Математика ТулГУ 1 семеср. КР_Волкова Е.А.. Контрольная работа по дисциплине Математика Семестр 1 Вариант 1 студент гр. Иб360821

Название	Контрольная работа по дисциплине Математика Семестр 1 Вариант 1 студент гр. Иб360821
Анкор	Математика ТулГУ 1 семеср
Дата	20.04.2023
Размер	61.99 Kb.
Формат файла
Имя файла	КР_Волкова Е.А..docx
Тип	Контрольная работа #1075548

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего образования

«Тульский государственный университет»
Интернет-институт

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине

«Математика»

Семестр 1
Вариант 1

Выполнил: студент гр. ИБ360821

Волкова Евгения Александровна

Проверил: д.ф.-м.н., проф. Христич Д.В.

Тула 2022

Задание 1.

Для определителя

найти дополнительный минор элемента a₃₄.

Решение:

а₃₄ = (-1)³⁺⁴·М₃₄= -1·87 = -87

Ответ: -87.
Задание 2.

Найти матрицы [AB], [BA], [A^-1], если [A]=

, [B]=

.

Решение:

а) [AB] =

=

=

.

б) [BA]=

.

в) Для нахождения обратной матрицы используем метод присоединенной матрицы в соответствии с формулой:

=-48+154+36=141

;

=2;

;

.

Запишем присоединенную матрицу:

Транспонируем присоединенную матрицу:

Запишем обратную матрицу:

Ответ: а)

; б)

; в)

.
Задание 3.

Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее по правилу Крамера.

3х₁– 2х₂ + 4х₃ = 21

3х₁ + 4х₂ – 2х₃ = 9

2х₁ – х₂ – х₃ = 10

Решение:

Запишем матрицу системы и найдем ее ранг:

Найдем минор второго порядка:

Так как М₂≠0, то [А] имеет ранг не менее 2.

Найдем определитель матрицы [А]:

Так как

, то ранг [А] = 3.

Запишем расширенную матрицу:

Найдем минор второго порядка:

Так как

, то [А^*] имеет ранг не менее 2.

Найдем минор третьего порядка:

Так как

, то ранг [А^*] равен 3.

RgA = RgA^* = 3, значит, по теореме по теореме Кронекера-Капелли система совместна.

Решим систему по правилу Крамера:

, значит система имеет единственное решение.

Ответ: x₁=5; x₂= -1; x₃=1.
Задание 4.

Доказать, что векторы

образуют базис, и найти координаты вектора

в этом базисе:

 5,3,1,

 1,2,3,

 3,4,2,

  9,34,20.

Решение:

Вычислим определитель, составленный из координат векторов

, значит, векторы

линейно независимы и образуют базис.

Представим вектор

в виде линейной комбинации базисных векторов:

Или покоординатно:

5х₁– х₂ + 3х₃= - 9

3х₁+ 2х₂ – 4х₃= 34

х₁– 3х₂ + 2х₃= - 20

Решим систему по правилу Крамера:   63  0, значит, система имеет единственное решение.

Ответ: векторы

образуют базис,

.
Задание 5.

Вершины пирамиды находятся в точках А(3,−5,−2), В(−4,2,3), С(1,5,7), D(−2,−4,5). Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной из вершины В.

Решение:

a) Объем пирамиды равен:

б) Объем пирамиды также равен

Найдем векторное произведение векторов:

Найдем модуль вектора

Найдем высоту:

Ответ:

ед.³;

.

Задание 6.

Найти расстояние от точки M₀ до плоскости, проходящей через точки M₁, M₂, M₃, если М₁(1,3,6), М₂(2,2,1), М₃(-1,0,1), М₀(5,-4,5).

Решение:

Запишем уравнение плоскости:

Найдем расстояние d от точки М₀(5,-4,5) до плоскости 2х-3у+z+1=0 по формуле:

Ответ:

Задание 7.

Написать канонические уравнения прямой 4x+y+z+2=0, 2x-y-3z-8=0

Решение:

Прямая задана в виде пересечения двух плоскостей. Нормальные вектора плоскостей:

Прямая лежит в обеих плоскостях, следовательно перпендикулярна векторам

.То есть, вектор

является направляющим вектором прямой.

Найдём направляющий вектор:

Выберем какую-нибудь точку на искомой прямой. Для этого найдём одно из решений системы уравнений:

4x+y+z+2=0

2x-y-3z-8=0

Примем z=0,

4х+у+2=0 у=-4х-2

2х-у-8=0 2х-(-4х-2)-8=0 (1)

2х+4х+2-8=0

6х-6=0 у=-4·1-2

6х=6 у=-6

х=1

х=1

у=-6

Таким образом, прямая направлена вдоль вектора

и проходит через точку Р₀(1,-6,0).

Её канонические уравнения принимают вид:

Ответ:
Задание 8.

Найти точку пересечения прямой, заданной каноническими уравнениями, и плоскости

Решение:

Запишем параметрические уравнения прямой:

x=1+8t

y=8 – 5t

z=–5+12t

Подставляем значения в уравнение плоскости:

1+8t – 2(8 – 5t) – 3(– 5+12t)+18=0

1+8t–16+10t+15–36t+18=0

– 18t+18=0

t=1

Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости:

x=1+8·1=9

y=8–5·1=3

z=–5+12·1=7

Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости есть точка Р(9,3,7).

Ответ: Р(9,3,7).
Задание 9.

Вычислить предел