МЖГ Решение мат модели 7. Курсовая работа по дисциплине Теория и расчёт лопаточных машин На тему Турбина силовая

• Название: Курсовая работа по дисциплине Теория и расчёт лопаточных машин На тему Турбина силовая
• Анкор: МЖГ Решение мат модели 7
• Дата: 08.04.2022
• Размер: 0.94 Mb.
• Имя файла: MZhG_7_Reshenie_matmodel.doc
• Тип: Курсовая; #454166
• страница: 7 из 8

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Для описания вихря используется уравнение Эйлера:

, (1)

где и , так как продольное ускорение вихря равно 0. В результате уравнение Эйлера примет вид:

. (2)

Ускорение от массовых сил есть сумма ускорений от сил тяжести и центробежного ускорения:

. (3)

Центробежное ускорение определяется следующим выражением:

. (4)

Закон постоянства циркуляции:

. (5)

Для связи давления с осевой и окружной скоростями применяется уравнение Бернулли:

. (6)

Для дальнейших расчетов уравнение Бернулли (6) делится на dr, в результате уравнение примет вид:

. (7)

Для нахождения распределения температуры по радиусу используется тепловое уравнение энергии:

. (8)

Аналогично данное уравнение следует разделить на dr, в результате получается:

. (9)

РЕШЕНИЕ

Вектор свободного перемещения имеет вид:

. (10)

Для перехода от частных дифференциалов к полным уравнение Эйлера (2) умножается скалярно на вектор свободного перемещения:

, (11)

, (12)

. (13)

Подставляя (12) и (13) в (2), можно получить уравнение Эйлера в нужном виде:

. (14)

Из (5) окружную скорость можно представить в следующем виде:

. (15)

Центробежное ускорение с учётом (4) и (15) примет вид:

. (16)

Подставив (16) в (14), получается следующее уравнение:

. (17)

Для последующего интегрирования уравнение (17) преобразовывается к виду:

. (18)

Далее производится интегрирование левой и правой части уравнения (18):

, (19.1)

, (19.2)

, (19.3)

. (19.4)

В результате зависимость давления от радиуса имеет вид:

. (20)

При давление p равно атмосферному p_н, следовательно, выражение p₀ примет вид:

. (21)

Подставив (21) в (20), получается выражение для функции r:

. (22)

Для определения зависимости осевой составляющей скорости от радиуса необходимо воспользоваться уравнением Бернулли. Выражения (17) и (15) подставляются в уравнение Бернулли (7):

. (23)

После умножения на dr уравнение (23) примет вид:

. (24)

Второе слагаемое преобразуется к виду:

. (25)

С учетом (25) уравнение (24) примет вид:

. (26)

Из выражения (26) следует, что c_a не зависит от радиуса, т.е. осевая составляющая скорости постоянна.

Для определения зависимости температуры от радиуса необходимо воспользоваться уравнением энергии (9). Второе слагаемое уравнения (9) можно записать с учётом (25) и (26) в следующем виде:

. (27)

Тогда уравнение (9) c учетом (26) примет вид:

. (28)

Уравнение (28) умножается на dr, далее решается интегральное уравнение:

, (29.1)

, (29.2)

, (29.3)

. (29.4)

Из уравнения (29.4) выражается функция зависимость температуры от радиуса:

. (30)

При температура равна атмосферной T_н. Тогда T₀ определяется, как:

. (31)

Подставляя (31) в выражение (30), получается выражение для функции T(r):

. (32)