КР №1 вариант 5. Контрольная работа по Высшей математике 1 Вариант 5 Минск 2010 5
 Скачать 323 Kb.
|
|
Учреждение образования БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАТИКИ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ Факультет заочного и дистанционного обучения Специальность ПОИТ Контрольная работа по Высшей математике №1 Вариант № 5 Минск 2010 №5 Даны четыре вектора  ,  ,  и  , заданные в декартовой системе координат. Требуется: 1) вычислить скалярное произведение  ; 2) вычислить векторное произведение  ; 3) показать, что векторы  образуют базис и найти координаты вектора  в этом базисе.Дано :  ;  ;  ;  .Решение 1) Найдем вектор  для этого умножим координаты вектора на 2 и от полученного вектора  вычтем вектор . В результате вычитания получим  Так как скалярное произведение в ортонормированном базисе равно сумме произведений соответствующих координат, то  .2) По аналогии с пунктом 1 найдем вектор  . Тогда векторное произведение  найдем по формуле :  3) Базисом в пространстве  являются любые три некомпланарных вектора. Условием компланарности трех векторов, заданных в декартовой системе координат, является равенство их смешанного произведения нулю. Отсюда находим:  .Значит, векторы  некомпланарны и образуют базис. Составим систему уравнений в координатном виде  , где  координаты вектора  в базисе , и найдем  .Определитель  найден выше:  . ;  ;  .Имеем:  ;  ;  .Значит,  .№15 Даны координаты вершин пирамиды  . Требуется найти: 1) длину ребра  ; 2) уравнения прямой ; 3) угол между ребрами и  ; 4) уравнение плоскости  ; 5) угол между ребром  и гранью  ; 6) уравнения высоты, опущенной из вершины  на грань ; 7) площадь грани ; 8) объём пирамиды; 9) сделать чертеж, если  ; ;  Решение 1) Длина ребра численно равна расстоянию между точками  и  , которое в декартовой системе координат вычисляется по формуле ,где  координаты точки  ,  координаты точки  .Таким образом, вычисляем:  .2) Для составления уравнений прямой  воспользуемся формулой:  , где  координаты точки  , координаты точки  . Тогда  .В таком виде уравнения прямой называются каноническими. Они могут быть записаны и в виде  или  т.е. уравнение прямой как линии пересечения двух плоскостей. 3)Угол между ребрами и  вычисляется по формуле  из скалярного произведения векторов  и  .Находим:  ;  ; ;  ; .Поэтому  ,  .4) Для составления уравнения плоскости  воспользуемся формулой  , где координаты точки , координаты точки , координаты точки  . .5) Угол между ребром и плоскостью – это угол между вектором  и его ортогональной проекцией  на грань . Вектор  перпендикулярен грани  , что вытекает из определения векторного произведения векторов и  Вектор  перпендикулярен грани  , что вытекает из определения векторного произведения векторов  и   :  Здесь  ,  . Как и в пункте 3, находим: .Отсюда получаем, что  .6) Искомое уравнение высоты получим из канонических уравнений прямой  , где  точка, лежащая на искомой прямой;  координаты вектора  , параллельного искомой прямой. При этом в качестве точки  возьмем точку  , а в качестве вектора возьмем нормальный вектор плоскости , т.е.  . Имеем  .7) Площадь грани находим, используя геометрический смысл векторного произведения: .8) Объем пирамиды  численно равен одной шестой модуля смешанного произведения векторов , , , которое находится по формуле  .Таким образом,  .9) Сделаем чертёж:  Задание №25 Найти координаты точки  , симметричной точке  относительно прямой  .Решение Составим уравнение плоскости Р, проходящей через точку  перпендикулярно прямой L, т.е. нормальный вектор Р есть  : .Решив совместно уравнения L и Р, получим точку N пересечения L с Р:  . Но так как N –середина отрезка  , то .Таким образом, точка М имеет координаты  .Задача 35. Составить уравнение линии, для каждой точки которой расстояние до точки  вдвое больше, чем до прямой  .Решение Обозначим произвольную точку искомой линии как  . Тогда по условию получаем, что  , где Р – основание перпендикуляра из точки М к прямой  .Находим:  ;  .Значит,  . Возводя обе части этого соотношения в квадрат, получаем  . Это каноническое уравнение ветви гиперболы с полуосями  с центром в точке  .Полученная ветвь гиперболы изображён на следующем рисунке. |