Изучение многоканальной замкнутой системы. Изучение многоканальной замкнутой системы ЛР. Краткие сведения об объекте моделирования
![]()
|
Цель работы Изучение многоканальной замкнутой системы массового обслуживания с неограниченным временем ожидания требований в системе. Входной поток требований – простейший. Он наиболее полно соответствует реалиям жизни и характеризуется следующими особенностями: поступление требований в систему на обслуживание происходит по одному, то есть вероятность прибытия двух и более требований одновременно очень мала и ею можно пренебречь (поток требований ординарный); вероятность поступления последующих требований не зависит от вероятностей поступления предыдущих – поток требований без последействия; поток требований стационарный. Краткие сведения об объекте моделирования Функционирование многоканальной замкнутой системы массового обслуживания можно описать через все возможные ее состояния и интенсивности перехода из одного в другое. Основными параметрами функционирования СМО являются вероятности состояния системы, то есть вероятности наличия ![]() ![]() ![]() ![]() Важным параметром функционирования системы массового обслуживания является также среднее число требований, находящихся в системе ![]() ![]() Исходными параметрами, характеризующими СМО, являются: число каналов обслуживания N (касс, компьютеров, кранов, ремонтных бригад), число требований m (покупателей, рабочих, заданий, машин, неполадок), интенсивность поступления одного требования на обслуживание ![]() ![]() Интенсивность поступления на обслуживание одного требования определяется как величина, обратная времени возвращения требования, – ![]() ![]() Интенсивность обслуживания требований определяется как величина, обратная времени обслуживания одного требования, – ![]() ![]() Представим все возможные состояния системы массового обслуживания в виде размеченного графа состояний (рис. 2.1). Каждый прямоугольник графа определяет одно из возможных состояний, количественно оцениваемое вероятностью ![]() ![]() - число требований ![]() - число требований ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 1. Размеченный граф состояний многоканальной замкнутой СМО Первый прямоугольник с вероятностью ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Вначале рассмотрим установившийся режим работы системы массового обслуживания, когда основные вероятностные характеристики ее постоянны во времени, например в течение часа. В этом случае интенсивности входных и выходных потоков для каждого состояния будут сбалансированы. Для случая, когда число требований ![]() ![]() Для случая, когда число требований ![]() ![]() Обозначим величину ![]() ![]() Рассмотрим вначале первый случай, когда число требований, находящихся в системе, меньше числа каналов обслуживания – 0 n < N. Из первого уравнения можно найти значение ![]() ![]() Из второго уравнения найдем значение ![]() ![]() Но ![]() ![]() Из третьего уравнения найдем значение ![]() ![]() Но ![]() ![]() Аналогичные выражения можно получить и для других состояний. Анализируя полученные результаты, вычисляем рекуррентное выражение для определения вероятности состояния системы, когда число требований, находящихся в системе ![]() ![]() Рассмотрим теперь второй случай, когда число требований, находящихся в системе, больше или равно числу каналов обслуживания – N n m. В этой ситуации рекуррентное выражение для определения вероятности состояния системы будет записано в таком виде: ![]() Используя очевидное равенство ![]() ![]() Теперь рассмотрим неустановившийся режим работы СМО, когда ее основные вероятностные характеристики зависят от времени. В этом случае интенсивности входных и выходных потоков для каждого состояния будут сбалансированы, но уже с учетом производных вероятностей. Таким образом, мы будем иметь систему обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих функционирование одноканальной замкнутой системы при неустановившемся режиме. Для составления системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей функционирование СМО с пуассоновским потоком, существует мнемоническое правило: производная ![]() число членов этой суммы равно количеству стрелок на графе состояний системы, соединяющих состояние n с другими; если стрелка направлена в рассматриваемое состояние n, то член берется со знаком «плюс»; если стрелка направлена из рассматриваемого состояния n, то член берется со знаком «минус»; каждый член суммы равен произведению вероятности того состояния, из которого направлена стрелка, на интенсивность потока событий, переводящего систему по данной стрелке. В соответствии с размеченным графом состояний (рис. 1) эта система обыкновенных дифференциальных уравнений будет выглядеть так: • для случая, когда число требований n, поступивших в систему, меньше числа каналов обслуживания N, – 0 n < N: ![]() ![]() ![]() …………………………………………………………. ![]() • для случая, когда число требований n, поступивших в систему, больше или равно числу каналов обслуживания N, – N n m: ![]() ………………………………………………………… ![]() Как можно заметить, требуется большая вычислительная работа для определения основных параметров функционирования комплекта машин. Можно пойти, как и в предыдущей задаче, несколькими путями: предварительный расчет ![]() использование системы Mathcad. Обоими путями воспользуемся далее в ходе работы. Табл. 1 – Значения коэффициента использования y
Выполнение работы ![]() Рис. 2. Определение параметров функционирования многоканальной замкнутой СМО в системе Mathcad. Теперь рассмотрим неустановившийся режим работы СМО, когда ее основные вероятностные характеристики зависят от времени. В этом случае интенсивности входных и выходных потоков для каждого состояния будут сбалансированы, но уже с учетом производных вероятностей. Таким образом, мы будем иметь систему обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающих функционирование одноканальной замкнутой системы при неустановившемся режиме. На рис. 3 представлены начальные исходные данные и система дифференциальных уравнений, описывающая функционирование многоканальной замкнутой СМО при неустановившемся режиме работы. На рис. 4 дано представление системы дифференциальных уравнений в виде, доступном для решения ее в Mathcad. По существу, здесь показаны правые части системы уравнений в виде вектора-столбца. Каждый его элемент определяет значение правой части соответствующего дифференциального уравнения на любом шаге интегрирования (решения). ![]() ![]() Рис. 4 - Представление совокупности дифференциальных уравнений в виде, доступном для решения ее в системе Mathcad На рис. 5 приводится решение системы дифференциальных уравнений многоканальной замкнутой СМО с использованием встроенной функции rkfixed(P,to,t1,n,D), реализующей метод Рунге-Кутта с фиксированным шагом. ![]() замкнутой СМО ![]() Рис. 6. Результаты решения системы дифференциальных уравнений многоканальной замкнутой СМО Выводы: Другими словами, на рис. 6 представлено поведение искомых параметров ![]() Анализируя графическое решение системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей функционирование заданной многоканальной замкнутой СМО, можно заметить, что примерно через 0,2 часа она переходит в установившийся режим работы. При этом значения вероятностей состояний режима paботы системы при решении совокупности обыкновенных дифференциальных уравнений практически полностью соответствуют решению системы алгебраических уравнений для установившегося режима работы: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Рис. 7. Фрагмент результатов решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений в численном виде для многоканальной замкнутой СМО |