Лабораторная работа адиабатического процесса. Лабораторная работа 7. Изучение адиабатического процесса. Изучение адиабатического процесса лабораторная работа 7
 Скачать 0.71 Mb.
|
|
ИЗУЧЕНИЕ АДИАБАТИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА Лабораторная работа 7 ОГЛАВЛЕНИЕ 1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ. 3 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ .................................................................. 4 2.1. Объект исследования .......................................................................... 4 2.2. Квазистационарные процессы ............................................................ 6 2.3. Уравнения состояния идеального газа .............................................. 8 2.4. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов ..... 9 2.5. Первое начало термодинамики ........................................................ 11 2.6. Теплоемкость газов ........................................................................... 13 2.7. Адиабатический процесс .................................................................. 15 3. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ .................................................................. 17 3.1. Методика измерения ......................................................................... 17 3.2. Принадлежности ................................................................................ 21 3.3. Порядок выполнения работы ........................................................... 21 ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ. 24 3 1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ Целью лабораторной работы является изучение методов термодинамики и статистической физики на примере определения отношения 𝛾 = 𝑐 𝑝 𝑐 𝑉 теплоемкостей воздуха при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме. В частности, изучение уравнения квазистатического адиабатического процесса идеального газа. 4 2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 2.1. Объект исследования Термодинамика, как любая физическая теория, имеет свои границы применимости. Объектами, с которыми она работает, являются так называемые термодинамические системы Признаками термодинамических систем являются следующие. Во-первых, это системы очень большого числа частиц. Под частицами в данном случае обычно подразумеваются молекулы, хотя это не единственные возможные составные элементы. Термодинамика может описывать, например, поведение газа фотонов, или развитие фондового рынка, где в последнем в качестве частиц рассматриваются игроки рынка. Во-вторых, термодинамическая система имеет состояние равновесия, которое она, стечением времени, самопроизвольно достигает. Важно подчеркнуть, что это состояние достигается самостоятельно, при неизменных внешних условиях. Состояние равновесия характеризуется постоянством макроскопических параметров, однако в общем случае микроскопические параметры, такие как скорости и положения частиц, меняются со временем. Разумеется, в природе могут существовать и иные системы, это не противоречит термодинамике, а указывает лишь на то, что такие системы эволюционируют по другим законам. Состояние термодинамических систем описывается макроскопическими величинами, называемыми параметрами состояния, которые, по определению, могут принадлежать к одну из двух типов. Первый тип — аддитивные термодинамические величины. Если термодинамическая система, в которой аддитивная величина имела значение 𝑓 0 , разделилась на две системы, в которых величина ℱ имеет значения 𝑓 1 и 𝑓 2 соответственно, то для аддитивных величин имеет место связь 𝑓 0 = 𝑓 1 + Примерами аддитивных величин могут служить объем V, внутренняя энергия ε, теплоемкость С Второй тип — неаддитивные термодинамические величины, характеризуются тем, что при разделении термодинамической системы на две они не изменяют своего значения. Примеры неаддитивных величин температура Т, давление Р удельная теплоемкость с. Безусловно, можно ввести величины, которые не принадлежат ник одному из этих двух типов, но такие величины в термодинамике не рассматриваются. Остановимся подробнее на определении данных параметров в случае газов или жидкостей. Под объемом V газа имеется ввиду область, занимаемая данным газом. Заметим, что объем может быть воображаемым, таким образом, можно рассматривать воображаемые стенки, число молекул газа в которых может меняться со временем. В СИ объем газа измеряется в м 3 Давление р характеризует среднее значение силы, с которой молекулы действуют на единичную площадку, расположенную перпендикулярно действию силы. В СИ давление измеряется в Паскалях (1 Па = 1 Нм. Температура Т такой термодинамический параметр, который одинаков во всех частях системы при достижении последней состояния равновесия. Это же определение можно сформулировать по-другому. Пусть две термодинамические системы приведены в тепловой контакт тогда параметр, который при достижении данной составной системы состояния термодинамического равновесия будет одинаков в обеих системах, и является температурой. Как видно из определения, температура, во-первых, является неаддитивной величиной, и во- вторых, определена только для равновесных состояний. Понятие температуры с определенной степенью условности можно обобщить и для неравновесных процессов. Для некоторых таких процессов температура может быть величиной отрицательной. В этой связи заметим, что ошибочно, вообще говоря, идентифицировать температуру с мерой средней кинетической энергии кинетическая энергия, в отличие от температуры, отрицательной быть не может. Особенно сильно различие в этих понятиях проявляется при необходимости учета квантовых эффектов, которая возникает, например, когда рассматривается газ при низких температурах. Однако в некоторых случаях, к примеру, в случае классических идеальных газов, температура, как будет показано ниже, прямо пропорциональна средней кинетической энергии молекул. В СИ температура измеряется в кельвинах (К. Привычный нам градус Цельсия связан с градусом Кельвина соотношением 𝑻 = 𝒕 + 𝟐𝟕𝟑 где T — температура в кельвинах, а t — в градусах Цельсия. Очевидно, что разности температур в той ив другой шкале равны ∆𝑇 = ∆𝑡. Определение теплоемкости будет дано в разделе 2.6. Многие характеристики газов рассчитываются для так называемых нормальных условий. Под нормальными условиями понимается давление Ро = 760 мм. рт. ст. = 101300 Паи температура То = 273,15 К. При нормальных условиях моль любого газа занимает объем 22,4136 • м. Напомним, что моль газа это такое количество газа, в котором содержится число молекул, равное постоянной Авогадро N A ≈ 6,022 ∙ 1023. 2.2. Квазистационарные процессы Состояние системы может изменяться в результате изменения внешних условий. Если эти изменения происходят медленно, тов пределе, при бесконечно медленном изменении внешних параметров и температуры окружающих тел, в системе в каждый момент времени в таком процессе будет успевать устанавливаться состояние термодинамического равновесия. Система, меняя состояние, будет последовательно переходить из одного равновесного состояния в другое, также равновесное такой процесс можно рассматривать как последовательность равновесных состояний. Бесконечно медленные процессы, состоящие из последовательности равновесных состояний называются квазистатическими процессами Квазистатический процесс — процесс всегда обратимый. Обратимым процессом называют такой, который может совершиться в обратном направлении так, что система пройдет все те же состояния, что и при прямом процессе, нов обратном порядке. Поскольку на каждой стадии система находится в равновесном состоянии, она в каждый момент времени имеет вполне определенные параметры состояния — температуру, давление и др. Если же изменения происходят быстро, и процесс не квазистатический, может оказаться так, что температура водной части системы неравна температуре в другой части или давление на одну стенку сосуда неравно давлению на противоположную. Таким образом, в этом случае нельзя в каждый момент времени характеризовать систему определенными параметрами. Очевидно, бесконечно медленных процессов в природе не бывает, любые процессы идут с конечной скоростью, поэтому решение, какие процессы относить к квазистатическим, зависит от той точности, с которой мы хотим получить результат — чем выше точность, тем процесс должен происходить медленнее. Это типичная ситуация в физике — чем точнее требуется результат, тем ближе должны быть реальные процессы к той идеализированной схеме, на основе которой производятся расчеты. Как не бывает абсолютно точных расчетов, таки не бывает абсолютно точных моделей, полностью и объективно описывающих какое-либо явление в природе. При изображении различных процессов на диаграммах в различных переменных, например, в переменных (р, V), как на рис. 2, всегда предполагается, что происходящий процесс — квазистатический, иначе точки на кривой не имели бы смысла. Для связи между параметрами системы, когда она находится в различных равновесных состояниях, используются уравнения состояния. Уравнением состояния для термодинамической системы называется связь между ее температурой, давлением и объемом. Приведем пример для иллюстрации данных понятий. Пусть имеются две одинаковые порции газа, находящиеся в равновесном состоянии в теплоизолированном сосуде и имеющие один и тот же начальный объем V 1 . Затем, первая порция квазистатически расширилась до объема V 2 , вторая же порция расширилась в пустоту до объема V 2 . Оба этих процесса являются адиабатическими. Однако в первом случае газ совершил работу, за счет чего его внутренняя энергия и температура уменьшилась в полном соответствии с законом Пуассона (см. (146)). Вторая же порция газа работу не совершала молекулы этого газа взаимодействовали только с неподвижными стенками, следовательно, не могли изменить свою кинетическую энергию и температура газа не изменилась. В первом случае можно, уменьшая постепенно объем газа, привести систему в первоначальное состояние, при этом она пройдет через все те же промежуточные состояния, что и при прямом процессе. Это и означает обратимость. Во втором же случае, при расширении газа в пустоту, заставить его вернуться в прежнее состояние, не обмениваясь с ним теплом, нельзя. Это нестационарный процесс. Уравнение состояния для начального и конечного состояния газа, будет одинаковым для обоих случаев. Однако для первого случая необходимо использовать закон адиабатного расширения (закон Пуассона) для связи начального и конечного состояний, а для расширения газа в пустоту — закон изотермического процесса, те. закон Бойля-Мариотта. Такая экзотика, когда две точки лежат на одной изотерме, причем при переходе из одной в другую системе не сообщается тепло, возможна только при нестационарном процессе. При квазистатических процессах, которые обычно рассматриваются в простейших приложениях, такого быть не может. 2.3. Уравнения состояния идеального газа Идеальным газом называется такой газ, для которого а) можно пренебречь размерами молекул по сравнению с размерами сосуда б) при столкновениях атомы, из которых состоят молекулы газа, ведут себя как упругие шары или эллипсоиды в) взаимодействием молекул на расстояниях, больших их размеров, можно пренебречь. Идеальный газ, разумеется, всего лишь модель ив природе не встречается. Однако реальные газы (к примеру, кислород, водород) можно приближенно считать идеальными с достаточной степенью точности, когда они находятся при нормальных условиях. Уравнение состояния идеального газа, которое называется уравнением Клапейрона—Менделеева, записывается в виде 𝑝𝑉 = 𝜐𝑅𝑇 , (1) где р — давление газа, V — его объем, v — число молей газа, Т — температура, R — универсальная газовая постоянная, численное значение которой R ≈ 8,3144 Дж (моль∙К) . Число молей v можно выразить через массу m газа 𝜈 = 𝑚 𝜇 , где μ — молярная масса, те. масса одного моля. Заметим, что в термодинамике, которая не знает о молекулярном строении вещества, уравнение Клапейрона-Менделеева вводится аксиоматически, те. в термодинамике идеальными газами называются те газы, уравнение состояния которых есть уравнение (1) (если строго, вводится еще постулат о постоянстве 𝑐 𝑉 ). Тот факт, что многие реальные газы при нормальных условиях подчиняются этому уравнению, является обобщением многих экспериментальных наблюдений. Теоретические обоснования уравнение Клапейрона Менделеева находят в статистической физике на основании приведенного выше определения идеального газа. На основе уравнения (1) можно вывести уравнения так называемых изопроцессов, те. процессов, проходящих при постоянстве некоторого параметра. К примеру, изотермический процесс — это такой процесс, который происходит при постоянной температуре Т = const. Из уравнения Клапейрона—Менделеева следует, что для такого процесса 𝑝𝑉 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. Это известный закон Бойля—Мариотта. Вывод уравнения изобарного процесса, те. процесса, происходящего при постоянном давлении, и изохорного процесса — процесса, происходящего при постоянном объеме, не составляет труда и предоставляется читателю. Напомним лишь, что уравнение изобарного процесса носит имя французского ученого Гей-Люссака, а уравнение изохорного процесса называется уравнением Шарля. 2.4. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов В молекулярно-кинетической теории строения вещества приняты следующие положения вещество состоит из молекул, которые непрерывно и хаотически движутся молекулы взаимодействуют между собой и с окружающими телами. Молекулярно-кинетическая теория позволяет связать микроскопические параметры, те. параметры, характеризующие молекулы и их движение, с макроскопическими. Для идеального одноатомного газа основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов выглядит следующим образом 𝑝 = 2 3 𝑁 𝑉 𝑚𝜐 2 ̅̅̅ 2 = 2 3 𝑛𝑊 ̅ , (2) где р — давление газа, V — его объем, N — число частиц в газе, m — масса одной молекулы, 𝜐 2 ̅̅̅ — среднеквадратичная скорость молекул, W ̅ — средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул, п — среднее число молекул в единице объема. Среднеквадратичная скорость определяется, что видно уже из названия, как средний квадрат скорости всех молекул 𝜐 2 ̅̅̅ = 𝜐 1 2 + 𝜐 2 2 + ⋯ + 𝜐 𝑁 2 𝑁 = 1 𝑁 ∑ 𝜐 𝑖 2 𝑁 𝑖=1 , где 𝜐 𝑖 — модуль скорости й молекулы, N — число молекул. Не следует путать ее с наивероятнейшей скоростью и со средним значением модуля скорости молекул — это всё суть разные величины. Из (1) и (2) можно получить следующие следствия. Средняя квадратичная скорость теплового движения молекул равна 𝜐 2 ̅̅̅ = 3𝑅𝑇 𝜇 , (3) где μ — молярная масса газа. Средняя кинетическая энергия поступательного движения одной молекулы зависит только от температуры 𝑊 ̅ = 3 2 𝑅 𝑁 𝐴 𝑇 = 3 2 𝑘𝑇 , (где k— постоянная Больцмана, 𝑘 = 𝑅 𝑁 𝐴 ≈ 1.38 ∙ 10 −23 Дж/К. Внутренняя энергия ℰ 𝑚 одного моля идеального газа, определяемая только кинетической энергией поступательного движения молекул, равна ℰ 𝑚 = 3 2 𝑅𝑇 = 3 2 𝑝𝑉 𝑚 , (5) где V m — объем одного моля газа. Подчеркнем еще раз, что данные выражения справедливы только для одноатомных газов (либо для многоатомных, но при очень низких температурах. В многоатомных газах молекулы могут обладать кинетической энергией не только поступательного, но и вращательного, а в некоторых случаях и колебательного движений. Для определения полной кинетической энергии вводится понятие числа степеней свободы. Число степеней свободы молекулы — это наименьшее число независимых координат, с помощью которых можно определить положение молекулы в пространстве. Это число обозначается буквой i. Колебательное движение играет роль только при достаточно больших температурах и обычно не учитывается. Одноатомная молекула, в соответствии с определением идеального газа, считается материальной точкой, и, следовательно, ее число степеней свободы равно трем i = 3. Для многоатомной молекулы в которой число атомов больше двух, необходимо уже 6 независимых координат 3 из них определяют поступательное движение в пространстве, оставшиеся 3 — вращательное движение вокруг трех взаимно-перпендикулярных осей. Таким образом, для такой молекулы i = 6. У двухатомной молекулы число степеней свободы i = 5. Из трех возможных вращательных степеней свободы одна не принимается во внимание, а именно — повороты вокруг оси, проходящей через атомы, составляющие данную молекулу. Вращение вокруг этой осине меняет положения молекулы, так каик атомы считаются материальными точками. Согласно закону Больцмана на каждую степень свободы молекул приходится одинаковое количество энергии, равное 1 2 𝑘𝑇 . Таким образом, в общем виде средняя кинетическая энергия одной молекулы равна 𝑊 ̅ = 𝑖 2 𝑘𝑇 , (6) Для одноатомного газа i = 3 и соотношение (6) переходит в (4). Несмотря на достаточную простоту формулировки, закон Больцмана содержит ряд неочевидных спорных вопросов. Во- первых, колебательные степени свободы учитываются только при высоких температурах, что уже нарушает равноправие всех степеней свободы. Во-вторых, при очень малых температурах нужно учитывать только поступательное движение, а вращательные степени свободы замораживаются, те. даже для многоатомных газов следует брать i = 3. Классическая теория не в состоянии удовлетворительно объяснить подобные эффекты, они находят объяснение только в квантовой теории. 2.5. Первое начало термодинамики Термодинамика — это наука о наиболее общих тепловых свойствах макроскопических тел. Термодинамика изучает закономерность тепловых явлений, связанных с передачей и превращением энергии, без рассмотрения тех микропроцессов, с которыми связаны эти превращения. Выводы термодинамики имеют универсальный характер, ее подходы применяются не только к газам, но и ко многим другим системам. Первое начало термодинамики выражает закон сохранения энергии в самом общем виде применительно к термодинамическим системам. Этот закон утверждает, что поглощенное телом количество теплоты Q расходуется на совершение работы А данным телом и на изменение его внутренней энергии S. Если тело перешло из одного состояния в бесконечно близкое, то для этого процесса 𝑑ℰ = 𝛿𝑄 − 𝛿𝐴 . (Различия в обозначениях бесконечно малых приращений d и δ состоят в следующем. Внутренняя энергия Ɛ является однозначной функцией термодинамических параметров системы. А именно, она линейно зависит от температуры T. Приращение таких величин обозначается символом d. Такие же величины, как работа Аи количество теплоты Q наоборот, не являются однозначными функциями параметров, они зависят от типа того процесса, который происходит с системой. Приращение таких величин обозначается символом Вместо работы А совершенной телом, можно рассматривать работу А внешних сил над телом. Очевидно, что A = −A’. Работу, совершаемую газом, можно выразить через изменение его объема 𝜹𝑨 = 𝒑𝒅𝑽 . (Чтобы понять, откуда берется это соотношение, рассмотрим газ, находящийся в сосуде под поршнем площадью S. Пусть поршень переместился на бесконечно малую величину dx. Тогда работа газа при этом перемещении равна 𝛿𝐴 = 𝐹𝑑𝑥, где F — сила, с которой газ давит на поршень. Однако из определения давления следует, что 𝐹 = 𝑝𝑆, откуда 𝛿𝐴 = 𝑝𝑆𝑑𝑥. Теперь заметим, что величина Sdx есть в точности изменение объема газа, откуда и следует соотношение (8). Полная работа газа при расширении его от объема V 1 до объема равна 13 𝐴 = ∫ 𝑝𝑑𝑉 𝑉 2 𝑉 1 . (9) Запишем первое начало для частных случаев изопроцессов. При изохорическом процессе V = const, и, таким образом, работа равна нулю, так как ΔV = 0. Первое начало имеет, в данном случае, вид Δℰ = 𝑄 , (те. все сообщаемое телу тепло идет на изменение его внутренней энергии. При изобарическом процессе р = const, можно записать интеграл (9) в явном виде 𝑎 = 𝑝(𝑉 2 − 𝑉 1 ). Таким образом, Δℰ = Q − p(V 2 − V 1 ). (При изотермическом процессе Т = const, следовательно, внутренняя энергия не меняется ΔƐ = 0, откуда 𝑄 = 𝐴 , таким образом, вся сообщенная телу энергия идет на совершение им работы. При адиабатическом процессе ΔQ = 0, следовательно = −𝐴 другими словами, работа газа совершается только за счет его внутренней энергии. 2.6. Теплоемкость газов Теплоемкость — отношение количества теплоты, переданной телу при бесконечно малом изменении его температуры, к этому изменению 𝐶 Более просто данное определение можно сформулировать так теплоемкость — это количество теплоты, необходимое для нагревания тела на 1 К. Существенно, что теплоемкость газа зависит оттого процесса, при котором происходило изменение его состояние. Бессмысленно говорить о теплоемкости газа вообще, без указания процесса. Для твердых тел, однако, говорят просто о теплоемкости, подразумевая при этом теплоемкость при постоянном давлении, так как обычно такие тела не содержатся в каких-либо сосудах и их нагревание и охлаждение происходит при атмосферном давлении. Теплоемкость, отнесенная к одному молю газа называется молярной теплоемкостью Договоримся теплоемкость обозначать большой буквой С, молярную теплоемкость — маленькой, а индексом внизу обозначать тип процесса, при котором эта теплоемкость измерена. Как видно из определения, теплоемкость измеряется в Дж/К. Если газ нагревается при постоянном объеме, то вся переданная газу теплота идет на изменение его внутренней энергии. Если же нагревание происходит при постоянном давлении, тона изменение внутренней энергии идет только часть переданной, остальная же часть расходуется на совершение газом работы, так как газ при увеличении температуры всегда расширяется, если его давление поддерживается постоянным. Отсюда уже видно, что для газа теплоемкость при постоянном объеме су всегда меньше теплоемкости при постоянном давлении с р . Однако существуют тела, которые при нагревании уменьшают свой объем (при постоянном давлении. Именно так ведет себя обычная вода в температурном интервале от 0 до примерно С. Для таких тел соотношение теплоемкостей иное. Из первого начала термодинамики и основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов можно получить выражение для теплоемкости в явном виде. Из (10) и (6) следует, что при изохорическом процессе для одного моля Q = i 2 RT откуда сразу получаем 𝑐 𝑉 = 𝑖 2 𝑅 . (12) Для изохорического процесса следует воспользоваться соотношением (11) из которого следует, что 𝛿𝑄 = 1 2 𝑅𝑑𝑇 + 𝑝𝑑𝑉 . Дифференцируя уравнение состояния идеального газа при v = 1 и учитывая, что р = const, имеем 𝑝𝑑𝑉 = 𝑅𝑑𝑇, откуда 𝛿𝑄 = 𝑖 2 𝑅𝑑𝑇 + 𝑅, и 𝑐 𝑝 = 𝑖 2 𝑅 + 𝑅 . (13) Из (12) и (13) следует формула Майера 𝑐 𝑝 − 𝑐 𝑉 = 𝑅 справедливая для идеальных газов. Из этих же соотношений выводится и выражение для отношения теплоемкостей 𝛾 = 𝑐 𝑝 𝑐 𝑉 = 𝑖 + 2 𝑖 которое позволяет найти 7, не вычисляя самих значений теплоемкости, а зная лишь число степеней свободы. 2.7. Адиабатический процесс Адиабатическим называют процесс, происходящий без теплообмена с окружающей средой. Такой процесс возможен, если газ заключен в сосуд со стенками, плохо проводящими тепло, например, в сосуд Дьюара или в термос. С другой стороны, приближенно адиабатическим можно считать процесс, происходящий быстро, так, чтобы за время этого процесса не произошло заметного обмена теплом с окружающей средой. Однако, если при этом для расчета состояния газа используется уравнение адиабатического процесса, нужно следить затем, чтобы процесс происходил достаточно медленно по сравнению со скоростью установления теплового равновесия, те. чтобы процесс можно было считать квазистатическим. К примеру, распространение звука в газах, спуск велосипедной камеры из-за прокола, быстрое расширение газа в холодильных установках — адиабатические процессы. Уравнение адиабатического процесса выводится из уравнения состояния идеального газа и из первого начала термодинамики. Опуская технические подробности, носящие чисто математический характер, запишем это уравнение в различных переменных. В переменных p, V 𝑝𝑉 𝛾 = или 𝑝 2 𝑝 1 = ( 𝑉 1 𝑉 2 ) 𝛾 . (В переменных, V 𝑇𝑉 𝛾−1 = или 𝑇 2 𝑇 1 = ( 𝑉 1 𝑉 2 ) 𝛾−1 . (б В переменных p, T 𝑇𝑝 1−𝛾 𝛾 = или 𝑇 2 𝑇 1 = ( 𝑝 1 𝑝 2 ) 1−𝛾 𝛾 . (14в) Эти три формы уравнения Пуассона. 17 3. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 3.1. Методика измерения В настоящей работе величина γ, являющаяся отношением 𝑐 𝑉 к с р измеряется без измерения последних. Это возможно благодаря использованию законов адиабатического процесса, в которые входит величина γ. Схема установки изображена на рис. 1. В толстостенном сосуде находится определенная порция газа, сосуд соединен с манометром и с насосом резиновыми трубками. Кран (2) регулирует сообщение сосуда с насосом, кран (4) — с атмосферой. Рассмотрим последовательно процессы, происходящие в работе. Они изображены на диаграмме (p, V) на рис. 2. Так как объем газа в сосуде вовремя опыта меняется, будем рассматривать некоторую мысленно выделенную часть воздуха в Рис. 1. Схематическое изображение установки для измерения показателя адиабаты γ: 1 сосуд с воздухом 2 – насос 3 – манометр 4 – пробка 5 - линейка сосуде, имеющую вначале объем Vo- Договоримся также обозначать индексами у параметров состояния ту точку на диаграмме, к которой этот параметр относится. Например, Т — температура газа в состоянии 2 и т. п. До начала эксперимента воздух в сосуде, после того, как открыт кран (4), находится при атмосферном давлении и имеет температуру окружающей среды Т (точка 0 на диаграмме. С помощью насоса быстро накачивают в сосуд дополнительную порцию воздуха. Если накачка происходит достаточно быстро, то данный процесс можно считать приближенно адиабатными в соответствии с законом Пуассона воздух в сосуде должен нагреться кривая 0-1 на диаграмме. О повышении давления можно судить по разности уровней жидкости в манометре. Далее, в течение 2-3 минут воздух в сосуде начинает остывать от температуры Т до комнатной температуры T 2 = T 0 (изохора 1-2), соответственно, падает и давление ( 𝑝 1 > 𝑝 2 ), о чем также можно судить по показаниям манометра — высоты уровней жидкости в манометре медленно изменяются. Когда ее движение будет уже незаметно, можно считать, что температуры внутри и вне сосуда сравнялись. Обозначим разность показаний высоты уровня жидкости в плечах манометра в этот момент через Н Данная величина представляет собой разницу между избыточным давлением в колбе и атмосферным давлением 𝐻 = 𝑝 2 − 𝑝 0 , измеренной в мм. вод. ст. Рис. 2. Изображение процесса, происходящего с воздухом в сосуде при измерении в координатах р, V) Затем соединяют сосуд с атмосферой на время τ секунд, за счет чего газ будет расширяться. Если τ достаточно мало, можно приближенно считать процесс расширения адиабатическим, при котором температура понижается 𝑇 3 < 𝑇 2 = 𝑇 0 , а давление становится равным атмосферному давлению 𝑝 3 = 𝑝 0 , это процесс 2-3. Запишем закон Пуассона в форме (в) для этого процесса ( 𝑝 2 𝑝 0 ) 𝛾−1 = ( 𝑇 0 𝑇 3 ) 𝛾 . (15) После того, как кран закрыли, температура воздуха Т в сосуде через 2-3 мин снова сравняется с комнатной изохора 3-4. Следовательно) Первое равенство в уравнении (16) — это закон Шарля для данного процесса, второе равенство представляет собой подстановку 𝑇 4 = 𝑇 0 - Обозначим показания манометра в данный момент через h; таким образом, ℎ = 𝑝 4 − 𝑝 0 . Исключая из (15) и (16) температуру, получаем Логарифмируя последнее уравнение и учитывая элементарные свойства логарифма ln𝑎 𝑏 = 𝑏ln𝑎 и ln𝑎 − ln𝑏 = ln ( 𝑎 𝑏 ) для ∀𝑎 > 0, b>0, имеем 𝛾 = ln 𝑝 2 𝑝 2 ln 𝑝 2 𝑝 4 = ln 𝑝 0 + 𝐻 𝑝 0 ln 𝑝 0 + 𝐻 𝑝 0 + ℎ = ln (1 + 𝐻 𝑝 0 ) ln (1 + 𝐻 − ℎ 𝑝 0 + ℎ ) . (17) Заметим, что под знаком логарифма в обоих случаях стоит величинах где х мало, так как 𝐻, ℎ ≪ 𝑝 0 , что физически означает малость изменения давления в сосуде по сравнению с атмосферным. Для таких аргументов функция ln допускает приближенное равенство ln(1 + 𝑥) ≈ 𝑥, 𝑥 ≪ 1 Относительная ошибка такого приближения составляет при х = 0,1, E ≈ 0,05, при хи так далее по одному порядку на каждый порядок х x = 10 −n ⟹ E ≈ 5 ∙ при 𝑛 ≥ 1. Кроме того, из тех же соображений, можно пренебречь h по сравнению с p 0 при их сложении 𝑝 0 + ℎ ≈ 𝑝 0 . Относительная ошибка такого приближения, очевидно, равна 𝐸 При использовании упомянутых приближений, выражение (17) упрощается 20 𝛾 ≈ ( 𝐻 𝑝 0 ) ( 𝐻 − ℎ 𝑝 0 ) = 𝐻 𝐻 − ℎ . (18) Величина h существенно зависит от времени τ, которое держится открытым кран (4), что на первый взгляд неочевидно. Действительно, так ли уж важно, что тепло поступает в сосуд, пока кран открыт, если потом мы все равно ждем, пока воздух в сосуде не нагреется до комнатной температуры Однако это действительно важно из следующих соображений. Когда кран открыт, нагревание воздуха в сосуде приводит к дополнительному увеличению объема при приблизительно одинаковом давлении когда же кран закрыт, объем остается постоянным, а давление увеличивается. Ясно, что чем дольше открыт кран, тем меньше будет конечное давление, и наоборот. Пусть проведена серия измерений, и при различных значениях 𝜏 𝑖 , получены различные значения i , i = 1,2,3 … Тогда связь между ними и тем идеальным значением ℎ ид , которое было бы в случае идеального адиабатического процесса, происходящего без потерь, выглядит так lnℎ 𝑖 = lnℎ ид − 𝐴𝜏 𝑖 , (19) где А — некоторая постоянная, зависящая от множества физических условий. Таким образом, построив зависимость lnℎ 𝑖 как функцию τ, можно путем экстраполяции найти lnℎ ид , а, следовательно, и саму величину ℎ ид (рис. 3). Пусть уравнение прямой на этом рисунке имеет вид lnℎ = 𝑓(𝜏), тогда lnℎ ид = 𝑓(0). Рис. 3. Линейная экстраполяция графика lnℎ 𝑖 = 𝑓(𝜏 𝑖 ) Заметим, что, строго говоря, аргументом функций exp, In, sin и т. п. могут быть только безразмерные величины. Формулу (19) грамотнее было бы записать в виде ln = ( ℎ 𝑖 ℎ ид ) = −𝐴𝜏 𝑖 , где под логарифмом стоит безразмерное отношение высот. Однако в технических расчетах можно использовать и вид (19), понимая, что он означает. Глядя на график, можно поддаться соблазну сразу провести измерения при очень маленьком τ и получить число, близкое к искомому. Однако так делать нельзя необходимо, чтобы время, которое открыт кран, было достаточно для выравнивания давлений для этого нужно время порядка 1-2 с, таким образом, должно выполняться 𝜏 𝑖 ≥ 2 c, ∀ 𝑖 3.2. Принадлежности В состав установки входят (см. риса) стеклянный толстостенный сосуд с двумя кранами, один из которых служит для сообщения с атмосферным воздухом, второй — для соединения с насосом б) манометр для измерения давления в) насос. 3.3. Порядок выполнения работы 1. Записать в лабораторном журнале текущую дату, название работы, краткое теоретическое введение, основные определения, основные теоретические и расчетные формулы, схему установки. 2. Начертить следующую таблицу в трех экземплярах для записи результатов измерения Таблица 1 i 1 2 3 4 5 τ h lnh H= 3. Получить допуск на выполнение работы у преподавателя. 4. Открыть кран (2) - Насосом накачать в сосуд некоторое количество воздуха. При накачивании необходимо следить, чтобы уровень жидкости в манометре оставался более чем на 5-6 см ниже верхнего края манометрической трубы. Закрыть кран (2), чтобы отсоединить насос от сосуда. 5. Выждать 1-2 минуты, пока воздух в сосуде, нагретый в результате быстрого сжатия, охладится до температуры окружающей среды. Добиться разностей уровней Н = 100 мм жидкости в плечах манометра медленным стравливанием воздуха краном (4). Записать данные в табл. 1. 6. Быстро открыть кран (2) (открытие крана производится достаточно сильным нажатием на него, одновременно запустить секундомер и через 𝜏 𝑖 = 2c закрыть кран (2) (отжать. 7. Сделать отсчет разности уровней ℎ 𝑖 через 2-3 мин, когда воздух в сосуде нагреется до комнатной температуры и уровни жидкости в манометре перестанут перемещаться. Для выбранного значения Н повторить опыт для четырех значений времени τ запаздывания с интервалом в 2-3 секунды согласно пп. 4-7. При этом надо помнить, что в каждом эксперименте Ндолжна быть постоянной, это будет влиять на точность измерения. 8. Повторить опыт три раза для трех различных значений Н. Непосредственно после получения данных подписать их у преподавателя или лаборанта. 10. На миллиметровой бумаге построить график зависимости lnℎ от τ для H 1 , H 2 , H 3 (в виде исключения допускается печать графика на принтере при обработке результатов на ЭВМ. 11. Определить три величины иди по формуле (18) показатель адиабаты γ, подставляя в нее вместо h. найденную величину ℎ ид Оценить ошибку для каждого γ и рассчитать общую ошибку через среднеквадратичное отклонение по известной формуле 𝑆 𝛾 = √ 1 𝑛(𝑛 − 1) ∑(𝛾 𝑗 − В данном случае имеется три измерения па случайные ошибки превышают приборные. 12. Взяв надежность Р = 0,95, по таблице (см. лабораторную работу 1) определить коэффициент Стьюдента для данного п Записать ответ в виде 𝛾 = 𝛾̅ ± ∆𝛾 . При этом помнить о правилах округления если среднее значение и абсолютная ошибка записаны с одинаковым порядком, необходимо в них обоих оставлять равное число цифр после запятой. Также необходимо округлить ошибку по известным правилам. 13. Рассчитать теоретически величину γ для воздуха через число степеней свободы. Сравнить с измеренным. Сделать выводы. При сильном расхождении выяснить их причины, и после устранения последних произвести повторные измерения точек, наиболее сильно отличающихся от теоретических. 14. Сдать работу. ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОПРОВЕРКИ 1. Какие системы являются объектами изучения в термодинамике 2. Какая система называется идеальным газом 3. Запишите уравнение состояния идеального газа. 4. Чем отличается идеальный газ от реального Какие вызнаете уравнения для реальных газов Какие параметры газа учитываются в этих уравнениях и не учитываются в модели идеального газа 5. В чем принципиальное отличие квазистатических процессов от нестационарных 6. Каким уравнением описывается адиабатический процесс для идеального газа 7. Вспомните определение теплоемкости, определения величин 𝑐 𝑝 и 𝑐 𝑉 . Почему, несмотря на то, что в эти определения входят величины Δ𝑄 ив данном опыте они напрямую не измеряются 8. Возможен ли процесс, при котором газ совершает работу, ноне получает энергию извне 9. Возможен ли процесс, при котором газ совершает работу, ноне изменяет своего объема 10. Возможен ли процесс, при котором газ совершает работу, ноне изменяет свою внутреннюю энергию 11. Чем характеризуются системы, у которых а) теплоемкость 𝑐 → 0 и б) теплоемкость 𝑐 → ∞ ? Приведите примеры систем с такими характеристиками. 12. Может ли термодинамическая система, в частности, идеальный газ, обладать отрицательной теплоемкостью 13. Может ли термодинамическая система (которая в общем случае не является идеальным газом) совершать адиабатический процесс, при котором объем изменяется, а температура не изменяется если ответ да — то привести пример, если нетто почему. 14. Может ли термодинамическая система (которая в общем случае не шляется идеальным газом) совершать квазистатический адиабатический процесс, при котором объем изменяется, а температура — нет (сравнить с предыдущим вопросом) 15. Запишите первое начало термодинамики а) в общем виде б) для изотермического процесса в) для адиабатического процесса. Объясните различия. 25 16. Чем обусловлено давление газа на стенки сосуда, в который данный газ заключен 17. Почему давления газа на стенки остается неизменным, хотя оно является результатом совместного действия множества молекул, каждая из которых характеризуется случайными изменяющимися со временем параметрами 𝜈⃗, 𝑥⃗ и т. п 18. Почему теплоемкость идеального газа при постоянном давлении 𝑐 𝑝 больше, чем его теплоемкость при постоянном объеме 𝑐 𝑉 ? Попытайтесь объяснить качественно, не используя формулы. 19. Может ли существовать термодинамическая система, для которой теплоемкость при постоянном давлении 𝑐 𝑝 меньше, чем теплоемкость при постоянном объеме 𝑐 𝑉 ? Какими характеристиками она должна была бы обладать Если на первый вопрос ответ да — приведите пример. 20. Зависит ли внутренняя энергия газа, нагретого от температуры T 1 до температуры T 2 при некотором квазистатическом процессе, от типа этого процесса А для нестационарных процессов 21. Зависит ли полученное газом количество теплоты, благодаря которому он нагрелся от температуры T 1 до температуры T 2 при некотором квазистатическом процессе, от типа этого процесса 22. Зависит ли работа, совершенная газом, нагретым от температуры до температуры T 2 при некотором квазистатическом процессе, от типа этого процесса 23. В чем заключается закон о равнораспределении энергии по степеням свободы Использовался ли он при расчете γ в данной работе Какова его область применимости 24. Как зависит молярная теплоемкость газа от числа степеней свободы Что еще необходимо знать для ответа на данный вопрос 25. Отчего зависит число степеней свободы молекул газа Чему равно это число для водорода, кислорода, азота, углекислого газа 26. Как зависит внутренняя энергия идеального газа от температуры 27. Какие величины в формуле (2) макроскопические, а какие — микроскопические 28. Запишите уравнение изотермы и изобразите ее в координатах р, V). 29. Запишите уравнение изохоры и изобразите ее в координатах р , V ) . 26 30. Запишите уравнение изобары и изобразите ее в координатах (р , V ) . 31. Известно, что при некотором процессе, для нагревания тела на 1 К понадобилось Q = 1 Дж теплоты. Сколько теплоты понадобится для нагревания тела в том же процессе на С 32. Что такое расширение газа в пустоту 33. Вспомните, какие газы преимущественно составляют воздух и рассчитайте для него величину γ через число степеней свободы. 34. Из каких законов получено и какова область применимости уравнения Пуассона 35. Важно ли, какая жидкость налита в манометр Как бы изменились формулы для расчета γ, если бы вместо воды в манометр была налита ртуть 36. Какие законы и приближения были использованы при выводе формулы (18)? Какова, таким образом, ее область применимости 37. Пусть Н = 100 мм. вод. ст, h = 30 мм. вод. ст, атмосферное давлением. вод. ст. Чему равна относительная ошибка при использовании приближенной формулы (18) вместо (17)? Учесть все приближения. |