МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ И ИССЛЕДОВАНИЕ ЕЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ. Кафедра экспериментальной физики спбгпу
 Скачать 119.84 Kb.
|
|
Кафедра экспериментальной физики СПбГПУ 1 Работа МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ И ИССЛЕДОВАНИЕ ЕЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Задача. Провести многократные измерения заданного интервала времени. 2. Построить гистограмму распределения результатов измерения. 3. Вычислить среднее значение и дисперсию полученного распределения. 4. Выполнить сравнение гистограммы с нормальным распределением Гаусса, имеющим те же среднее и дисперсию, что и экспериментальное распределение. ВВЕДЕНИЕ Случайной называется величина, изменяющаяся от опыта копыту нерегулярно и на первый взгляд беспорядочно. Так, при бросании игральной кости (кубик с нумерованными гранями) может выпасть любое число от 1 до 6. Радиоактивное ядро может распасться в любую наперед избранную секунду, время жизни ядра до распада - случайная величина. При массовом изготовлении любой продукции все изделия оказываются не вполне идентичными по параметрам. Таким образом, те или иные параметры для совокупности таких изделий также являются случайными величинами. Результат каждого отдельного измерения случайной величины непредсказуем. Но при многократном повторении измерений в неизменных условиях совокупность их результатов описывается статистическими закономерностями. Если бросать игральную кость сотни раз, каждое определенное число (например, два) выпадает примерно в 1/6 части общего числа попыток для радиоактивного вещества, содержащего очень большое число одинаковых ядер, можно надежно предсказать число распадов за любой (ноне слишком малый) наперед заданный промежуток времени. Удается подметить закономерности ив распределении потому или иному параметру изделий, изготовляемых в массовом производстве по определенной технологии (знание этих закономерностей оказывается полезным как технологу- изготовителю, таки потребителю изделий. Наряду со случайными встречаются величины неслучайные. Таковы прежде всего фундаментальные физические постоянные скорость света в вакууме, заряди масса электрона и т.п. К неслучайным величинам относятся и свойства конкретного образца в конкретных условиях (например, его плотность, теплоемкость и т.п.). Но когда в реальном эксперименте измеряется даже неслучайная величина, из-за совместного действия многочисленных неконтролируемых причин результат отдельного измерения подвергается искажениями становится величиной случайной. Поэтому изучение статистических закономерностей служит одной из основ теории и практики физического и инженерного эксперимента. Часто принимается, что результаты многократных измерений описываются функцией Гаусса (см. ниже) - так называемым законом нормального распределения. В этой работе вам предстоит моделировать (те. создать искусственно) некоторый случайный процесс и исследовать распределение соответствующей случайной http://www.physics.spbstu.ru 2 величины. Используется следующий способ моделирования. При помощи обычных часов с секундной стрелкой или секундомера задают некоторый промежуток времени t и измеряют его высокочувствительным цифровым хронометром, вручную нажимая кнопки "старт" и "стоп. Процедуру для одного итого же t повторяют многократно. Участие в ней человека приводит к тому, что в действительности задаваемые промежутки времени t, а следовательно, и отсчеты по хронометру, будут как больше, таки меньше заданного промежутка t. Закономерности в распределении значений моделированной таким образом случайной величины можно надежно выявить при соблюдении двух условий 1) число измерений достаточно велико 2) чувствительность хронометра достаточна для регистрации изменений t от опыта копыту. Обычно при задании человеком промежутка времени по секундомеру разброс t не превышает нескольких десятых секунды, следовательно, на табло цифрового хронометра должны высвечиваться сотые и тысячные секунды. Регистрация следующих разрядов бесполезна и лишь усложняет обработку данных. Закономерности распределения значений изучаемой случайной величины становятся наглядными, если построить гистограмму – ступенчатую диаграмму, показывающую, как часто при измерениях появляются значения, попадающие в тот или иной из равных интервалов Δt, лежащих между наименьшими наибольшим из измеренных значений величины t. Гистограмму строят в следующих координатах см. рисунок ось абсцисс - измеряемая величина t , ось ординат - ΔN/NΔt. Здесь N - полное количество измерений, ΔN - количество результатов, попавших в интервал [t,t+Δt]. Частное ΔN/N есть доля результатов, попавших в указанный интервал, и характеризует вероятность попадания в него результата отдельного измерения. Отношение этой величины к ширине интервала ΔN/NΔt характеризует некоторую "плотность вероятности. При очень большом числе измерений (N→∞) весь диапазон значений t в принципе можно разбить на "бесконечно малые" интервалы dt и подсчитать число результатов dN в каждом из них. Тогда вместо ступенчатой гистограммы получится плавная кривая соответствующая новой функции t: ( ) dt dN N t N N t t N × = D × D = ® D ¥ ® 1 lim 0 r (1). t max t min D N N D t < t > r (t) Кафедра экспериментальной физики СПбГПУ 3 Функцию называют плотностью вероятности или законом распределения исследуемой величины. Нормальное распределение описывается функцией Гаусса ( ) ( ) ÷ ÷ ø ö ç ç è æ - - × = 2 2 2 exp 2 1 s s p r t t t (2). Чтобы сравнить исследуемое вами распределение с нормальным, проще всего, найти поданным измерений параметры t и σ приближенно, так как число измерений ограничено, вычислить для них функцию по формуле (2) и построить ее в тех же координатах, что и гистограмму (см. рисунок. Параметр <t> есть среднее арифметическое всех результатов измерений ( ) å = = + + + = N i i N t N t t t N t 1 2 1 1 1 K (3). Параметр σ называется дисперсией. Он характеризует "ширину" нормального распределения и может быть определен только для бесконечно большого числа измерений. В нашем случаев качестве приближенного значения полагаем ( ) å = - = N i i t t N 1 2 1 s (4). Из формулы (2) сразу видно, что плотность нормального распределения имеет максимум при t = <t> и симметрична относительно этого значения следует ожидать, что примерно также будет выглядеть гистограмма. Можно сравнить "наибольшую высоту гистограммы" и ρ max (t): ( ) s p r × = 2 1 max t (5). Последнее соотношение получается, если в (2) положить t= <t>. Для количественной проверки того, насколько хорошо полученные результаты описываются нормальным распределением, воспользуемся соотношением ( ) N N dt t P t t 12 12 2 1 » = ò r (6). Здесь записано, что вероятность попадания результата каждого измерения в интервал [t 1 , t 2 ], с одной стороны, может быть вычислена как интеграл функции распределения в этих пределах, ас другой - найдена, как относительное число измерений результаты которых попали в этот интервал. Разумно использовать значения вероятности для наиболее употребительных в технике измерений пределов. Это вероятности попадания результата измерения в интервалы t Î [ P σ = 0,68; t Î [ P 2σ = 0,95; (7) t Î [ P 3σ = 0,997. http://www.physics.spbstu.ru 4 УСТАНОВКА В работе используется цифровой частотомер-хронометр в режиме измерения интервалов времени этот режим устанавливается нажатием клавиши t переключателя рода работы. Предел измерений устанавливается нажатием клавиши "метка времени" . Единица младшего разряда на цифровом табло индикатора совпадает с указанным под клавишей числом в микросекундах, например, приметке времени 1000 единице в последнем разряде табло соответствует 1000 мкс = 0,001 с, те. результат наблюдений будет отсчитан по табло с точностью до тысячных долей секунды. Процедура задания и отсчета промежутка времени описана выше, во введении. ИЗМЕРЕНИЯ И ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ 1. Выберите устанавливаемый по часам или секундомеру промежуток времени рекомендуется целое число секунд от 5 до 10. Многократно устанавливая этот промежуток времени, проведите не менее 50 измерений. Результат каждого измерения (показания цифрового хронометра) заносите во второй столбец табл. 1. Таблица Номер опыта t i , c t i - <t>, с (t i - с 1 2 <t> =. . с Σ(t i - <t>) =. . с σ = . . стах. . .с -1 В НИМ АН И Е ! Раньше, чем выбирать задаваемый промежуток времени и число наблюдений, внимательно прочтите пи настоящего раздела. Третий и четвертый столбцы заполняются при последующих вычислениях см. п. Если вычисления выполняются на микрокалькуляторе по программе, промежуточные результаты, разумеется, в отчет не вносятся третий и четвертый столбцы не заполняются или совсем исключаются. Программа вычислений должна быть приведена в отчете. 2. Постройте гистограмму, выполнив для этого следующие операции а) отыщите в табл. 1 наименьший и наибольший t MAX из результатов наблюдений б) промежуток (t MIN - t MAX ) разбейте на травных интервалов Δt, соблюдая следующие условия т должно быть целым, близким к N напомним, N – полное число измерений. Измеренные значения и t MAX должны попадать внутрь "крайних" интервалов граничные значения, разделяющие соседние интервалы, должны быть по возможности "круглыми" числами - это облегчит построение гистограммы. Границы выбранных интервалов заносите в первый столбец табл. Кафедра экспериментальной физики СПбГПУ 5 Таблица Границы интервалов, с ΔN ΔN/NΔt, с -1 ρ,с -1 9,80 9,85 2 0,800 0,090 0,875 10,15 10,20 в) подсчитайте число результатов измерений ΔN i , из табл, попавших в каждый из интервалов Δt , заполнив таким образом второй столбец табл г) вычислите опытное значение плотности вероятности (третий столбец табл д) постройте на миллиметровой бумаге гистограмму. 3. Поданным табл вычислите и σ, используя формулы (3) и (4); занесите результаты в "подвал" табл. 1. Вычисление Σ(t i - <t>) ≈ 0 - хороший способ контроля правильности нахождения <t>. 4. По формуле (5) вычислите максимальное значение плотности распределения ρ MAX , соответствующее t=<t>, занесите его в "подвал" табл. Для значений t, соответствующих границам избранных интервалов, вычислите по формуле (2) значения плотности распределения ρ(t), занесите их в четвертый столбец табл. Нанесите все расчетные точки на график, на котором изображена гистограмма, и проводите через них плавную кривую. Удовлетворяет ли вас соответствие кривой и гистограммы В чем вы видите причины неполного их соответствия ? 5. Проверьте, насколько точно выполняется в ваших опытах соотношение вычислите границы интервалов, названных в (7) для найденных вами <t> и σ, занесите их в табл. 3. Таблица Интервал, сот до N 12 N 12 /N Р <t>±2σ <t>±3σ Поданным табл подсчитайте и занесите в табл. 3 число измерений, попадающих в каждый из этих интервалов, и отношение к общему числу измерений N 12 /N. Сравните их с соответствующими нормальному распределению значениями вероятности Р. Считаете ли вы такое совпадение удовлетворительным ? В чем видите расхождение ? Результат любого измерения должен быть приведен с указанием http://www.physics.spbstu.ru 6 погрешности, которая в случае многократных прямых измерений определяется как сумма приборной и случайной погрешностей. При определении случайной погрешности используют не дисперсию, определенную выше, а среднеквадратичное отклонение от среднего значения в серии результатов ( ) ( ) å = - - × = N i i t t t N N 1 2 1 1 s (8). Распределение, относящееся к конечному числу измерений, называется распределением Стьюдента. Оно при N → переходит в нормальное гауссовское) распределение. Случайная погрешность результата многократных измерений равна Δt = t αN σ (9). где t αN - коэффициент Стьюдента, зависящий от числа измерений N и доверительной вероятности α = P(t Î [<t>-Δt, <t>+Δt]). КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ 1. Являются ли, по вашему мнению, случайными следующие физические величины а) плотность алмаза при С, б) напряжение сети в) сопротивление резистора, взятого наугад из партии с одними тем же номинальным сопротивлением г) число молекул в 1 см при нормальных условиях ? Приведите другие примеры случайных и неслучайных физических величин. 2. Изучая распределение ЭДС партии электрических батареек, студент использовал цифровой вольтметр. После нескольких измерений получились такие результаты (в вольтах 1,50; 1,49; 1,50; 1,50; 1,49. Имеет ли смысл продолжать измерения Чтобы вы изменили в методике этого эксперимента 3. При обработке результатов измерений емкости партии конденсаторов получено С = 1,1 мкФ, σ = 0,1 мкФ. Если взять коробку со 100 конденсаторами из этой партии, то сколько среди них можно ожидать конденсаторов с емкостью меньше 1 мкФ ? больше 1,3 мкФ ? |