ЭЛЕКТРОНИКА. КР5_ЦОС_СЕМЕНИХИНА_ЕЛИЗАВЕТА_ИБ3_3КУРС. Контрольные вопросы 5 Что значит сходимость zпреобразования

• Название: Контрольные вопросы 5 Что значит сходимость zпреобразования
• Анкор: ЭЛЕКТРОНИКА
• Дата: 15.05.2023
• Размер: 31.8 Kb.
• Имя файла: КР5_ЦОС_СЕМЕНИХИНА_ЕЛИЗАВЕТА_ИБ3_3КУРС.docx
• Тип: Контрольные вопросы; #1130693

Контрольные вопросы 5

1. 
   Что значит сходимость z-преобразования?
   Cходимость z-преобразования:
   

Если F(z) содержит бесконечное число слагаемых, то ряд сходится в области
при условии , где M>0, - вещественные константы.
В области - аналитическая функция, не имеющая полюсов и существенно особых точек.

2. 
   Что такое полюс в z- пространстве?
   

Значения z, для которых S(z) = ∞, называются полюсами.

3. 
   К чему приведет Умножение z-образа сигнала s(k) на величину zⁿ?
   

К задержке сигнала (сдвиг вправо по временной оси) на n интервалов: zⁿS(z)  s(k-n)

4. 
   Характерные точки комплексной z-плоскости
   

Подстановка значения какой-либо частоты в z = exp(-jtω) отображается точкой на окружности. Частоте 0 соответствует точка Re z = 1 и Im z = 0 на правой стороне оси абсцисс. При повышении частоты точка смещается по окружности против часовой стрелки, и занимает крайнее левое положение на частоте Найквиста. Отрицательные частоты спектра отображаются аналогично по часовой стрелке на нижней полуокружности. Точки N совпадают, а при дальнейшем повышении или понижении частоты значения начинают повторяться в полном соответствии с периодичностью спектра дискретной функции. Проход по полной окружности соответствует одному периоду спектра, а любая гармоника спектра сигнала задается на плоскости двумя точками, симметричными относительно оси абсцисс.

5. 
   Куда входит единичная окружность |z| = |exp (-jω)| = 1если функция s(t) имеет спектральное представление S(ω) ?
   

Если функция s(t) имеет спектральное представление S(ω), то единичная окружность |z| = |exp (-jω)| = 1 обязательно должна входить в область сходимости полинома S(z).

6. 
   Докажите, что для импульса Кронекера X_δ(z) = z⁰ =1
   

Импульсы Кронекера. В общем случае, для импульса Кронекера в произвольной точке числовой оси:

(k-n)_ при k=n, (k-n) = 0 при k ≠ n.

X_(z) = (k-n) z^k = zⁿ.

Для импульса Кронекера в нулевой точке соответственно X_ (z) = z0 =1. Ряд X_ (z) сходится на всей z-плоскости.

7. 
   Основные свойства Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ.
   

Линейность: Если s(k) = a·x(k)+b·y(k), то S(z) = aX(z)+bY(z). Соответственно, z-преобразование допустимо только для анализа линейных систем и сигналов, удовлетворяющих принципу суперпозиции.

Задержка на n тактов: y(k) = x(k-n).

Y(z) = y(k) z^k = x(k-n) z^k =zⁿ x(k-n) z^k-n = zⁿ x(m) z^m = zⁿ X(z).

Соответственно, умножение z-образа сигнала на множитель zn вызывает сдвиг сигнала на n тактов дискретизации.

Дифференцирование. Если имеем s(k)  S(z), то z-образ функции ks(k) можно найти, продифференцировав S(z), что бывает полезно для вычисления обратного z-преобразования функций S(z) с полюсами высокого порядка:

ks(k)  z dX(z)/dz.

Преобразование свертки. При выполнении нерекурсивной цифровой фильтрации односторонними операторами фильтров:

s(k) = h(n) y(k-n), k = 0, 1, 2, …

Z-преобразование уравнения свертки:

S(z) = h(n) y(k-n) z^k = h(n) zⁿ y(k-n) z^k-n =

= h(n) zⁿ y(k-n) z^k-n = H(z) Y(z).

Таким образом, свертка дискретных функций отображается произведением z-образов этих функций. Аналогично, для z-преобразования могут быть доказаны все известные теоремы о свойствах z-образов, что вполне естественно, т.к. при z=exp(-j) эти свойства полностью эквивалентны свойствам спектров функций.

8. 
   Какие нули и полюсы оказывают наибольшее влияние на изменение АЧХ по частоте?
   

Наибольшее влияние на изменение АЧХ по частоте оказывают нули и полюсы, расположенные ближе к единичной окружности. При расположении нуля непосредственно на окружности гармоника s в этой точке полностью обнуляется. И, наоборот, при перемещении s к полюсу, близкому к единичной окружности, происходит резкое нарастание коэффициента усиления системы.

9. 
   Чем определяется гладкость разложения H(z) (разрешение по частоте ∆f = 1/(N∆t)) при БПФ?
   

Гладкость (разрешение по частоте f = 1/(Nt)) будет определяться количеством коэффициентов степенного ряда и при необходимости может увеличиваться дополнением ряда нулями.

10. 
    Где находятся полюсы передаточной функции H(z) устойчивой системы?
    

В устойчивой системе все полюсы передаточной функции H(z) должны находиться за границами единичной окружности z=exp(-jt) (внутри окружности при символике z-1).