Кездейсоқ шамалар _cc02be77967a3a6a4776b25665181d16. Кездейсо шама деп атаймыз. 1мысал

• Название: Кездейсо шама деп атаймыз. 1мысал
• Дата: 27.04.2022
• Размер: 43.62 Kb.
• Имя файла: Кездейсоқ шамалар _cc02be77967a3a6a4776b25665181d16.docx
• Тип: Документы; #499800

Кездейсоқ шамалар
Анықтама:Сынау нәтижесінде мүмкін болатын мәндерден алдын-ала белгісіз бір ғана мәнді тәжірбие нәтижесіне байланысты қабылдайтын шаманы кездейсоқ шама деп атаймыз.

1-мысал : Жаңа туған 100 нәрестелердің арасындағы ұл балалар саны 0, 1, 2, ..., 100 дейінгі мүмкін болатын мәндерді қабылдай алатын кездейсоқ шама болып табылады.

Кездейсоқ шамаларды X, Y, Z, бас әріптермен, ал олардың қабылдайтын мәндерін x,y,z кіші әріптермен белгілейміз.

Мысалы, егер Х кездейсоқ шамасының қабылдай алатын үш мүмкін мәндері бар болса, онда оларды х₁, х₂, х₃ деп белгілейміз.

Анықтама: Дискретті (үздікті) кездейсоқ шама деп белгілі ықтималдықтары бар жеке, дербес мәндерді қабылдай алатын шаманы айтамыз.

Дискретті кездейсоқ шаманың мүмкін мәндерінің саны ақырлы немесе ақырсыз болуы мүмкін.

Анықтама: Үздіксіз кездейсоқ шама деп, қандай да бір ақырлы немесе ақырсыз аралықтағы барлық мәндерді қабылдайтын шаманы айтамыз.

Анықтама: Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы деп оның қабылдай алатын мүмкін мәндері мен ықтималдықтарының арасындағы сәйкестікті айтамыз. Оны кестелік түрде, аналитикалық (формула түрінде) және графиктік түрде беруге болады. Дискретті кездейсоқ шаманың таралу заңы кестелік түрде берілсе бірінші жолға мүмкін мәндері, екінші жолға олардың сәйкес ықтималдықтары жазылады:

Х	х1	х2	...	xn
Р	р1	р2	...	рn

Нормалдау шарты: .

2-Мысал: Ақшалы ұтысқа 100 билет шығарылды. 50 теңгеден 1 ұтыс билеті және 10 теңгеден 10 ұтыс билеттері бар. 1 билет иесі үшін мүмкін болатын ұтыстың құны – Х кездейсоқ шаманың таралу заңын табыңыз.

Шешуі: х-тің мүмкін мәндері: х₁=50, х₂ =1, х₃ =0. Осы мүмкін мәндердің ықтималдығы мынадай: р₁ =0,01; р₂ =0,1,р₃ =1-(р₁+р₂)=0,89.

Осыған сәйкес таралу заңдылығын жазамыз:

Х	50	10	0
Р	0,01	0,1	0,89

Тексеру: 0,01+0,1+0,89=1.
Дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтімі.

Анықтама: Х кездейсоқ шамасының қабылдай алатын барлық мүмкін мәндерімен оның сәйкес ықтималдықтарының көбейтінділерінің қосындысы дискретті кездейсоқ шаманың математикалық күтімі деп аталады.

Айталық, Х кездейсоқ шамасы х₁, х₂, ..., х_n мәндерін қабылдай алатын болсын, олардың сәйкес ықтималдықтары р₁, р₂, ..., р_n тең болсын. Онда Х кездейсоқ шамасының математикалық күтімі былай анықталады:

М(х)=х₁р₁+х₂р₂+...+х_nр_n.

Егер Х дискретті кездейсоқ шамасы санаулы жиынның мүмкін мәндерін қабылдаса, онда (1)

Бұл жерде математикалық күтімі болады, егер қатардың оң жағы абсолютті жинақталса.

4-мысал: Таралу заңдылығын біле отырып, Х кездейсоқ шамасының математикалық күтімін табыңыз:

Х	3	5	2
Р	0,1	0,6	0,3

Шешуі: Кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндерін оның сәйкес ықтималдықтарына көбейтіп, қосамыз: .
Математикалық күтімнің қасиеттері

1. Тұрақты шаманың математикалық күтімі өзіне тең, яғни С тұрақты болса: М(С)=C.

2. Тұрақты көбейткішті математикалық күтімнің алдына шығаруға болады: М(СХ)=СМ(Х).

3. Егер кездейсоқ шамалар тәуелсіз болса, онда көбейтіндінің математикалық күтімі көбейткіштердің математикалық күтімдерінің көбейтіндісіне тең:

4. Екі кездейсоқ шаманың қосындысының математикалық күтімі, қосылғаштардың математикалық күтімдерінің қосындысына тең: М(Х+У)=М(Х)+М(У).
5-мысал: Тәуелсіз Х,У кездейсоқ шамалары мынадай таралу заңымен берілген:

Х	5	2	4	...	У	7	9
Р	0,6	0,1	0,3	...	Р	0,8	0,2

Х, У кездейсоқ шамаларының қосындысының математикалық күтімін табыңыз.

Шешуі: Әрбір кездейсоқ шаманың математикалық күтімін табамыз:



Теорема: n тәуелсіз сынақта А оқиғасының пайда болу санының математикалық күтімі: осы сынақтардың санын әр сынақта пайда болатын оқиғалар ықтималдықтарына көбейткенге тең:

.
Кездейсоқ шаманың оның математикалық күтімінен ауытқуы

Х-кездейсоқ шама және М(Х)- оның математикалық күтімі болсын. Жаңа кездейсоқ шама ретінде Х-М(Х) айырымын қарастырамыз.

Анықтама: Кездейсоқ шама мен оның математикалық күтімінің айырымы ауытқу деп аталады.

Ауытқу мынадай таралу заңымен беріледі:

Х-М(Х)	Х1-М(Х)	Х2-М(Х)	...	Хn-М(Х)
Р	Р1	Р2	...	Рn

Теорема: Ауытқудың математикалық күтімі 0-ге тең:

.

6-мысал: Х дискретті кездейсоқ шамасы мынадай таралу заңымен берілген:

Х	1	2
Р	0,2	0,8

Ауытқудың математикалық күтімі 0-ге тең екендігін дәлелдеу керек.

Шешуі: Х кездейсоқ шамасының математикалық күтімін табамыз:

.

Ауытқудың мүмкiн мәндерiн табу үшiн Х-тің мүмкін мәндерінен математикалық күтімді аламыз: М(х): 1-1,8=-0,8; 2-1,8=0,2.

Ауытқудың таралу заңдылығын жазамыз:

Х-М(х)	-0,8	0,2
Р	0,2	0,8

Ауытқудың математикалық күтімін табамыз:



Практикада кездейсоқ шаманың оның орта мәні маңайындағы мүмкін болатын мәндерінің таралуын бағалау керек болады.

Анықтама: Дискретті кездейсоқ шаманың дисперсиясы (шашылуы) деп кездейсоқ шаманың математикалық күтімінен ауытқуының квадратының математикалық күтімін айтамыз

(2)

Мысал 7. Мынадай таралу заңымен берілген Х кездейсоқ шамасының дисперсиясын табу керек:

Х	1	2	5
Р	0,3	0,5	0,2

Шешуі: Алдымен математикалық күтімін табамыз:

.

Ауытқудың квадратының барлық мүмкін мәндерін табамыз:



Ауытқудың квадратының таралу заңын жазамыз:

[Х-М(х)]2	1,69	0,09	7,29
Р	0,3	0,5	0,2

Анықтама бойынша: .

Теорема: Дисперсия Х кездейсоқ шамасының квадратының математикалық күтімі мен математикалық күтімнің квадратының айырымына тең:

(3)

8-мысал: Таралу заңымен берілген, Х кездейсоқ шамасының дисперсиясын табу керек:

Х	2	3	5
Р	0,1	0,6	0,3

Шешуі: Математикалық күтімді М(х) табамыз.



Х² кездейсоқ шамасының таралу заңдылығын жазамыз:

Х2	4	9	25
Р	0,1	0,6	0,3

М(Х²) –тың математикалық күтімін табамыз:



Онда, іздеп отырған дисперсиямыз: .
Дисперсияның қасиеттері

1. С тұрақты шамасының дисперсиясы 0-ге тең: D(С)=0.

2. Тұрақты көбейткішті дисперсия таңбасының алдына квадраттап шығаруға болады

3. Егер кездейсоқ шамалар тәуелсіз болса, онда қосындының (айырманың) дисперсиясы дисперсиялардың қосындысына тең:
Орта квадраттық ауытқу

Кездейсоқ шаманың орта мәнінің маңайындағы мүмкін болатын мәндердің шашылуын бағалау үшін сипаттамалар да қарастырылады. Оған орта квадраттық ауытқу жатады.

Анықтама: Х кездейсоқ шамасының орта квадраттық ауытқуы деп дисперсияның квадрат түбірін айтамыз:

.

Мысал 9. Х кездейсоқ шамасы мынадай таралу заңымен берілген:

Х	2	3	10
Р	0,1	0,4	0,5

орта квадраттық ауытқуын табу керек.

Шешуі: Алдымен Х-тің математикалық күтімін табамыз:

.

Одан кейін Х²-тің математикалық күтімін табамыз:

.

Дисперсия табамыз:

Сонда орта квадраттық ауытқуы .

Теорема: Өзара тәуелсіз кездейсоқ шамалардың ақырлы санының қосындыларының орта квадратық ауытқуы осы шамалардың орта квадраттық ауытқуларының квадраттарының қосындысынан квадрат түбір алғанға тең.

(4)

Таралу функциясы

Х кездейсоқ шамасының сан осінде х-тің сол жағында жататын мәндерді қабылдайтын ықтималдықты анықтайтын функциясын таралу функциясы деп атайды, яғни

. (5)

Кейде “Таралу функциясы” (терминінің) орнына “Интегралдық функция” деген термин де қолданылады.
Таралу функциясының қасиеттері

1. Таралу функциясының мәндері [0; 1] аралығында жатады; .

2. F(x)-кемімейтін функция, егер х₂>x₁ болса, онда , теңсіздігі орындалады.

Салдар 1: Х кездейсоқ шамасы (a,в) аралығында жататын мәндерді қабылдау ықтималдығы таралу функциясының осы аралықтағы өсімшесіне тең, яғни

(6)

Мысал 10: Х кездейсоқ шамасының таралу функциясы



Сынау нәтижесіндеХ – тің (0; 2) аралығында жататын мәндерді қабылдау ықтималдығын табу керек.

Шешуі: (0;2) интервалында шарт бойынша , онда . Олай болса,

Салдар 2: Үздіксіз Х кездейсоқ шамасының анықталған бір ғана мәнге ие болу ықтималдығы 0-ге тең.

Салдар 3: Егер кездейсоқ шаманың мүмкін мәндері (а; в) аралығында жатса, онда

1) , егер х≤ а ;

2) егер

Келесі шектік қатынастар орындалады:

; .

Таралу функциясының графигі

Таралу функциясының графигі у=0, у=1 (1-ші қасиеті) түзүлерімен шектелген жолақта орналасқан. X (a; b) интервалында өскенде, кездейсоқ шаманың барлық мүмкін мәндерінің графигi ‘’жоғары көтерiледi’’. Егер болса, графиктің ординатасы 0-ге тең; егер болса, графиктің ординатасы 1-ге тең.



F(x)





a 0 b
1 сурет.

11-мысал: Х дискретті кездейсоқ шамасы таралу кестесімен берілсін:

Х	1	4	8
Р	0,3	0,1	0,6

Таралу функциясын табыңыз және графигін салыңыз.

Шешуі: Таралу функциясы аналитикалық түрде былай жазылады.