Примеры-решения-задач-Комплексные_числа. Комплексные числа I. Комплексные числа в алгебраической форме
 Скачать 180.69 Kb.
|
|
Комплексные числа I. Комплексные числа в алгебраической форме. Определение 1. Комплексным числом называется выражение вида iy x z + = , где x и y – действительные числа, число i называется мнимой единицей: 1 2 − = i . Числа x и y на- зываются соответственно действительной и мнимой частями комплексного числа z и обозначаются x=Re z, y=Im z. 1) Изображение комплексного числа на плоскости. Комплексное число изображается на плоскости XY O либо точкой М, имеющей коорди- наты (x,y), либо вектором с началом в точке О(0;0) и концом в точке М(x,y). Такую плоскость называют комплексной, ось ОХ – действительной (или вещественной) осью, а ось OY – мнимой осью. Пример 1. Изобразить на комплексной плоскости числа : i z z i z i z − = − = + = − = 4 3 2 1 ; 4 ; 3 1 ; 2 2 Решение. ; 2 ; 2 2 2 1 1 1 − = = ⇔ − = y x i z ; 3 ; 1 3 1 2 2 2 = = ⇔ + = y x i z ; 0 ; 4 4 3 3 3 = − = ⇔ − = y x z ; 1 ; 0 4 4 4 − = = ⇔ − = y x i z 2) Арифметические операции над комплексными числами в алгебраической форме . а ) Сложение, вычитание и умножение комплексных чисел в алгебраической фор- ме . Определение 2. Суммой (разностью) комплексных чисел называется комплексное чис- ло ) y y ( i ) x x ( ) iy x ( ) iy x ( z z z 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 ± + ± = + ± + = ± = ; Произведением комплексных чисел называется комплексное число ) y x y x ( i ) y y x x ( ) iy x ( ) iy x ( z z z 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 + + − = + ⋅ + = ⋅ = ; Пример 2. Вычислить: ); 3 1 ( ) 2 2 ( i i + + − ); 2 5 ( ) 1 ( i i − − + ); 3 1 ( ) 2 2 ( i i + ⋅ − ) 2 5 ( ) 1 ( i i − ⋅ + Решение. ; 3 ) 3 2 ( ) 1 2 ( ) 3 1 ( ) 2 2 ( i i i i + = + − + + = + + − ; 3 4 )) 2 ( 1 ( ) 5 1 ( ) 2 5 ( ) 1 ( i i i i + − = − − + − = − − + ; 4 8 ) 2 6 ( ) 6 2 ( ) 1 ( ) 6 ( 2 6 2 3 ) 2 ( 1 ) 2 ( 3 2 1 2 ) 3 1 ( ) 2 2 ( 2 i i i i i i i i i + = − + + = − ⋅ − + − + = ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ − + ⋅ + ⋅ = + ⋅ − ; 3 7 ) 5 2 ( ) 2 5 ( ) 1 ( ) 2 ( 5 2 5 ) 2 ( 1 5 1 ) 2 ( 1 5 1 ) 2 5 ( ) 1 ( 2 i i i i i i i i i + = + − + + = − ⋅ − + + − = ⋅ − ⋅ + ⋅ ⋅ + − ⋅ + ⋅ = − ⋅ + Ответ: i i i i 3 7 ; 4 8 ; 3 4 ; 3 + + + − + б ) Комплексно-сопряженные числа Определение 3. Число iy x z − = называется сопряженным числу iy x z + = Пример3. Найти числа, сопряженные числам i i 2 5 ; 3 1 − + Решение. ; 3 ; 3 ; 1 3 1 1 1 1 1 − = − ⇔ = = ⇔ + = y y x i z значит, i z 3 1 1 − = ; ; 2 ; 2 ; 5 2 5 2 2 2 2 = − ⇔ − = = ⇔ − = y y x i z значит, i z 2 5 2 + = Ответ: ; 2 5 ; 3 1 i i + − Пример4. Доказать,что если z z = , то z- действительное число. Решение. x z i x z y R x y y x x iy x iy x z z iy x z iy x z = ⇔ + = ⇔ = ∈ ⇔ − = = ⇔ − = + ⇔ = − = + = 0 0 Мнимая часть комплексного числа z равна 0, значит, z- действительное число. Пример5. Показать,что z i z z z z z Im 2 ; Re 2 = − = + Решение. z x i x i y y x x iy x iy x z z iy x z iy x z Re 2 2 0 2 ) ( ) ( ) ( ) ( = = + = − + + = − + + = + ⇔ − = + = ; z i yi yi x i y y x x iy x iy x z z iy x z iy x z Im 2 2 2 0 )) ( ( ) ( ) ( ) ( = = + = − − + − = − − + = − ⇔ − = + = в ) Деление комплексных чисел в алгебраической форме. Определение 4. Отношением комплексных чисел называется комплексное число i y x y x y x y x y y x x z z z z z z z 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 + − + + + = = = Пример 6. Вычислить : i i i i 2 5 1 ; 3 1 2 2 − + + − Решение. i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i 29 7 29 3 29 7 3 ) 1 ( 4 25 7 ) 2 5 ( 4 25 2 5 2 5 ) 2 5 ( ) 2 5 ( ) 2 5 ( ) 1 ( 2 5 1 ; 5 4 5 2 10 8 10 4 10 8 4 ) 1 ( 9 1 8 ) 6 2 ( 9 1 6 2 6 2 ) 3 1 ( ) 3 1 ( ) 3 1 ( ) 2 2 ( 3 1 2 2 2 2 2 2 + = + = − ⋅ − + − = − + + + = + ⋅ − + ⋅ + = − + − − = − − = − − = − ⋅ − − − = − + − − = − ⋅ + − ⋅ − = + − Ответ: i i 29 7 29 3 ; 5 4 5 2 + − − Пример 7. Вычислить : 3 2 3 i i z − + = ; найти Re z; Im z. Решение. 7 5 Im ; 7 3 Re ; 7 5 7 3 7 5 3 3 4 ) 2 3 ( ) 3 3 2 ( 3 3 4 3 2 3 3 3 2 ) 3 2 ( ) 3 2 ( ) 3 2 ( ) 3 ( 3 2 3 2 2 = = + = + = + + + − = ⋅ − + + ⋅ + = + ⋅ − + ⋅ + = − + = z z i i i i i i i i i i i i i z Ответ: 7 5 Im ; 7 3 Re ; 7 5 7 3 = = + z z i II. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа. 1) Переход от алгебраической формы записи комплексного числа в тригономет- рическую и показательную. Тригонометрическая форма комплексного числа iy x z + = имеет вид ) sin (cos ϕ ϕ i r z + = , где 2 2 y x z r + = = - модуль комплексного числа; φ-главное значение его аргумента, находится в пределах π ϕ π ≤ < − и вычисляется по формулам : < = − > = < < + − ≥ < + > = = 0 , 0 , 2 0 , 0 , 2 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , y x y x y x x y arctg y x x y arctg x x y arctg Argz π π π π ϕ ;. Показательная форма комплексного числа iy x z + = имеет вид ϕ i e z z = Пример 8. Представить в тригонометрической и показательной формах комплексные числа : 5 ; 2 ; 3 1 ; 3 ; 1 5 4 3 2 1 − = = + − = − − = + = z i z i z i z i z Решение. = = = = + = ⇔ > = > = ⇔ + = 4 1 1 1 2 1 1 ) 0 ( 1 ) 0 ( 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 π ϕ arctg arctg z y y x x i z ; таким образом, ) 4 sin 4 (cos 2 1 π π i z + = - тригонометрическая форма числа z 1 ; i e z 4 1 2 π = - показательная форма числа z 1 ; π − = π + π − = + π − = − − + π − = ϕ = = + = − + − = ⇔ ⇔ < − = < − = ⇔ − − = 6 5 6 3 1 3 1 2 4 1 3 1 3 0 1 0 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) ( arctg arctg ) ( ) ( z ) y ( y ) x ( x i z ; )) sin( i ) (cos( z 6 5 6 5 2 2 π − + π − = - тригонометрическая форма числа z 2 ; i e z 6 5 2 2 π − = - показательная форма числа z 2 ; ⇔ = − = − = − + = = = + = + + − = ⇔ ⇔ > = < − = ⇔ + − = 3 2 3 ) 3 ( 1 3 2 4 3 1 ) 3 ( ) 1 ( ) 0 ( 3 ) 0 ( 1 3 1 3 2 2 3 3 3 3 3 3 π π π π π ϕ arctg arctg z y y x x i z i e i z 3 2 3 2 ) 3 2 sin 3 2 (cos 2 π π π = + = ⇔ ; ⇔ = = + = ⇔ > = = ⇔ = 2 2 2 0 ) 0 ( 2 0 2 4 2 2 4 4 4 4 4 π ϕ z y y x i z i e i z 2 4 2 ) 2 sin 2 (cos 2 π π π = + = ; ⇔ = + = − + = = + − = ⇔ = < − = ⇔ − = π π π ϕ 0 5 0 5 0 ) 5 ( 0 ) 0 ( 5 5 5 2 2 5 5 5 5 5 arctg arctg z y x x z i e i z π π π 5 ) sin (cos 5 5 = + = ⇔ Ответ: ; 2 ) 4 sin 4 (cos 2 1 4 i e i i π π π = + = + ; 2 )) 6 5 sin( ) 6 5 (cos( 2 3 6 5 i e i i π π π − = − + − = − − i e i i 3 2 2 ) 3 2 sin 3 2 (cos 2 3 1 π π π = + = + − ; i e i i 2 2 ) 2 sin 2 (cos 2 2 π π π = + = ; i e i π π π 5 ) sin (cos 5 5 = + = − Пример 9. Пусть ϕ ϕ ϕ i e z i z z = + = ) sin (cos . Найти z Решение. ϕ ϕ ϕ i e z i z iy x z = + = + = ) sin (cos ; 1 1 1 1 1 ) sin (cos ϕ ϕ ϕ i e z i z iy x z = + = − = ; z y x y x z = + = − + = 2 2 2 2 1 ) ( ; ϕ ϕ − = − = − = ) ( ) ( 1 x y arctg x y arctg ; Таким образом, ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ i e z i z i z i z z − = − = − + − = + = ) sin (cos )) sin( ) (cos( ) sin (cos 1 1 1 Ответ: ϕ i e z z − = 2) Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической и показа- тельной формах. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической и показательной формах производится по формулам : i e z z i z z z z ) ( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 )) sin( ) (cos( ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ + ⋅ = + + + ⋅ = ; i e z z i z z z z ) ( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 )) sin( ) (cos( ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − = − + − = Пример 10. Вычислить (в тригонометрической и показательной формах) : i i i i i i 2 3 1 ; 3 1 3 ; 3 1 + − + − − − − − + Решение. ) 4 sin 4 (cos 2 1 π π i i + = + ; )) 6 5 sin( ) 6 5 (cos( 2 3 π π − + − = − − i i (см пример 8), поэтому ) 12 13 sin 12 13 (cos 2 2 )) 6 5 4 sin( )) 6 5 4 (cos( 2 2 ))) 6 5 ( 4 sin( )) 6 5 ( 4 (cos( 2 2 )) 6 5 sin( ) 6 5 (cos( 2 ) 4 sin 4 (cos 2 3 1 π π π π π π π π π π π π π π i i i i i i i + = + + + = − − + − − = − + − + = − − + Так как значение аргумента находится вне интервала π ϕ π ≤ < − ( π π ϕ > = 12 13 ), а пе- риод тригонометрических функций синус и косинус равен π 2 , то 12 11 cos ) 2 12 13 cos( 12 13 cos π π π π − = − = ; аналогично 12 11 sin 12 13 sin π π − = Окончательно получаем i e ) sin i (cos i i 12 11 2 2 12 11 12 11 2 2 3 1 π − = π − + π − = − − + Аналогично, так как ) 3 2 sin 3 2 (cos 2 3 1 π π i i + = + − , 1 0 2 sin 2 cos ) 2 2 3 sin( ) 2 2 3 cos( 2 3 sin 2 3 cos ) 6 9 sin( )) 6 9 cos( )) 3 2 6 5 sin( ) 3 2 6 5 (cos( 2 2 ) 3 2 sin 3 2 (cos 2 )) 6 5 sin( ) 6 5 (cos( 2 3 1 3 i i i i i i i i i i i = + = + = = + − + + − = − + − = − + − = − − + − − = + − + − = + − − − π π π π π π π π π π π π π π π π π π Подобные преобразования выполним и в последнем примере: 2 1 2 3 ) 6 sin( )) 6 cos( )) 2 3 2 sin( ) 2 3 2 (cos( 2 2 ) 2 sin 2 (cos 2 ) 3 2 sin 3 2 (cos 2 2 3 1 i i i i i i i + = + = − + − = + + = + − π π π π π π π π π π Ответ: i e i i i 12 11 2 2 ) 12 11 sin 12 11 (cos 2 2 3 1 π π π − = − + − = − − + ; ; 3 1 3 i i i = + − − − 2 1 2 3 2 3 1 i i i + = + − 3) Возведение комплексных чисел в степень. Формула Муавра. При возведении комплексного числа в степень удобно пользоваться формулой Муав- ра: ) sin( ) cos( ) sin (cos ϕ ϕ ϕ ϕ n i n i n + = + Тогда степень n числа z вычисляется по формуле )) n sin( i ) n (cos( z e z ) e z ( z n in n n i n ϕ ϕ ϕ ϕ + = = = Пример 11. Вычислить : 10 50 5 3 1 ; ) 3 1 ( ; ) 3 ( − − + + − − − i i i i Решение. Так как )) 6 5 sin( ) 6 5 (cos( 2 3 π π − + − = − − i i (см пример8), то ( ) i i i i i i i 16 3 16 ) 2 1 2 3 ( 32 )) 6 sin( ) 6 (cos( 32 )) 2 2 6 25 sin( ) 2 2 6 25 (cos( 32 )) 6 25 sin( ) 6 25 (cos( 32 )) 6 5 ( 5 sin ) 6 5 ( 5 (cos 2 3 5 5 − = − = − + − = ⋅ + − + ⋅ + − = − + − = − ⋅ + − ⋅ = − − π π π π π π π π π π Аналогично, ) 3 2 sin 3 2 (cos 2 3 1 π π i i + = + − , поэтому 2 3 2 ) 2 3 2 1 ( 2 )) 3 2 sin( ) 3 2 (cos( 2 )) 3 2 sin( ) 3 2 (cos( 2 )) 17 2 3 100 sin( ) 17 2 3 100 (cos( 2 ) 3 100 sin 3 100 (cos 2 )) 50 3 2 sin( ) 50 3 2 (cos( 2 ) 3 1 ( 49 49 50 50 50 50 50 50 50 i i i i i i i i ⋅ + − = + − = − + − = − + − = ⋅ − + ⋅ − = = + = ⋅ + ⋅ = + − π π π π π π π π π π π π В примере 8 мы получили следующий результат: i e i i i 12 11 2 2 ) 12 11 sin 12 11 (cos 2 2 3 1 π π π − = − + − = − − + , возведем данное число в 10 степень: 2 2 3 ) 2 1 2 3 ( 2 ) 6 5 sin 6 5 (cos 2 2 ) 12 130 sin 12 130 (cos 2 ) 2 ( ) 12 13 sin 12 13 (cos 2 2 3 1 6 6 5 10 5 10 10 10 10 i i i i i i i − − − + ⋅ − = + − = + = = + = + = − − + π π π π π π Ответ: ( ) ; 16 3 16 3 5 i i − = − − ; 2 3 2 ) 3 1 ( 49 49 50 i i ⋅ + − = + − i i i 6 6 10 2 2 3 3 1 − − + ⋅ − = − − + 4) Извлечение корня из комплексного числа. Извлечение корня– операция, обратная возведению числа в степень. Определение 5. Комплексное число ω называется корнем n-ой степени из комплекс- ного числа z, если z n = ω Корни n-ой степени из комплексного числа вычисляются по формуле ) n k sin i n k (cos z z n n π ϕ π ϕ 2 2 + + + = , где k=0;1;2…(n-1). Таким образом, n z имеет ровно n различных значений, образующих на комплексной плоскости правильный n-угольник, вписанный в окружность радиуса n z с центром в начале координат. Пример 12. Вычислить : 4 3 16 ; 1 − + i Изобразить все комплексные корни на плоскости. Решение. Так как ) 4 sin 4 (cos 2 1 π π i i + = + (см пример 8), то 2 , 1 , 0 , 3 2 4 sin 3 2 4 cos 2 ) 4 sin 4 (cos 2 ( 1 3 3 3 = + + + = + = + k k i k i i π π π π π π Мы получили 3 различных значения корня : ; 12 sin 12 cos 2 3 0 2 4 sin 3 0 2 4 cos 2 ; 0 6 6 0 + = ⋅ + + ⋅ + = = π π π π π π i i z k ; 12 9 sin 12 9 cos 2 3 1 2 4 sin 3 1 2 4 cos 2 ; 1 6 6 1 + = ⋅ + + ⋅ + = = π π π π π π i i z k 12 7 sin 12 7 cos 2 ) 2 12 17 sin( ) 2 12 17 cos( 2 12 17 sin 12 17 cos 2 3 2 2 4 sin 3 2 2 4 cos 2 ; 2 6 6 6 6 2 − + − = − + − = = + = ⋅ + + ⋅ + = = π π π π π π π π π π π π i i i i z k Аналогично, ) sin (cos 16 16 π π i + = − . Вычислим корни из этого числа. 3 , 2 , 1 , 0 , 4 2 sin 4 2 cos 16 16 4 4 = + + + = − k k i k π π π π Вычислим все 4 комплексных корня: ; 2 2 ) 2 2 2 2 ( 2 4 sin 4 cos 2 4 0 2 sin 4 0 2 cos 2 ; 0 0 i i i i z k + = + = + = ⋅ + + ⋅ + = = π π π π π π ; 2 2 ) 2 2 2 2 ( 2 4 3 sin 4 3 cos 2 4 1 2 sin 4 1 2 cos 2 ; 1 1 i i i i z k + − = + − = + = ⋅ + + ⋅ + = = π π π π π π ; 2 2 ) 2 2 2 2 ( 2 4 5 sin 4 5 cos 2 4 2 2 sin 4 2 2 cos 2 ; 2 2 i i i i z k − − = − + − = + = ⋅ + + ⋅ + = = π π π π π π ; 2 2 ) 2 2 2 2 ( 2 4 7 sin 4 7 cos 2 4 3 2 sin 4 3 2 cos 2 ; 3 3 i i i i z k − = − = + = ⋅ + + ⋅ + = = π π π π π π Ответ: } , , { 1 2 1 0 3 z z z i = + , где ; 12 sin 12 cos 2 6 0 + = π π i z ; 12 9 sin 12 9 cos 2 6 1 + = π π i z ; 12 7 sin 12 7 cos 2 6 2 − + − = π π i z } , , , { 16 3 2 1 0 4 z z z z = − , где ; 2 2 0 i z + = ; 2 2 1 i z + − = ; 2 2 2 i z − − = ; 2 2 3 i z − = III. Отыскание комплексных корней алгебраических уравнений. Пример 13. Решить уравнение 0 1 2 4 2 = + − z z Решение. Данное уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант и корни: ( ) ; 12 12 12 16 4 4 4 ) 2 ( 4 2 2 2 2 i i ac b D ⋅ = ⋅ = − = − = ⋅ − − = − = ( ) 4 3 4 1 8 12 2 4 2 12 ) 2 ( 2 2 2 , 1 i i i a D b z ± = ⋅ ± = ⋅ ⋅ ± − − = ± − = Ответ: 4 3 4 1 ; 4 3 4 1 2 1 i z i z − = + = Пример 14. Решить уравнение 0 5 ) 3 2 ( 2 = − + − + i z i z Решение. Данное уравнение также является квадратным. Его коэффициентами являются ком- плексные числа. Найдем дискриминант этого уравнения, используя арифметические действия над комплексными числами в алгебраической форме (см п.I.2) : ; ) ( 8 15 4 20 9 12 4 ) 5 ( 4 ) 3 2 ( 4 2 2 2 2 iy x i i i i i i ac b D + = − − = + − + − = − ⋅ − − = − = Действительную и мнимую части дискриминанта найдем, используя формулу квадрата суммы: i xy y x y i xyi x iy x ) 2 ( ) ( 2 ) ( 2 2 2 2 2 2 + − = + + = + Два комплексных числа равны, когда равны их действительные и мнимые части. При- равнивая их, получаем систему для нахождения x и y: − = − = − 8 2 15 2 2 xy y x Решим данную систему. − = = = − = ⇔ − = − = = ⇔ − = = ⇔ − = − = = ⇔ − = = − − ⇔ − = − = − − ⇔ − = − = − 4 1 4 1 4 4 4 4 16 4 1 16 4 0 16 15 4 15 4 8 2 15 2 2 2 2 4 2 2 2 2 y x y x y x y y y x y y x y y y x y y y y x y y xy y x Оба полученных комплексных числа (1-4i) и (-1+4i) в квадрате равны числу (-15-8i), то есть дискриминанту. Тогда корни квадратного уравнения равны ( ) 2 ) 4 1 ( 3 2 1 2 4 1 ) 3 2 ( 2 2 2 , 1 i i i i a D b z − ± + − = ⋅ − ± − − = ± − = ; i i i i z i i i i z + = + = − − + − = − = − = − + + − = 1 2 2 2 2 ) 4 1 ( 3 2 ; 3 2 2 6 4 2 ) 4 1 ( 3 2 2 1 Ответ: i z i z + = − = 1 ; 3 2 2 1 Пример 15. Решить уравнение 0 1 3 = + z Решение. 3 3 3 1 1 0 1 − = ⇔ − = ⇔ = + z z z Таким образом, корнями исходного уравнения являются корни кубические из ком- плексного числа –1.Найдем эти корни по формулам извлечения корней n-ой степени из комплексного числа ) 2 sin 2 (cos n k i n k z z n n π ϕ π ϕ + + + = , ( k=0;1;2…(n-1)) (см п.ІІ.4),предварительно переведя число -1 из алгебраической формы в тригонометриче- скую: π π sin cos 1 i + = − 2 , 1 , 0 ), 3 2 sin 3 2 (cos 1 1 3 3 = + + + = − k k i k π π π π ) 0 ( 2 3 2 1 3 sin 3 cos ) 3 0 2 sin 3 0 2 (cos 1 3 0 = + = + = + + + = k i i i z π π π π π π ; ) 1 ( 1 0 1 sin cos ) 3 2 sin 3 2 (cos 1 3 1 = − = + − = + = + + + = k i i i z π π π π π π ; ) 2 ( 2 3 2 1 3 sin 3 cos 3 5 sin 3 5 cos ) 3 4 sin 3 4 (cos 1 3 2 = − = − + − = + = + + + = k i i i i z π π π π π π π π Ответ: i z z i z 2 3 2 1 ; 1 ; 2 3 2 1 2 1 0 − = − = + = Пример 16. Решить уравнение 0 16 15 4 8 = − + z z Решение. Сделав замену 4 z t = , получим квадратное уравнение 0 16 15 2 = − + t t . Его корни 1 ; 16 2 1 = − = t t . Делаем обратную подстановку и решаем полученную совокупность уравнений: = − = ⇔ = − = 4 2 4 1 4 2 4 1 1 16 1 16 z z z z . Корни уравнения 4 1 16 − = z мы вычисляли в примере 12 (см п.ІІ.4 ), найдем корни уравнения 4 2 1 = z 0 sin 0 cos 1 i + = - тригонометрическая форма числа 1. 3 , 2 , 1 , 0 , 2 sin 2 cos ) 4 2 0 sin 4 2 0 (cos 1 1 4 4 = + = + + + = k k i k k i k π π π π ) 0 ( 1 0 1 0 sin 0 cos 4 0 2 sin 4 0 2 cos 02 = = + = + = + = k i i i z π π ; ) 1 ( 1 0 2 sin 2 cos 4 2 sin 4 2 cos 12 = = + = + = + = k i i i i z π π π π ; ) 2 ( 1 0 1 sin cos 4 4 sin 4 4 cos 22 = − = + − = + = + = k i i i z π π π π ; ) 3 ( 1 0 2 sin 2 cos 4 6 sin 4 6 cos 32 = − = − = − + − = + = k i i i i z π π π π Ответ: ; 2 2 i + ; 2 2 i + − ; 2 2 i − − ; 2 2 i − ; 1 ; ; 1 i i − − |