Главная страница
Навигация по странице:

  • Филиал ФГБОУ ВО «КГМТУ» в г. Феодосия Допущено к защите Защищено с оценкой

  • З а д а н и е 4 Исследовать функцию y = f (x) и построить график. Решение

  • З а д а н и е 12 Найти объём тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями.y = e −x , y = 0, x = 0, x = 1 вокруг оси OX.Решение

  • З а д а н и е 13 Найти область определения функции. Решение

  • математика. КР. Контрольная работа по дисциплине EH. 01 Математика Вариант 7 Специальность 26. 02. 02 Судостроение Студент группы зскм12


    Скачать 186.74 Kb.
    НазваниеКонтрольная работа по дисциплине EH. 01 Математика Вариант 7 Специальность 26. 02. 02 Судостроение Студент группы зскм12
    Анкорматематика
    Дата02.12.2022
    Размер186.74 Kb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаКР.docx
    ТипКонтрольная работа
    #825404


    ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

    ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

    «КЕРЧЕНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ МОРСКОЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

    Филиал ФГБОУ ВО «КГМТУ» в г. Феодосия

    Допущено к защите Защищено с оценкой

    канд. физ.-мат. наук канд. физ.-мат. наук

    Зубрилин К. М. Зубрилин К. М.

    «__» ________ 20 г. «__» ________ 20 г.
    КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

    По дисциплине: «EH.01 МАТЕМАТИКА»

    Вариант 7

    Специальность – 26.02.02 Судостроение

    Студент группы ЗСКМ-12

    Малахов М.В.

    «__» ________ 20 г.

    Феодосия, 2022 г.

    З а д а н и е 1

    Вычислить пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.









    Решение:



    Имеем неопределенность вида /. Разделим числитель и знаменатель на x2.





    Имеем неопределенность вида 0/0. Разложим на множители числитель и знаменатель.







    Имеем неопределенность вида 0/0. Преобразуем числитель применив формулу разности косинусов:





    Приведем исходную функцию к виду для применения первого замечательного предела:







    Имеем неопределенность вида 1.

    Преобразуем исходную функцию к виду второго замечательного предела





    З а д а н и е 2

    Исследовать функции на непрерывность, выяснить характер точек разрыва. Сделать схематический рисунок.





    Решение:



    Исследуем точку





    В этой точке пределы существуют и они равны, поэтому функция в этой точке непрерывна.

    При Так как косинус – периодическая функция, на отрезке функция определена и непрерывна.



    Таким образом, функция f(x) задана и непрерывна на

    График:


    Б.

    Исследуем точку





    Поскольку один из пределов равен ∞, в точке x = 6 график терпит разрыв II-го рода.

    Исследуем поведение функции на бесконечности:





    График:


    З а д а н и е 3

    Найти производные









    Решение:

    Производная сложной функции:

























    З а д а н и е 4

    Исследовать функцию y = f (x) и построить график.



    Решение:

    1) Область определения:

    При x=0 функция не определена

    1. Четность/нечетность: функция общего вида.

    2. Периодичность: непереодическая

    3. Точки пересечения с осями координат:

    Ось OY график функции y=f(x) не пересекает.

    OX:

    Точка пересечения с осью ОХ





    1. x=0 – точка разрыва.

    разрыв 2 рода.

    1. Экстремум:











    следовательно, точка минимума: ( ).

    1. Точки перегиба, интервалы выпуклости и вогнутости:







    y'>0

    y'<0

    y'>0

    возрастает

    убывает

    возрастает



    Точек перегиба нет.

    1. Асимптоты:



    График:



    З а д а н и е 5

    Вычислить с помощью дифференциала приближенное значение f (0) функции y = f (x) в точке a.



    Решение:

    Формула для приближенного вычисления с помощью дифференциала:















    З а д а н и е 6

    Найти наибольшее и наименьшее значение функции y = f (x) на промежутке [a; b].



    Решение:

    Найдем критические точки.



    Вычисляем значения функции на концах отрезка и в критических точках:













    З а д а н и е 7

    Решите задачу на отыскание наибольшего и (или) наименьшего значения.

    Круговой сектор имеет данный периметр р. Какой должен быть радиус сектора, что бы площадь сектора была наибольшей?

    Решение:

    Площадь кругового сектора вычисляется по формуле:

    где R – радиус, α – центральный угол.

    Периметр кругового сектора можно записать следующим образом:



    По условию задачи периметр равен p. Подставим известное и выразим α:





    Подставим полученное значение центрального угла в формулу площади:



    Представим площадь как функцию от радиуса (R). Найдем



    Для поиска максимума



    Следовательно, чтобы площадь сектора была наибольшей радиус круга должен быть в 4 раза больше периметра круга.
    З а д а н и е 8

    Взять неопределенные интегралы, используя таблицу интегралов, свойства линейности и основные методы: замены переменных и интегрирования по частям.















































    Решение:















































    11)





    12)

    13)

    14)

    15)



    16)



    17)





    18)



    19)



    20)

    21)



    22)





    23)






    З а д а н и е 9

    Вычислить определённые интегралы, используя формулу Ньютона – Лейбница, свойства линейности и аддитивности, а так же основные методы: замены переменных и интегрирования по частям.









    Решение:











    Б.













    В.





































    З а д а н и е 10

    Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями.



    1. Эллипсом



    Решение:



    Найдем точки пересечения графиков функций



    Изобразим графически фигуру, площадь которой предлагается найти:



    Если на отрезке [a,b] некоторая непрерывная функция f(x) больше либо равна некоторой непрерывной функции g(x), то площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций и прямыми x=a, x=b, можно найти по формуле:








    1. Эллипсом

    Площадь фигуры, заданной параметрически:


    Так как фигура симметрична относительно оси абсцисс, поэтому вычислим верхнюю половину площади и удвоим результат.

    Найдем значения параметра, которые определяют точки пересечения прямой эллипса с осью абсцисс:

























    Заданное уравнение в полярной системе координат описывает окружность. Для наглядности построим график:



    Находим два луча, между которыми лежит один из пяти лепестков розы, решая уравнение:

    Площадь фигуры, заданной в полярной системе координат, вычисляется по формуле: . Поскольку фигура состоит из 5 «лепестков», найдем площадь одного и умножим на 5.












    З а д а н и е 11

    Найти длину дуги.





    1. Спираль Архимеда

    Решение:



    Длина кривой, график которой задан непрерывной функцией y= f(x) рассчитывается по следующей формуле:



    В данном случае































    Если линия задана параметрическими уравнениями x=x(t), y=y(t), то длина дуги кривой, которая прочерчивается при изменении параметра t в пределах [t1,t2] , рассчитывается по формуле:

















    1. Спираль Архимеда

    Если кривая задана в полярных координатах уравнением =(), где , при этом на промежутке [;] функция имеет непрерывную производную ’(), то длина дуги кривой выражается следующей формулой:

















    З а д а н и е 12

    Найти объём тела, полученного вращением фигуры, ограниченной линиями.

    y = e−x, y = 0, x = 0, x = 1 вокруг оси OX.

    Решение:

    Изобразим схематически график функции y=f(x). Фигура, которая вращается вокруг оси ОХ, изображена на рисунке синим цветом.



    Объем тела вращения можно вычислить по формуле:









    З а д а н и е 13

    Найти область определения функции.



    Решение:



    З а д а н и е 14

    Для функции z = f (x, y) найти частные производные до второго порядка включительно. Проверить равенство .



    Решение:













    З а д а н и е 15

    Решите задачу, используя теоремы сложения и умножения и следствия из них.

    Для сообщения об аварии установлены два независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство равна 0,7, второе – 0,9. Найти вероятность того, что при аварии сработает только одно устройство.

    Решение:

    A - {сработало первое устройство}; P(A) = 0.7,

    В – {сработало второе устройство}; P(B) = 0.9,

    C – {сработало только одно устройство из двух}


    З а д а н и е 16

    Решите задачу, используя формулу полной вероятности и формулу Байеса – Лапласа.

    Для участия в студенческих отборочных спортивных соревнованиях выделено из первой группы второго курса 4 студентов, из второй группы 6 студента, из третьей 5 студентов. Вероятность того, что студент первой, второй и третьей группы попадает в сборную института, соответственно равны 0,6, 0,8, 0,5. Наудачу выбранный студент попал в сборную. Определить вероятность того, что это студент из первой группы.

    Решение:

    A - {студент попал в сборную};

    В1 – {студент из 1 группы};

    В2 – {студент из 2 группы};

    В3 – {студент из 3 группы}.

    Всего участвовали в соревнованиях 15 студентов.

    P(B1) = 4/15

    P(B2) = 6/15

    P(B3) = 5/15

    P(A/B1) = 0.6

    P(A/B2) = 0.8

    P(A/B3) = 0.5

    По формуле полной вероятности:





    По формуле Байеса:





    Вероятность того, что выбранный студент, попавший в сборную, из первой группы 24/97 (

    0,25)
    З а д а н и е 17

    Закон распределения дискретной случайной величины X задан в виде таблицы. Найти: математическое ожидание M(X); дисперсию D(X). Построить многоугольник распределения.

    X

    36

    41

    55

    77

    89

    P

    0.1

    0.5

    0.1

    0.2

    0.1


    Решение:











    Многоугольник распределения:



    З а д а н и е 18

    Дано комплексное число z0. Требуется:

    1) записать число z0 в алгебраической и тригонометрической формах;

    2) изобразить его на комплексной плоскости;

    3) найти все корни уравнения z3 − z0 = 0.



    Решение:

    Действительная часть x = 1

    Мнимая часть

    1. алгебраическая форма:

    тригонометрическая форма:













    1. изобразить его на комплексной плоскости;



    3) найти все корни уравнения z3 − z0 = 0.





    З а д а н и е 19

    Решить систему уравнений SU тремя способами:

    а) по формулам Крамера,

    б) средствами матричного исчисления,

    в) методом Гаусса.



    Решение:

    а) метод Крамера





    система имеет решение.

    Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор В.





    Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор В.





    Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор В.







    б) метод обратной матрицы:



























    Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу C:









    в) метод Гаусса

    Расширенная матрица:



    Умножим 2 строку на -1 и добавим к 3:



    Умножим 1 строку на -1/2 и добавим к 2:



    Поменяем местами 2 и 3 строки:



    Умножим 2 строку на 1/2 и добавим к 3:



    Получим единицы на главной диагонали. Для этого всю строку делим на соответствующий элемент главной диагонали:



    Исходную систему можно записать так:


    З а д а н и е 20

    Найти решение дифференциального уравнения.









    Решение:



























    Общее решение исходного уравнения:



    Решение задачи Коши







    Частное решение:





    Однородное дифференциальное уравнение 1-го порядка.

    Введем замену:

















    Вернемся к замене:









    Общее решение исходного уравнения:







    Введем замену:





















    Вернемся к замене. Общее решение:









    Частное решение:


    написать администратору сайта