Координаты вектора. Координаты вектора
![]()
|
Координаты вектора. В пространстве введем декартову систему координат. Определим векторы ![]() ![]() ![]() Рисунок ![]() Базис ![]() Определение. Пусть точка М – произвольная точка пространства. Тогда вектор ![]() Напомним определение координат вектора в фиксированном базисе. Определение. Упорядоченная тройка чисел (α, β, γ) в разложении вектора ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Свойства координат вектора. Если векторы ![]() ![]() ![]() ![]() Заметим, что данное утверждение верно для любого базиса, не только для ортонормированного. Доказательство. ![]() Если вектор ![]() ![]() ![]() ![]() Заметим, что данное утверждение верно для любого базиса, не только для ортонормированного. Доказательство провести самостоятельно, аналогично первому свойству. Пусть точка М имеет в декартовой системе координат следующие координаты: М(х,у,z). Тогда её координаты равны координатам её радиус-вектора в ортонормированном базисе ![]() ![]() ![]() Доказательство. ![]() ![]() ![]() Координаты вектора ![]() (В школе это утверждение берётся за определение координат вектора) Доказательство. ![]() Пусть вектор ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() Для доказательства данного свойства возьмите представителя данного вектора с началом в точке О и воспользуйтесь формулой длины отрезка. Определение. Говорят, что точка С делит отрезок АВ в отношении ![]() ![]() Заметим, что это определение обобщает уже известное нам определение. Если точка С делит отрезок АВ в отношении ![]() А(хА, уА, zА), В(хВ, уВ, zВ), С(хС, уС, zС), то верны равенства хС = ![]() ![]() ![]() Данное свойство непосредственно следует из свойств 2) и 4). Определение. ![]() Проекцией вектора ![]() ![]() prx ![]() Проекцией свободного вектора на ось x называется проекция его представителя на эту ось. Данное определение корректно, т.е. не зависит от выбора представителя. Аналогично определяем проекцию вектора на ось у и ось z. Задача. Докажите, что проекция вектора ![]() ![]() ![]() Свойство 7. Пусть в пространстве введена декартова система координат и зафиксирован ортонормированный базис ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Доказательство. ![]() ![]() Итог. Координаты вектора в декартовой системе координат с введенным ортонормированным базисом ![]() ![]() как коэффициенты в разложении данного вектора по базису; как разности координат конца и начала данного вектора; как проекции данного вектора на координатные оси. |