Конспект лекций ПТГ Жилисбаева. Конспект лекций прикладная теория гироскопов
 Скачать 2.5 Mb.
|
|
КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПРИКЛАДНАЯ ТЕОРИЯ ГИРОСКОПОВ Жилисбаева Карлыга Сансызбаевна Доктор физико-математических наук,профессор Тел: + 7 777 513 79 25 e-mail: k.zhilisbayeva@aues.kz ГИРОСКОП, навигационный прибор, основным элементом которого является быстро вращающийся ротор, закрепленный так, что ось его вращения может поворачиваться. Три степени свободы (оси возможного вращения) ротора гироскопа обеспечиваются двумя рамками карданова подвеса. Если на такое устройство не действуют внешние возмущения, то ось собственного вращения ротора сохраняет постоянное направление в пространстве. Если же на него действует момент внешней силы, стремящийся повернуть ось собственного вращения, то она начинает вращаться не вокруг направления момента, а вокруг оси, перпендикулярной ему (прецессия). Л. 1 Гироскоп и гироскопические явления. Основы геометрии масс. Осевые и центробежные моменты инерции. Моменты инерции некоторых однородных твердых тел. Эллипсоид инерции. Главные оси инерции и их свойства. ------------------------------------------------------------------------------ Гироскоп чаще всего применяется как чувствительный элемент указывающих гироскопических приборов и как датчик угла поворота или угловой скорости для устройств автоматического управления. В некоторых случаях, например в гиростабилизаторах, гироскопы используются как генераторы момента силы или энергии. Основные области применения гироскопов – судоходство, авиация и космонавтика Основы геометрии масс Моменты инерции относительно плоскостей: Полярный момент инерции: Свойства моментов инерции Теорема Гюйгенса-Штейнера Эллипсоид инерции Свойства главных осей инерции: Л. 2 Динамика твердого тела с одной неподвижной точкой. Углы Эйлера. Компоненты угловой скорости. Основные динамические величины твердого тела. Кинематические и динамические уравнения Эйлера. Случаи Эйлера, Лагранжа и С.В. Ковалевской. -------------------------------------------------------------------------------- Углы Эйлера угол собственного вращения угол прецессии угол нутации Произвольная подвижная Подвижная система координат - система координат главные оси инерции тела Кинетическая энергия Произвольная подвижная система координат Подвижная система координат - главные оси инерции тела Кинетический момент относительно неподвижной точки Динамические уравнения Эйлера Кинематические уравнения Эйлера A > B > C , центр тяжести совпадает с неподвижной точкой A = B ≠ C , центр тяжести лежит на оси симметрии тела A = B = 2C , центр тяжести лежит в экваториальной плоскости эллипсоида инерции Теория конечных поворотов и кватернионыЛ. 3 Теория конечных поворотов. Параметры Родрига-Гамильтона. Таблица косинусов углов между осями систем координат. Сложение поворотов твердого тела. -------------------------------------------------------------------------------- Рассмотрим поворот абсолютного твердого тела на произвольный угол φ вокруг некоторой также произвольной оси d. Такой поворот называется конечным. Свяжем с телом какой-нибудь трехгранник abc, вершина которого расположена на оси d конечного поворота тела. Пусть ξης - исходное положение этого трехгранника, а xyz – его положение после того, как поворот тела завершен (Рис. 1). Зададим направляющие косинусы: Положение системы координат xyz по отношению к системе ξης можно определить также посредством таблицы косинусов углов между осями этих систем: Рис. 1. Введем вспомогательную систему координат (Рис. 2) и таблицу направляющих косинусов между осями этих систем координат: Рис. 2. Параметры Родрига-Гамильтона Таблица косинусов через параметры Родрига-Гамильтона Л. 4 Кватернионы. Приложение кватернионов в теории конечных элементов. Правила умножения кватернионов. Равенство кватернионов. Сопряженные кватернионы. Кватернионные уравнения. -------------------------------------------------------------------------------- Основные уравнения теории гироскоповЛ. 5 Классификация гироскопов. Основы кинематики гироскопа. Степени свободы и кинематические характеристики. Увлекаемая (сопутствующая система) координат. Углы Эйлера-Крылова. Модифицированные уравнения движения Эйлера. Гироскопические уравнения. Астатическая система координат. Уравнения Булгакова. -------------------------------------------------------------------------------- Основным элементом большинства гироскопических устройств, нашедших практическое применение, является быстро вращающееся тело – волчок, ротор или собственно гироскоп. Модель абсолютного твердого тела вполне приемлема для описания движения таких тел. Поэтому уравнения движения абсолютного твердого тела являются исходными для построения теории гироскопических устройств. Для исследования движения гироскопов используем модель абсолютного твердого тела с одной неподвижной точкой, а исходными будут динамические и кинематические уравнения Эйлера. Углы Эйлера-Крылова Сопутствующая система координат Проекции угловой скорости твердого тела на связанные с ним оси xyz, выраженные через углы Эйлера-Крылова и их производные по времени, представляются формулами: Гироскопические уравнения: Собственный кинетический момент: Эти уравнения записаны в проекциях на подвижные оси, но описывают движения на неподвижные оси. Это есть произведение момента инерции тела С и угловой скорости ротора гироскопа по отношению к вспомогательной подвижной системе координат Уравнения Булгакова: Л. 6 Тяжелый волчок. Симмеричный ротор. Прецессионные уравнения теории гироскопов. Особенности движения оси ротора гироскопа. Отличие уравнений приближенной теории гироскопов от прецессионных уравнений. Отличие прецессионных уравнений от модифицированных уравнений Эйлера. -------------------------------------------------------------------------------- Запишем модифицированные уравнения Эйлера следующим образом: Вывод прецессионных уравнений теории гироскопов: Прецессионные уравнения теории гироскопов: Гироскоп и кардановом подвесеЛ. 7 Свободный гироскоп. Гироскоп в кардановом подвесе. Схема карданова подвеса. Кинематика карданова подвеса. Абсолютные угловые скорости внешнего, внутреннего колец и ротора. -------------------------------------------------------------------------------- Гироскоп в кардановом подвесе представляет собой систему трех твердых тел: ротора, внутреннего кольца подвеса и его внешнего кольца (Рис. 1, 2). Подшипники внешнего кольца расположены в теле некоторого подвижного или неподвижного основания. Внутреннее кольцо конструктивно может быть выполнено в виде кожуха, в подшипниках которого вращается ротор гироскопа. Кинематическая схема. Iy – ось собственного вращения ротора, вдоль которой направлен его кинетический момент; I0 – опорное направление кинетического момента; j – угол отклонения внутренней рамки карданова подвеса; wj – угловая скорость поворота внутренней рамки подвеса (прецессия); Mq – момент возмущающей внешней силы; wq – угловая скорость поворота внешней рамки подвеса (нутация). ГИРОСКОП С ТРЕМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ Рис. 1. Рис. 2. Кинематика карданова подвеса система координат, связанная с внешним кольцом; система координат, связанная с основанием; угол поворота система координат относительно системы координат система координат, связанная с внутренним кольцом; угол поворота система координат относительно системы координат xyz система координат, связанная с ротором; - углы Крылова; Абсолютная угловая скорость внешнего кольца: Абсолютная угловая скорость внутреннего кольца: Абсолютная угловая скорость ротора: Л. 8 Уравнения движения гироскопа с подвижной точкой опоры. Моменты переносной и кориолисовой сил инеции гироскопа. -------------------------------------------------------------------------------- Понятие гироскопического момента оказывается полезным при определении силового воздействия, которое оказывают быстро вращающиеся тела на несущие их подвижные объекты, например: ротор работающей турбины – на качающийся корабль, вращающийся винт – на совершающий вираж самолет, колеса поворачивающегося автомобиля, мотоцикла или велосипеда –на подшипники оси колеса и т.п. Л. 9 Гироскопический момент. Представление гироскопического момента в векторном виде. -------------------------------------------------------------------------------- Л. 10 Уравнения прецессионной теории гироскопа в кардановом подвесе. Сторонние силы. Уравнения ротора гироскопа при наличии карданова подвеса. -------------------------------------------------------------------------------- Уравнения движения ротора гироскопа: Л. 11 Методы кинетостатики в теории гироскопов. Принцип Даламбера. Виртуальная мощность. -------------------------------------------------------------------------------- Л. 12 Уравнения нутационной теории гироскопа в кардановом подвесе. Уравнения Лагранжа 2-го рода. Кинетические энергии внешнего, внутреннего колец и ротора. -------------------------------------------------------------------------------- Кинетическая энергия внешнего кольца: Кинетическая энергия внутреннего кольца: Кинетическая энергия ротора: Кинетическая энергия всей механической системы: Гироскопические приборыЛ. 13 Пространственный гироскопический компас. Пространственный гироскопический компас Геккелера-Аншютца. Уравнения движения пространственного гироскопического компаса. -------------------------------------------------------------------------------- Основные области применения гироскопов – судоходство, авиация и космонавтика. Почти каждое морское судно дальнего плавания снабжено гирокомпасом для ручного или автоматического управления судном, некоторые оборудованы гиростабилизаторами. В системах управления огнем корабельной артиллерии много дополнительных гироскопов, обеспечивающих стабильную систему отсчета или измеряющих угловые скорости. Без гироскопов невозможно автоматическое управление торпедами. Самолеты и вертолеты оборудуются гироскопическими приборами, которые дают надежную информацию для систем стабилизации и навигации. К таким приборам относятся авиагоризонт, гировертикаль, гироскопический указатель крена и поворота. Гироскопы могут быть как указывающими приборами, так и датчиками автопилота. На многих самолетах предусматриваются гиростабилизированные магнитные компасы и другое оборудование – навигационные визиры, фотоаппараты с гироскопом, гиросекстанты. В военной авиации гироскопы применяются также в прицелах воздушной стрельбы и бомбометания. Уравнения движения гирокомпаса, установленного неподвижно на Земле: Уравнения движения гирокомпаса на подвижном основании: Гирокомпас в положении относительного равновесия Разложение угловой скорости Земли на две составляющие Л. 14 Инерциальные навигационные системы. Основное уравнение инерциальной навигационной системы. -------------------------------------------------------------------------------- Основным элементом большинства гироскопических устройств, нашедших практическое применение, является быстро вращающееся тело – волчок, ротор или собственно гироскоп. Модель абсолютного твердого тела вполне приемлема для описания движения таких тел. Поэтому уравнения движения абсолютного твердого тела являются исходными для построения теории гироскопических устройств. Для исследования движения гироскопов используем модель абсолютного твердого тела с одной неподвижной точкой, а исходными будут динамические и кинематические уравнения Эйлера. Л. 15 Гиромаятник. Уравнения движения. Скоростная девиация. Гирогоризонт. Гировертикант. Гироскопические системы ракет. Системы стабилизации. -------------------------------------------------------------------------------- При движении ракеты на активном участке траектории скорость ее центра масс непрерывно растет. В момент «отсечки» двигателей истинные координаты центра масс и его скорость должны достаточно мало отличаться от программных значений. Предположим, что скорость центра масс ракеты направлена по ее продольной оси АВ и составляет с плоскостью горизонта угол θ (угол тангажа). В качестве индикаторов углового положения ракеты могут быть использованы свободные гироскопы типа «гирогоризонт» и «гировертикант». Прибор, измеряющий скорость, представляет собой неуравновешенный гироскоп с непересекающимися осями кардановых колец. Он называется гироскопическим интегратором линейных ускорений. В качестве интегрирующих приборов могут быть использованы также поплавковые гироскопы с двумя степенями свободы. Простой гиромаятник, установленный на Земле Определение потенциальной энергии гиромаятника |