контрольная по мат обработке исправленная. Контрольная работа по дисциплине Математическая обработка результатов эксперимента
![]()
|
Министерство образования и науки РФ Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Пермский национальный исследовательский политехнический университет» Кафедра «Безопасность жизнедеятельности» Контрольная работа по дисциплине «Математическая обработка результатов эксперимента» Вариант № 18 Выполнила: студентка 3 курса Горно-нефтяного факультета гр. ПБ-14-1бз Фидлер Татьяна Александровна Проверила профессор, д-р физ.-мат. наук Лялькина Галина Борисовна Пермь, 2017 Содержание
Решение: Две случайные величины X и Y представлены своими выборочными совокупностями {xi} и {yi} (i= 1,2,…,n):
Упорядочим значения случайной величины X:
Так как число n = 10 значений случайной величины X является четным, то медианное значение найдем по формуле: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Построим последовательность плюсов и минусов:
Подсчитаем число νрасч(n) подряд идущих знаков «+» и подряд идущих знаков «−», а также длину τрасч(n) самой длинной серии плюсов или минусов. Получим, что νрасч(n) = 5, τрасч(n) = 5. Проверим выполнение системы неравенств: ![]() Так как оба неравенства системы выполнены, то делаем вывод, что с вероятностью 1 – α = 1 – 0,05 = 0,95 гипотеза о случайности и независимости совокупности исследуемых выборочных значений случайной величины X, не должна быть отвергнута. Аналогично упорядочим значения случайной величины Y:
Так как число n = 10 значений случайной величины X является четным, то медианное значение найдем по формуле: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Построим последовательность плюсов и минусов:
Подсчитаем число νрасч(n) подряд идущих знаков «+» и подряд идущих знаков «−», а также длину τрасч(n) самой длинной серии плюсов или минусов. Получим, что νрасч(n) = 5, τрасч(n) = 5. Проверим выполнение системы неравенств: ![]() Так как оба неравенства системы выполнены, то делаем вывод, что с вероятностью 1 – α = 1 – 0,05 = 0,95 гипотеза о случайности и независимости совокупности исследуемых выборочных значений случайной величины Y, не должна быть отвергнута.
![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Проверим значимость коэффициента корреляции по критерию Стьюдента. Определим случайную ошибку: ![]() Тогда фактическое значение t-критерия Стьюдента составит: ![]() Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы df = n - 2 = 10 - 2 = 8 и α = 0,05 составит tтабл = 2,23. Фактические значения t-критерия по модулю превосходит табличное значение: |trxy| =19,8 > tтабл = 2,23, поэтому параметр rxy статистически значим. Вывод: Поиск уравнения регрессии в линейной форме возможен.
y=kx+b, параметры kи b которой подлежат определению. Подбор параметров kи b осуществим на основе «метода наименьших квадратов» (МНК). Суть метода наименьших квадратов состоит в отыскании таких значений параметров kи b уравнения регрессии, которые будут минимизировать функцию S (k, b) = ![]() Необходимое условие экстремума функции многих переменных – это равенство нулю её частных производных по переменнымk и b в точке экстремума. Дифференцируя функцию S (k,b) по k и по b, и приравнивая полученные частные производные к нулю, получим следующую систему для нахождения неизвестных a и b: ![]() Решив систему, находим значения неизвестныхk и b, которые минимизируют функцию S(k,b) и могут быть представлены в следующем виде: k= ![]() b = ![]() ![]() ![]() Таким образом, уравнение регрессии имеет вид: y= 0,95 x+ 10,55.
Стандартные ошибки mk коэффициента k и mb параметра b соответственно оцениваются по следующим формулам: mk = ![]() ![]() ![]() mk = ![]() ![]() Далее для каждого из параметров kи b вычислим соответствующие опытные значения ![]() ![]() ![]() ![]() Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы df = n - 2 = 10 - 2 = 8 и α = 0,05 составит tтабл = 2,23. Опытные значения t-критерия по модулю превосходят табличное значение: ![]() б) Проверим значимость уравнения в целом (то есть проверим его адекватность опытным данным). Критическое значение ![]() ![]() Опытное значение критерия Фишера Fоп для проверки адекватности линейного уравнения (1) вычисляется по формуле Fоп = ![]() где k1=2−1=1 стоит в знаменателе, а k2=n−2 – в числителе. Опытное Fоп и критическое ![]() ![]() в) Оценим точность полученного уравнения регрессии. Оценка точности уравнения регрессии в некоторой точке x дает средняя стандартная ошибка my теоретического значения y=kx+b, которая может быть найдена по следующей формуле: my= ![]() ![]() ![]() К примеру, рассмотрим точку х = 5,5, тогда y = 0,95*5,5 + 10,55= 15,78. В точке х = 5,5 ошибка myсоставляет: my= ![]() ![]() ![]() Тогда с доверительной вероятностью p=1−α = 0,95 искомое значение y в точке x=5,5лежит в доверительном интервале (15,78- 0,6174; 15,78+0,6174), т.е. в интервале у(15,1626;16,3974). К примеру, рассмотрим точку х = 12,5, тогда y = 0,95*12,5 +10,55 = 22,43. В точке х = 12,0 ошибка myсоставляет: my= ![]() ![]() ![]() Тогда с доверительной вероятностью p=1−α = 0,95 искомое значение y в точке x = 12,5лежит в доверительном интервале (22,43 – 0,7291;22,43+0,7291) т.е. в интервале у (21,7009; 23,1591). Сделаем чертеж: Вывод Полученное уравнение линейной регрессии описывает зависимость Y от Х. Коэффициенты регрессии, коэффициент корреляции, уравнение регрессии в целом статистически значимы (на уровне значимости 0,05), то есть адекватно описывают зависимость Y от Х с вероятностью 0,95. Так как коэффициент корреляции близок к единице и положителен, то зависимость между Y и Х очень тесная и описывает линейно убывающую функцию. С помощью полученного уравнения можно делать прогноз ожидаемых значений Y, указав доверительные интервалы и доверительную вероятность 0,95. Список литературы 1. Лялькина Г.Б., Бердышев О.В. Математическая обработка результатов эксперимента: Учебное пособие. – Пермь: Изд-во Перм. нац. исслед. политехн. ун-та, 2013. – 78 с. 2. Лялькина Г.Б., Бердышев О.В. Математическая обработка результатов эксперимента: учебное пособие // Современные проблемы науки и образования. 2014. № 3. С. 180. |