контрольная по мат обработке исправленная. Контрольная работа по дисциплине Математическая обработка результатов эксперимента

• Название: Контрольная работа по дисциплине Математическая обработка результатов эксперимента
• Дата: 03.12.2018
• Размер: 138.75 Kb.
• Имя файла: контрольная по мат обработке исправленная.docx
• Тип: Контрольная работа; #58655

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное бюджетное образовательное

учреждение высшего профессионального образования

«Пермский национальный исследовательский

политехнический университет»

Кафедра «Безопасность жизнедеятельности»

Контрольная работа

по дисциплине «Математическая обработка результатов эксперимента»

Вариант № 18


Выполнила: студентка 3 курса

Горно-нефтяного факультета

гр. ПБ-14-1бз

Фидлер Татьяна Александровна

Проверила профессор,

д-р физ.-мат. наук

Лялькина Галина Борисовна


Пермь, 2017

Содержание

1. 
   Проверим независимость и случайность выборочных данных…. 3
   
2. 
   Построим точки M_i(x_i,y_i) в системе координат (x0y) и сформулируем гипотезу о виде зависимости величин X и Y…...………..5
   
3. 
   Вычислим коэффициент корреляции………………………………5
   
4. 
   Уравнение регрессии ищем в виде уравнения прямой……………6
   
5. 
   Проверим значимость найденных параметров уравнения………..7
   
6. 
   Вывод……………………………………………………………......10
   
7. 
   Список литературы…………………………………………...........11
   

Решение:

Две случайные величины X и Y представлены своими выборочными совокупностями {x_i} и {y_i} (i= 1,2,…,n):

xi	2,0	3,0	4,0	5,0	6,0	7,0	8,0	9,0	10,0	11,0
yi	11,60	13,27	14,60	15,70	16,70	17,60	18,40	19,10	19,80	20,44

1. 
   Проверим независимость и случайность выборочных данных.
   

Упорядочим значения случайной величины X:

xi

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

10,0

11,0

Так как число n = 10 значений случайной величины X является четным, то медианное значение найдем по формуле:

+ ) = + ) = 6,5

Построим последовательность плюсов и минусов:

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
xi	-	-	-	-	-	+	+	+	+	+

Подсчитаем число ν_расч(n) подряд идущих знаков «+» и подряд идущих знаков «−», а также длину τ_расч(n) самой длинной серии плюсов или минусов.

Получим, что ν_расч(n) = 5, τ_расч(n) = 5.

Проверим выполнение системы неравенств:



Так как оба неравенства системы выполнены, то делаем вывод, что с вероятностью 1 – α = 1 – 0,05 = 0,95 гипотеза о случайности и независимости совокупности исследуемых выборочных значений случайной величины X, не должна быть отвергнута.

Аналогично упорядочим значения случайной величины Y:

yi

11,60

13,27

14,60

15,70

16,70

17,60

18,40

19,10

19,80

20,44

Так как число n = 10 значений случайной величины X является четным, то медианное значение найдем по формуле:

+ ) = + ) = 17,15
Построим последовательность плюсов и минусов:

№	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yi	-	-	-	-	-	+	+	+	+	+

Подсчитаем число ν_расч(n) подряд идущих знаков «+» и подряд идущих знаков «−», а также длину τ_расч(n) самой длинной серии плюсов или минусов.

Получим, что ν_расч(n) = 5, τ_расч(n) = 5.

Проверим выполнение системы неравенств:



Так как оба неравенства системы выполнены, то делаем вывод, что с вероятностью 1 – α = 1 – 0,05 = 0,95 гипотеза о случайности и независимости совокупности исследуемых выборочных значений случайной величины Y, не должна быть отвергнута.

2. 
   Построим точки M_i(x_i,y_i) в системе координат (x0y) и сформулируем гипотезу о виде зависимости величин X и Y:
   

3. 
   Предположим, что зависимость линейная. Вычислим коэффициент корреляции:
   

где





Проверим значимость коэффициента корреляции по критерию Стьюдента. Определим случайную ошибку:



Тогда фактическое значение t-критерия Стьюдента составит:



Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы df = n - 2 = 10 - 2 = 8 и α = 0,05 составит t_табл = 2,23.

Фактические значения t-критерия по модулю превосходит табличное значение: |t_rxy| =19,8 > t_табл = 2,23, поэтому параметр r_xy статистически значим.

Вывод: Поиск уравнения регрессии в линейной форме возможен.

4. 
   Уравнение регрессии ищем в виде уравнения прямой:
   

y=kx+b,

параметры kи b которой подлежат определению. Подбор параметров kи b осуществим на основе «метода наименьших квадратов» (МНК).

Суть метода наименьших квадратов состоит в отыскании таких значений параметров kи b уравнения регрессии, которые будут минимизировать функцию

S (k, b) = .

Необходимое условие экстремума функции многих переменных – это равенство нулю её частных производных по переменнымk и b в точке экстремума. Дифференцируя функцию S (k,b) по k и по b, и приравнивая полученные частные производные к нулю, получим следующую систему для нахождения неизвестных a и b:

.

Решив систему, находим значения неизвестныхk и b, которые минимизируют функцию S(k,b) и могут быть представлены в следующем виде:

k=,

b = − k

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид:

y= 0,95 x+ 10,55.

5. 
   а) Проверим значимость найденных параметров уравнения регрессии.
   

Стандартные ошибки m_k коэффициента k и m_b параметра b соответственно оцениваются по следующим формулам:

m_k = , m_b = .


m_k = , m_b = .

Далее для каждого из параметров kи b вычислим соответствующие опытные значения и t-статистики Стьюдента по формулам

, .

Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы df = n - 2 = 10 - 2 = 8 и α = 0,05 составит t_табл = 2,23.

Опытные значения t-критерия по модулю превосходят табличное значение: , поэтому параметры k и b статистически значимы.

б) Проверим значимость уравнения в целом (то есть проверим его адекватность опытным данным).

Критическое значение критерия Фишера при указанных значениях k₁=1 и k₂=n−2: = F(0,05,1,8) = 5,32.

Опытное значение критерия Фишера F_оп для проверки адекватности линейного уравнения (1) вычисляется по формуле

F_оп =,

где k₁=2−1=1 стоит в знаменателе, а k₂=n−2 – в числителе.

Опытное F_оп и критическое значения критерия Фишера сравниваются между собой. Так как F_оп = 210,46 > = 5,32 , то уравнение линейной регрессии считается значимым, то есть с вероятностью p=1−α=0,95 оно адекватно описывает опытные данные и им можно пользоваться.

в) Оценим точность полученного уравнения регрессии.

Оценка точности уравнения регрессии в некоторой точке x дает средняя стандартная ошибка m_y теоретического значения y=kx+b, которая может быть найдена по следующей формуле:

m_y= .

К примеру, рассмотрим точку х = 5,5, тогда y = 0,95*5,5 + 10,55= 15,78. В точке х = 5,5 ошибка m_yсоставляет:

m_y= .

Тогда с доверительной вероятностью p=1−α = 0,95 искомое значение y в точке x=5,5лежит в доверительном интервале (15,78- 0,6174; 15,78+0,6174), т.е. в интервале у(15,1626;16,3974).

К примеру, рассмотрим точку х = 12,5, тогда y = 0,95*12,5 +10,55 = 22,43. В точке х = 12,0 ошибка m_yсоставляет:

m_y= .

Тогда с доверительной вероятностью p=1−α = 0,95 искомое значение y в точке x = 12,5лежит в доверительном интервале

(22,43 – 0,7291;22,43+0,7291) т.е. в интервале у  (21,7009; 23,1591).
Сделаем чертеж:


Вывод

Полученное уравнение линейной регрессии описывает зависимость Y от Х. Коэффициенты регрессии, коэффициент корреляции, уравнение регрессии в целом статистически значимы (на уровне значимости 0,05), то есть адекватно описывают зависимость Y от Х с вероятностью 0,95. Так как коэффициент корреляции близок к единице и положителен, то зависимость между Y и Х очень тесная и описывает линейно убывающую функцию. С помощью полученного уравнения можно делать прогноз ожидаемых значений Y, указав доверительные интервалы и доверительную вероятность 0,95.

Список литературы

1. Лялькина Г.Б., Бердышев О.В. Математическая обработка результатов эксперимента: Учебное пособие. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2013. – 78 с.

2. Лялькина Г.Б., Бердышев О.В. Математическая обработка результатов эксперимента: учебное пособие // Современные проблемы науки и образования. 2014. № 3. С. 180.