронный ресурс] - URL: https://docs.microsoft.com/ (дата обращения 22.05.2022).
   
6. 
   Справочник - А.А. Гусак, В.М. Гусак [Электронный ресурс] – URL: https://matica.org.ua/metodichki-i-knigi-po-matematike/spravochnik-a-a-gusak-v-m-gusak (дата обращения 29.05.2022)
   
7. 
   ГОСТ 28397-89 Языки программирования. Термины и определения.
   
8. 
   ГОСТ 19.504 – 79 Руководство программиста. Требования к содержанию и оформлению.
   
9. 
   ГОСТ 19.404 – 79 Единая система программной документации. Пояснительная записка. Требования к содержанию и оформлению
   

ПРИЛОЖЕНИЕ