Витте Математика Вариант 4. РР1 математика_Вар-4. Кафедра Математика и информатика

• Название: Кафедра Математика и информатика
• Анкор: Витте Математика Вариант 4
• Дата: 21.12.2021
• Размер: 245.45 Kb.
• Имя файла: РР1 математика_Вар-4.docx
• Тип: Решение; #312608

Кафедра ___Математика и информатика_________________________


Рейтинговая работа _______________________________________________

(домашняя творческая работа, расчетно-аналитическое задание, реферат, контрольная работа)

по дисциплине _________________________________________________
Задание/вариант № ____________

Тема* ______________________________________________________________

Выполнена обучающимся группы __________

__________________________________________________________________

(фамилия, имя, отчество)
Преподаватель ____________________________________________________

(фамилия, имя, отчество)

Москва – 201__ г.

* при наличии
Вариант 4
1) Даны матрицы и число . Найти матрицу .

4). ,

Решение:

Произведением А В матрицы размера m n и матрицы размера n р является матрица размера m p , элементы d_ij которой равняются сумме произведений элементов і-й строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В :



Произведением матрицы на число является матрица, элементы которой равняются произведениям элементов матрицы и числа, то есть:



Алгебраической суммой (разностью) матриц одинакового размера m n является матрица размера m n, элементы которой равняются алгебраической сумме (разности) соответствующих элементов данных матриц:

.

Ответ: .

2) Дана система линейных алгебраических уравнений

Найти решение этой системы любым методом.

4).

Решение:

Решаем эту систему линейных уравнений методом Крамера.

Формулы Крамера: где - определитель матрицы системы, это вспомогательный определитель, который получаем из основного определителя путем замены его k-го столбца на столбец свободных членов системы. Вычислим все эти определители с помощью разложения по элементам 1-й строки:

Δ =	8	-9	5	= 8 ·			– (-9) ·			+ 5 ·			=
	5	-2	6		-2	6		5	6		5	-2
	-9	8	-7		8	-7		-9	-7		-9	8

Δ1 =	1	-9	5	= 1 ·			– (-9) ·			+ 5 ·			=
	5	-2	6		-2	6		5	6		5	-2
	-4	8	-7		8	-7		-4	-7		-4	8

Δ2 =	8	1	5	= 8 ·			– 1 ·			+ 5 ·			=
	5	5	6		5	6		5	6		5	5
	-9	-4	-7		-4	-7		-9	-7		-9	-4

Δ3 =	8	-9	1	= 8 ·			– (-9) ·			+ 1 ·			=
	5	-2	5		-2	5		5	5		5	-2
	-9	8	-4		8	-4		-9	-4		-9	8

Тогда по формулам Крамера:



Ответ: .
3) Известны координаты (см. таблицу 1) в прямоугольной системе координат трех точек , являющихся вершинами треугольника. Изобразить треугольник в этой прямоугольной системе координат и найти:

3.1 координаты векторов , и их длины;

3.2 скалярное произведение векторов , и угол между векторами , ;

3.3 векторное произведение векторов , и площадь треугольника

3.4 значение параметра , при котором векторы и будут коллинеарны;

3.5 координаты точки , делящей отрезок в отношении ;

3.6 каноническое уравнение стороны ;

3.7 уравнение с угловым коэффициентом и угловой коэффициент прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

Таблица 1

Номер варианта	Координаты точек
4

Решение:

3.1. найдем координаты векторов , и их длины.

Координаты и длина :





Координаты и длина :






L


3.2 Найдем скалярное произведение векторов , и угол между векторами ,



 0,095) ≈ 84,6.

_{3.3 найдем векторное произведение векторов} , и площадь треугольника

Векторным произведением вектора a на вектор b называется вектор c, длина которого численно равна площади параллелограмма построенного на векторах a и b, перпендикулярный к плоскости этих векторов.

_Треугольник построен на векторах и

Его площадь равняется половине площади параллелограмма, построенного на этих векторах, которая, в свою очередь равняется модулю векторного произведения этих векторов: .



Тогда площадь .

3.4 найдем значение параметра , при котором векторы и будут коллинеарны.





Векторы будут коллинеарны, если их координаты пропорциональны:

 





.

3.5 найдем координаты точки , делящей отрезок в отношении , если , , т.е. .

Координаты точки  , которая делит отрезок АВ в отношении  , выражаются формулами: , т.е.

 .


_{3.6 найдем каноническое уравнение стороны .}

   - это каноническое уравнение.

3.7 найдем уравнение с угловым коэффициентом и угловой коэффициент прямой, проходящей через точку параллельно прямой .

Сначала составим уравнение с угловым коэффициентом прямой АВ, если каноническое уравнение имеет вид    уравнение с угловым коэффициентом :

Прямая L, параллельная прямой АВ, имеет тот же угловой коэффициент, что и прямая АВ, т.е. уравнение с угловым коэффициентом . Константу b находим из условия, что искомая сторона проходит через точку С(9; 5), т.е. при х = 9: у = 5. Подставляем эти координаты в уравнение:

   .

Угловой коэффициент k = -2.

4) Известны координаты (см. таблицу 2) в прямоугольной системе координат вершин пирамиды .

4.1 найти смешанное произведение векторов и объем пирамиды ;

4.2 найти каноническое уравнение прямой ;

4.3 найти общее уравнение плоскости .

Таблица 2

Номер варианта	Координаты точек
4

Решение:

4.1. Координаты вектора А₁А₂:

=(

1

–

2

;

1

–

4

;

5

–

3

) = (

-1

;

-3

;

2

)

.

Координаты вектора А₁А₃ :

=(

4

–

2

;

9

–

4

;

3

–

3

) = (

2

;

5

;

0

)

.

Координаты вектора А₁А₄ :

=(

3

–

2

;

6

–

4

;

7

–

3

) = (

1

;

2

;

4

)

.

Объем пирамидыравняется 1/6 от объема параллелепипеда, построенного на векторах который, в свою очередь равняется модулю смешанного произведения этих трех векторов.

Находим смешанное произведение этих векторов:

	-1	-3	2	= -1 ·			– (-3) ·			+ 2 ·			=
	2	5	0		5	0		2	0		2	5
	1	2	4		2	4		1	4		1	2

То есть объем пирамиды : V = (ед³).

4.2 найдем каноническое уравнение прямой .

Уравнение прямой A₁A₂ : , где A₁(2,4,3), A₂(1,1,5) 

 .
4.3. Уравнение плоскости : 

х	–	2		у	–	4		z	–	3		х – 2		у – 4		z – 3
1	–	2		1	–	4		5	–	3	= 0 	-1		-3		2	= 0 
4	–	2		9	–	4		3	–	3		2		5		0

(х – 2)	-3	2	– (у – 4)	-1	2	+ (z – 3)	-1	-3	= 0 
	5	0		2	0		2	5

.

Это искомое уравнение плоскости.

Литература

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г., Аналитическая геометрия, М., Наука, 1988.

2. Беклемишев Д.В., Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, М, Наука, 1984.

3. Канатников А.Н., Крищенко А.П., Аналитическая геометрия, М., Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999.

4. Бахвалов С.В., Моденов П.С., Пархоменко А.С., Сборник задач по аналитической геометрии, М., Наука, 1976.