Диплом. Пример++димплома. Кваліфікаційна робота пояснювальна записка
 Скачать 1.76 Mb.
|
1 Міністерство освіти і науки України Харківський національний університет радіоелектроніки Факультет інформаційно-аналітичних технологій та менеджменту (повна назва) Кафедра прикладної математики (повна назва) КВАЛІФІКАЦІЙНА РОБОТА Пояснювальна записка рівень вищої освіти перший (бакалаврський) ____Математичні моделі та методи розрахунку динаміки рідини на __ _________________основі гратчастих рівнянь Больцмана ___________________ тема) Виконав: студент _4_ курсу, групи _ППМ-17-1 __________ _______________Дубова ДО. ________________ (прізвище, ініціали) Спеціальність _____________________________ ______________113 Прикладна математика _____ (код і повна назва спеціальності) Тип програми __освітньо-професійна __________ Освітня програма __________________________ ____________Прикладна математика __________ (повна назва освітньої програми) Керівник доц. Эсілевський В.С. ___________ посада, прізвище, ініціали) Допускається до захисту Зав. кафедри ПМ ___________ ____Тевяшев АД (підпис) (прізвище, ініціали) 2021 р. 2 Харківський національний університет радіоелектроніки Факультет _інформаційно-аналітичних технологій та менеджменту Кафедра _прикладної математики Рівень вищої освіти перший (бакалаврський) Спеціальність _113 Прикладна математика код і повна назва) Тип програми_освітньо-професійна Освітня програма _Прикладна математика (повна назва) ЗАТВЕРДЖУЮ: Зав. кафедри ПМ ____________ (підпис) “_____” _________________ 2021 р. ЗАВДАННЯ НА КВАЛІФІКАЦІЙНУ РОБОТУ студентові Дубовій Дарії Олегівні (прізвище, ім’я, по батькові) 1. Тема роботи Математичні моделі та методи розрахунку динаміки рідини на основі гратчастих рівнянь Больцмана затверджена наказом університету від 14 травня 2021 р. № 615 Ст 2. Термін подання студентом роботи до екзаменаційної комісії 7 червня 2021 р. 3. Вихідні дані до роботи математична модель траєкторії руху човна 4. Перелік питань, що потрібно опрацювати в роботі 1. Аналіз предметної області 2. Вибір та обґрунтування методу розв’язання 3. Програмна реалізація 4. Результати обчислювального експерименту 3 5. Перелік графічного матеріалу із зазначенням креслеників, схем, плакатів, комп’ютерних ілюстрацій 1. Актуальність теми роботи 2. Постановка задачі 3. Аналіз предметної області 4. Метод чисельного аналізу 5. Результати обчислювального експерименту КАЛЕНДАРНИЙ ПЛАН № Назва етапів роботи Термін виконання етапів роботи Примітка 1 Підбір та вивчення технічної літератури за темою роботи 17 – 23 травня 2021 р. виконано 2 Вибір та обґрунтування методу 17 – 23 травня 2021 р. виконано 3 Розробка алгоритму і програми 24 – 30 травня 2021 р. виконано 4 Проведення аналітичних досліджень та розра- хунків 24 – 30 травня 2021 р. виконано 5 Оформлення тексту пояснювальної записки 31 травня – 3 червня 2021 р. виконано 6 Представлення роботи на рецензію в ЕК 4 – 7 червня 2021 р. виконано Дата видачі завдання _17_ травня 2021 р. Студент _________________________________ (підпис) Керівник роботи _________________ доц. Єсілевський В.С. (підпис) (посада, прізвище, ініціали) 4 РЕФЕРАТ Пояснювальна записка 66 с, 3 табл, 10 рис, 1 дод., 11 джерела. МОДЕЛЮВАННЯ ГІДРОДИНАМІКИ, ГРАТЧАСТІ РІВНЯННЯ БОЛЬ- ЦМАНА, РІВНЯННЯ НАВ'Є-СТОКСА, ПРОСТОРОВІ РЕШІТКИ Об’єкт дослідження – задача моделювання гідродинаміки на основі грат- частих рівнянь Больцмана. Мета роботи – набуття знань та навичок з моделювання гідродинамічних процесів, а також практичне оволодіння технологіями розробки програмного забезпечення для моделей рідин, та руху твердих тіл в рідинах. Методи дослідження – гратчасті рівняння Больцмана. У даній кваліфікаційній роботі на виході системи моделювання ми по- винні отримати модель траєкторії руху човна. На вхід системи ми подаємо па- раметри човна та середовища в якому воно знаходиться. Для моделювання ви- користовується гратчасті рівняння Больцмана, на основі рівняння Нав’є-Стокса. За домогою бібліотеки OpenLB, було змодельовано рух човна з заданням відповідних параметрів моделювання. Були заданні необхідні умови для геомет- рії та зіткнення човна та води. Програма отримує на вході швидкість руху течії річки, швидкість руху човна без течії, та вагу човна. 5 ABSTRACT Introductory note: 66 pages, 3 tables, 10 figures, 1 appendixes, 11 sources. SIMULATION OF HYDRODYNAMICS, BATTLEF'S GAME PARTIAL EQUATIONS, NAVIE-STOX EQUATION, SPACE GRIDS Object of research – problem of modeling hydrodynamics on the basis of Boltzmann lattice equations. Purpose of work – acquisition of knowledge and skills in modeling hydrody- namic processes, as well as practical mastery of software development technologies for models of liquids and the motion of solids in liquids. Methods of research – lattice Boltzmann equations. In this work, at the output of the simulation system, we must obtain a model of the trajectory of the boat. At the input of the system, we provide the parameters of the vessel and the environment in which it is located. The lattice Boltzmann equations, based on the Navier-Stokes equation, are used for modeling. With the help of the OpenLB library, the movement of the boat was simulated with the setting of the appropriate simulation parameters. The necessary conditions for the geometry and collision of the boat and the water were set. The program receives at the entrance the speed of the river, the speed of the boat without the current, and the weight of the boat. 6 ЗМІСТ С. Вступ ........................................................................................................................... 7 1 Аналіз предметної області та постановка задач дослідження ........................... 9 1.1 Аналіз проблеми математичного моделювання гідродинаміки методом гратчастих рівнянь Больцмана .................................................................................. 9 1.2 Аналіз сценаріїв вирішення проблеми математичного моделювання гідро- динаміки методом гратчастих рівнянь Больцмана .............................................. 11 1.3 Змістовна постановка задачі .......................................................................... 13 1.4 Формальна постановка задачі ........................................................................ 13 2 Вибір та обґрунтування методу розв’язання ..................................................... 15 2.1 Огляд існуючих методів задач моделювання гідродинаміки ..................... 15 2.2 Рівняння Нав'є-Стокса .................................................................................... 17 2.3 Кліткові автомати ............................................................................................ 18 2.4 Гратчасті рівняння Больцмана ....................................................................... 23 3 Програмна реалізація та результати обчислювального експерименту ........... 33 3.1 Опис програми ................................................................................................ 33 3.3 Результати обчислювального експерименту ............................................... 52 Висновки .................................................................................................................. 55 Перелік джерел посилання ..................................................................................... 56 Додаток А Лістінг програми .................................................................................. 57 7 ВСТУП Швидкий науковоий прогрес та розвиток техніки в області програмного забезпечення систем та прикладних програмних засобів дає нам можливість для розвитку нових методів фізичного моделювання для різних реальних природ- них процесів, наприклад для таких процесів, як переміщення рідин та твердих тіл в рідинах. Гідродинаміка – розділ фізики, який вивчає рух ідеальних і реальних рідин і газів та їх взаємодію з твердими тілами. У гідродинаміці перш за все здійснюється перехід від реального середовища, яке складається з великої кіль- кості молекул, до абстрактного середовища, для якого існує рівняння руху. Модель рідини – цене існуюче в реальному світі (уявне) тіло, яким при аналізі на теоретичному рівні різних явищ замінюють реальну (дійсну) рідину для того, щоб спростити цей аналіз. Уявна рідинна модель є як правило неповною. Вона може не повністю відображти дійсність, спрощує та схематизує дійсність. Моделювання рідини – це область комп’ютерної графіки, яка використовує засоби обчислювальної техніки для реалістичного моделювання, візуалізації, анімації рідин та інших явищ, пов’язаних з ними. Маючи на вході якусь рідину і геометрію сцени, си- мулятор рідини моделює поведінку і рух рідини в часі. Також мають врахо- вуватись фізичні сили та об’єкти взаємодії, пов’язані з рідиною. Моделювання рідини широко використовується в комп’ютерній графіці. Має застосування в високоточних обчисленнях, кінофільмах і спецефектах. Також широко викори- стовується в комп’ютерних іграх. Вирішення прикладних задач гідродинаміки суден має велике практичне значення при проектуванні кораблів і судів, розробці проектів їх модернізації і переобладнання. Класичні задачі гідродинаміки судна - отримання буксировоч- них характеристик корпусу, відпрацьованих взаємодій корпусу та двигунового комплексу - містять в собі прояви багатообразних фізичних явищ і просторів для теоретичного вивчення. Імовірно, по цим причинам основні методики 8 вирішення таких задач розвиваються в промисловості. Основним з фізичних факторів та чинників, який впливає на рух судна, є течія. У даній роботі я буду розглядати рух судна у воді. Програма за допомогою бібліотек руху рідин надає можливість змоделю- вати рух судна у воді та відобразити результати руху в чисельному та графіч- ному форматі. Дана робота об’єднує знання в таких областях науки як обчислювальна гідродинаміка, комп’ютерна графіка, математичне моделювання. Метою кваліфікаційної роботи є набуття знань та навичок з моделювання гідродинамічних процесів, а також практичне оволодіння технологіями розроб- ки програмного забезпечення для моделей рідин, та руху твердих тіл в рідинах. 9 1 АНАЛІЗ ПРЕДМЕТНОЇ ОБЛАСТІ ТА ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ ДОСЛІДЖЕННЯ 1.1 Аналіз проблеми математичного моделювання гідродинаміки методом гратчастих рівнянь Больцмана Об’єкт аналізу – «Моделювання динаміки проходження судна через канал, з метою недопущення турбулентних завихрень». Предмет аналізу – Судно, яке проходить через канал. Точка зору: дослідник. На виході системи ми повинні отримати модель траєкторії руху судна. На вхід системи ми подаємо параметри судна та середовища в якому воно знахо- диться. Управління системи – математичний алгоритм та мережа Інтернет. Ме- ханізми системи – дослідник та програмне забезпечення. Як відомо, на занурене в рідину тверде тіло, діє сила тиску. Оскільки тиск поступово збільшується при збільшенні глибини занурення, то сила тиску , яка діє на нижню частину тіла і направлена вверх, більша, ніж сила, яка діє на вер- хню його частину і направлена вниз, і ми можемо отримати, що рівнодійна всіх сил тиску направиться вверх. Рівнодійна сила тиску, що діє на тіло, яке занури- лось в рідину, називається - виштовхувальна сила рідини. Виштовхувальна сила, що діє на тіло, частинно або повністю занурене в рідину, являється рівним вазі рідини в об’ємі, який займає тіло (витіснений об’єм), яка направлено вверх і прикладається до центру ваги цього об’єму. Таким чином на наше тіло діють такі сили, як виштовхуюча сила води, сила тя- жіння, сила руху течії та сила руху самого судна (рис. 1.1). 10 Рисунок 1.1 – Сили, що діють на човен у воді Для моделювання динаміки проходження човна через канал використає- мо існуючу програму, яка має відображати графічно рух човна. Течія - це осно- вний фізичний процес, який буде розглядатися в роботі. Весь рух буде відобра- жатися ніби судно пливе неперервно, і на нього діє стала течія. Програма має бути змодельована в 2-D форматі. В роботі буде розглядатися рух судна в гори- зонтальній площині (вид збоку). Дана програма на вході повинна мати такі параметри як - Швидкість течії - Вага човна - Швидкість руху човна без течі Вихідні параметри програми мають бути такими - Швидкість руху човна з течією - Тиск води на човно Інформаційні моделі відображають різні типи систем об'єктів, в яких реа- лізуються різні структури взаємодії і взаємозв'язку між елементами системи. В даному пункті, показано, як створювалась модель руху спортивного чо- вен, з використанням решітчатої моделі Больцмана та бібліотеки OpenLB. Весь процесс включає в себе такі основні кроки: 1 крок. Ініціалізація. На цьому кроці встановлюються перетворення між фізичними та решітковими блоками. Він також визначає, де зберігаються дані 11 моделювання і який тип решітки використовується. 2 крок. Підготовка геометрії. Сітка створюється і ініціалізується на основі заданої геометрії. 3 крок. Підготовка решітки. На цьому кроці у відповідності з номерами матеріалу геометрії встановлюється динаміка решітки. Цей крок характеризує модель зіткнення і поведінку кордону вибраної моделі. 4 крок. Визначення початкових і граничних умов. Ця функція задає пові- льно зростаючу граничну умову припливу води. Оскільки границя залежить від часу, це відбувається в основному циклі. Межі можуть залишатися незмінними протягом всього моделювання. 5 крок. Обчислення та виведення результатів. 6 крок. Графічне відображення руху судна в річці. За допомогою графіч- них бібліотек С+ таких як QT, та OpenGL, будується графічний інтерфейс та малюються основні складові програми. Малюється судно, течія, земля, повітря. З використанням результатів мо- делювання записаних в файли графічно відображається рух судна. 1.2 Аналіз сценаріїв вирішення проблеми математичного моделювання гідро- динаміки методом гратчастих рівнянь Больцмана Метод гратчастих рівнянь Больцмана є ефективним при моделюванні ба- гатофазових, багатокомпонентних течій та течій у пористих середовищах з ма- лими числами Рейнольдса Re 10. Однак, незважаючи на зростаючу популяр- ність, ще існують такі проблеми: 1. Значний час розрахунків, що істотно збільшується із зростанням числа Рейнольдса; 2. Умовна стійкість чисельної схеми. Ці проблеми ускладнюють отримання чисельних розв’язків для течій із помірними числами Рейнольдса Re10 2 та унеможливлюють моделювання при 12 великих числах Re>10 3 . Для їх часткового усунення при малих числах Рейно- льдса Re10 використовують, наприклад, схеми із декількома параметрами ре- лаксації в інтегралі зіткнень частинок або неявні схеми. Стійкість чисельної схеми методу LBM досліджувалась аналітично Scordos P. [1], He X. [2], L. Luo [3], D. Wolf-Gladrow [4], А. Л. Куперштох [5] та іншими. В цих роботах доведено, що метод є умовно стійким за параметром ре- лаксації та значеннями швидкості, та збігається до рівнянь Нав’є-Стокса та не- розривності при малих величинах кроку по часу та граткового числа Маха. Нестійкість чисельного розв’язку може бути викликана одним із факторів: 1. Збільшення граткового числа Маха. Кінетичне рівняння Больцмана апроксимує рівняння Нав’є-Стокса тільки за малими числами Маха М р 0,3. 2. Зменшення параметра релаксації. «Безпечним» значенням (за S. Sucop [51]) є 1. Зменшення викликає нестійкість: частинки скупчуються у деяких комірках, що приводить до виникнення пульсацій у полі швидкостей; 3. Збільшення швидкості. Чисельна модель передбачає моделювання нестисливих течій із малими швидкостями (меншими за граткову швидкість звуку) 4. Зростання числа Рейнольдса. Із збільшенням числа Рейнольдса течії стають турбулентними (згідно досліджень Г. Шліхтинга, Л. Г. Лойцянського). Для подолання нестійкості чисельного розв’язку, крім подрібнення ро- зрахункової сітки, на практиці використовують схеми з декількома параметрами релаксації [6] або застосовують неявні варіанти LBM [7]. На жаль, ці підходи призводять до значного збільшення часу моделюван- ня. Причому, при використанні неявних схем виникають певні складнощі із за- стосуванням технологій паралельних обчислень, що нівелює одну із переваг методу. 13 Рисунок 1.2 – Пульсації у полі швидкостей при R e = 1000 1.3 Змістовна постановка задачі Розробка призначена для створення моделі руху судна в каналі. Розробка в подальшому може бути розширена та використана для моделювання різних гідродинамічних процесів на реальних об’єктах. 1.4 Формальна постановка задачі Вирішення прикладних задач гідродинаміки суден має велике практичне значення при проектуванні кораблів і судів, розробці проектів їх модернізації і переобладнання. На виході системи ми повинні отримати модель траєкторії руху судна. На вхід системи ми подаємо параметри судна та середовища в якому воно зна- ходиться. Для моделювання використовується гратчасті рівняння Больцмана, на основі рівняння Нав’є-Стокса. 14 3 3 3 3 , , ( , , ) coll f f r vdt v dt t dt d rd v f r v t d r d v dN m (1.1) де m - маса молекули; coll dN - зміна числа частинок в пучку за рахунок зіткнень. р (1.2) де - щільність рідини; р - тиск в рідині; f - зовнішні сили. Для моделювання руху судна задаються наступні значення: v течії , мс – швидкість течії; суднам с – швидкість судна судна, Па – густина судна, води, Па – густина води, m, кг – вага судна. 15 2 ВИБІР ТА ОБҐРУНТУВАННЯ МЕТОДА РОЗВ’ЯЗАННЯ 2.1 Огляд існуючих методів задач моделювання гідродинаміки Вирішення прикладних задач гідродинаміки суден має велике практичне значення при їх проектуванні, модернізації і переобладнання. Класичні задачі гідродинаміки судна – отримати буксировочні характеристики корпусу, гідро- динамічних характеристик двигунів, відпрацьованих взаємодій корпусу та дви- гунового комплексу. Задачі містять прояви різних фізичних явищ і просторів для теоретичного вивчення. Імовірно, за цих причин основні методики вирі- шення таких задачу суднобудівній промисловості розвинулися як розрахунко- во-експериментальні, що базуються на схемі часткового моделювання. Створення моделей на компютерах є одним з найбільш поширених засо- бів для дослідженя складних динамічних систем. Моделювання на компютерах дає нам можливість вивчати системи, реальні експерименти з якими через важ- кість або велику ціну є неефективними, а також робити експеременти обчис- лення із системами, які починають проектуватися. Проте завдяки наближеннос- ті за формою до моделювання фізичних явищ, даний метод досліду являється доступним великому колу користувачів. Під простою системою динамічного моделювання розуміють таку систему, що її поведінка задається деякою сукупністю простих диференціальних рі- внянь у звичайній формі Коші з достатньо гладкою правою частиною, що мо- жуть забезпечити існування та єдиний розв’язок. Процес знаходження деякого розвязку для систем рівнянь у нормальній формі Коші – звичайна задача обчис- лювальної техніки, яка можу бути записана у формі простих диференціальних рівнянь. Складнішою являється модель, що представлена нелінійними алгебраїч- ними рівняннями та системою звичайних диференціальних рівнянь у формі Коші. Задача числової побудови траєкторії по фазі такої системи значно склад- ніша, та, оскільки сукупність нелінійних рівнянь являється однозначно 16 розв’язною в кожній точці і кожна права частина диференціального рівняння є достатньо гладкою, то її також можна розвязати. Різницеве рівняння і системи рівнянь являються більш ефективними у тому випадку випадку, коли зміна процесу відбувається дискретно, або ж "стрибкоподібною формою. Динамічний процес, що відбувається по такому принципу зустрічається в економіці, банківській справі, онкології. При дослі- дженні таких фізичних процесів у гідромеханіці більш поширено математичний апарат з рівняннями з частинними похідними. Рівняння з частинними похідни- ми з успіхом використовуються при моделюванні динаміки руху рідини та газу у відкритому просторі, розподілу тепла та поверхонь з обмежуючими оболоно- ками. У такому математичному моделюванні динамічних систем виділяють такі три основні частини: Емпірична частина. Вона містить інформацію з певинних джерел та данні отримані в практичному експеременті та в спостереженнях, а також інфо- рмацію з первинної систематизації. Теоретична частина розглядає деякі загальні концепції, що дозволя- ють об’єднувати й пояснювати емпіричні закони та явища. Математична частина створює методи для обробки спостережень та експерементів та модель для перевірки основних теоретичних концепцій. Математичне моделювання більш узагальнює та конкретизує дані експе- рементів та накопичує фактичний матеріал. Для побудови змістовних математичних моделей нам необхідно мати до- кладноу природничу та наукову інформації про механізми функціонування сис- теми. Основним принципом, що може бути використаним при побудові таких моделей – це універсальний закон збереження. Подібність закономірностей просторово-часової організації та математичного опису являється наслідком подібності до кінетичних процесів взаємодії в екологічних системах. Важливою перевагою методів моделювання динамічних систем можна назватите, що вони дозволяють різко скоротити обсяг і масштаби реальних екс- 17 периментів. Розглянемо такі методи математичного моделювання як 1. Рівняння Нав'є-Стокса 2. Кліткові автомати. 3. Решітчасте рівняння Больцмана. 2.2 Рівняння Нав'є-Стокса У простому, нестисливого, випадку (рівняння Ньютона для гідродинамі- ки) для опису поведінки рідини необхідно врахувати тільки два закони: збере- ження маси і імпульсу. Більш повні моделі доповнюються збереженням енергії, турбулентними і конвективними приближеннями і іншими законами. У разі об- ліку в'язкості, конвекції, залежність щільності тільки від температури. р (2.1) де - щільність рідини; р - тиск в рідині; f - зовнішні сили. У систему рівнянь Нав'є-Стокса в разі наявності градієнта температур включається рівняння стану. Отже, система рівнянь Нав'є-Стокса є класичною основою моделювання рідких середовищ. Основні труднощі чисельного рішення в класичному підході - пошук поля тисків, пов'язаних зі значними обчислювальними труднощами. Більш того, наявність або відсутність спільного рішення системи для тривимір- ного випадку є однією з математичних "проблем тисячоліття". 18 Існує досить мала кількість моделей, для яких отримані точні рішення (течія Пуазейля, Куетта і ін.). Ще більші складності виникають при необ- хідності моделювання багатофазності і багатокомпонентності. 2.3 Кліткові автомати Різні мікроскопічні взаємодії призводять до того, що вони будуть мати макроскопічні рівняння. Цей факт являється відправною точкою для розвитку кліткових автоматів решіткового газу (КАРГ. Крім реальних газів або реаль- них рідин, можна розглядати штучні мікро-світи частинок які живуть на реші- тках з взаємодіями, зберігаючими масу та імпульс. Мікродинаміка таких шту- чних мікро-світів повинна бути простою для того, щоб ефективно реалізувати її на комп'ютері. Розглянемо, наприклад, квадратну решітку з чотирма клітка- ми в кожному вузлі, так щоб одна клітка асоціювалася з кожним переходом на наступний сусідній вузол. Ці клітки можуть бути пустими або зайнятими не більше ніж однією частинкою з одиничною масою m = 1. Таким чином, кожна клітка має тільки два можливих стану і, відповідно називається клітковим автоматом. Швидкість та імпульс можуть бути віднесе- ні до кожної частинки, як вектор, з’єднуючий вузол з його наступним сусіднім вузлом вздовж переходу, де знаходиться частинка. Ці вектори називаються решітковими швидкостями. Мікроскопічна взаємодія є строго локальною в тому, що вона включає в себе тільки частинки, розташовані на одному вузлі. Ча- стинки обмінюються імпульсами при збереженні маси та імпульсу сумарно над кожним вузлом. Після цього зіткнення кожна частинка поширюється вздовж відповідного переходу до її наступного сусіднього вузлу. Мікродина- міка складається з повторень зіткнень і поширення. Макроскопічні значення маси та щільності імпульсу розраховуються шляхом грубої зернистості (розрахунок середніх значень на великих просторо- вих областях від сотень до тисяч вузлів). 19 Кліткові автомати можуть характеризуватися такими параметрами 1. К - складаються з регулярно розташованих окремих комірок того ж самого виду. 2. Кожна комірка містить кінцеве число дискретних станів. 3. Стани оновлюються одночасно (синхронно) в дискретному часі. 4. Правила поновлення детерміновані і універсальні в просторі і в часі. 5. Правила для еволюції комірки залежать тільки від локального оточен- ня комірки. Не всі ці критерії завжди виконуються. Комірки можуть бути розташо- вані, наприклад, в вузлах (квазоперіодичної) решітки Пенроза (Пенроз, 1974,1979) або навмання (Маркус і Гесс, 1990). Випадкове поєднання комірок було запропоновано Річардом Феінменом (Hillis, 1989). Правила обновлення певного К включають імовірнісні елементи. Формальне визначення К слідує за Kutrib і ін. (1997). Осередки можуть бути представлені розташованими в цілочисленних точках D-вимірної решітки . Кінцевий набір можливих станів кожної з комірок однаковий і буде позначений Q. Наприклад, Q = {0,1} в випадку двійкового автомата. Стан комірки i на новому рівні t + 1 часу залежить від станів комірок j в кінцевому оточенні на часвому рівні t. Елементи повинні бути інтерпретовані як відносні координати су- сідніх комірок (з (0 ..., 0) як відносна координата комірки i). Оточення N може бути інтерпретовано як з'єднання між комірками. Відображення l: нази- вають локальною конфігурацією. Ми також будемо позначати фактичний стан околиці N, як локальну конфігурацію. Воно містить повну інформацію для обновлення комірки. Режим роботи комірки повністю визначений її локальним правилом , де - набір всіх відображень . Оновлення К викликають гомогенним, коли ото 20 чення N і N' комірок i та i' відображаються один на одного при переході і колите ж саме локальне правило застосовано до всіх комірок. Глобальну конфігурацію К (тобто ансамбль стану всіх комірок) в пев- ний момент часу називають глобальною конфігурацією. К працює в дискретному часі. Глобальна конфігурація g на тимчасовому рівні t призводить до но- вої глобальної конфігурації g' на тимчасовому рівні t + 1, за допомогою чого всі комірки вводять новий стан згідно локальному правилу синхронно. Відпо- відне глобальне правило - відображення Одномірні кліткові автомати складаються з деякого числа універсальних комірок, розташованих як ланцюжок комірок на рядку. Якщо не задано інакше масиви з кінцевим числом комірок і періодичними граничними умовами, бу- дуть досліджені, тобто ланцюжки комірок формують щось на подобі намиста рис. 2.1). Стани всіх комірок формують (глобальну) конфігурацію К. Рисунок - 2.1 Одномірні кліткові автомати з двома можливими станами на комірку: пустий, або зайнятий (відмічений з хрестом) Стан комірки i на тимчасовому рівні t визначається як . Кінцеве число можливих станів . Маркований невід'ємними цілими числами від 0 до k-1, тобто (математики викликають набір цілих чисел k по модулю залишковим класом ). Стан кожногї комірки в момент часу є результатом ітерації відображення: (2.2) 21 Іншими словами стан ї комірки на новому рівні часу t залежить тільки від стану ї комірки та r (оточуючих) сусідів зліва і справа на попередньому часовому рівні (t-1). Довільна (в загальному випадку нелінійна) функція F ви- кликається правилом автомата, правилом обновлення або просто правилом. Альтернативне представлення функції (2.3) має вигляд: (2.3) де - цілочисельні константи, і таким чином у функції f є єдине ціле число як параметр. Розгляньте К з k = 2 можливих станів на комірку і діапазоном r = 1. Можливі комбінації параметрів правила F автоматів перераховані в таблиці 1.1 Таблиця 2.1 – Можливі комбінації параметрів правила F автоматів 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 2 0 1 0 0 3 0 1 1 0 4 1 0 0 1 5 1 0 1 0 6 1 1 0 0 7 1 1 1 0 Є 8 різних комбінацій (в загальному випадку: ). Множина 22 (стовпці з го пой в таблиці 2.1) може бути представлено у вигляді двійкового числа, оскільки комбінація двійкових розрядів (з найвищим бітом зліва) в двійковому поданні призводить до чисел від 0 до 7 (перерахований в першому стовпці). В останньому стовпці Таблиці 1 одне з можливих правил дано в табличній формі. Воно являє собою певну послідов- ність нулів і одиниць, які також можуть бути інтерпретовані як двійкове подан- ня цілого числа. Кожна комбінація двійкових розрядів довжини 8 відповідає правилу автомата. Тому звідси випливає, що там існують 2 8 = 256 різних правил в загальному випадку: ). К розмірності 1D з оновленням правил, що за- лежать тільки від самої комірки безпосередньо і від сусідніх комірок, суміжних з даною зліва і права, називається елементарним клітковим автоматом [9]. Класичний клітковий автомат – це впорядкований набір комірок. У зага- льному випадку розглядається n-мірна решітка. Проте на практиці найчастіше для дослідження використовуються кліткові автомати малої розмірності – з одно або двомірними решітками. Структура просторової решітки залежить від форми комірок, з яких вона складається. Наприклад, у двомірному випадку, можна розглядати комірки трикутної, квадратної, шестикутної форм (рис. 2.2). Слід зазначити, що найбільшої популярності набули кліткові автомати, в яких клітки є квадратними, а решітка – прямокутна. Рисунок 2.2 – Кліткові автомати трикутної, квадратної та шестикутної форм 23 Варто зауважити, що виділяють два напрями розвитку кліткових автома- тів: 1) кліткові автомати як засіб моделювання; 2) кліткові автомати як самостійний об’єкт дослідження. Кліткові автомати прості у використанні для моделювання складних про- цесів та об’єктів і використовуються у різноманітних галузях науки. Проте є і певні негативні моменти, які стримують розвиток цього методу моделювання [10]. Кліткові автомати мають такі недоліки як - Неізотропний терм адвекції - Порушення інваріантності Галілея - Побічні інваріанти - Шум - Тиск залежить явно від швидкості 2.4 Гратчасті рівняння Больцмана Гратчасті моделі Больцмана (LBM) – це методи для моделювання потоків рідини, які відрізняються від молекулярної динаміки (МД) з однієї сторони, і методів, заснованих на дискретизації диференціальних рівнянь у частинних по- хідних з другої сторони. Розглянемо основну ідею цього підходу і її відмінність від інших методів. Це рівняння оперує функцією розподілу щільності ймовірності частинок по координатам і швидкостями , , f r v t . Величина , , , , , , ) ( x y z f x y z v v v t dx x y z dy dz dv dv dv показує, яка частка частинок в момент часу знаходиться в кубі від x до x x d , від y до y y d , від z до z z d зі швидкостями в діапазоні від x v до x vx v d , від y v до y vy v d , від z v до z vz v d 24 Ця функція зазвичай нормується на масу газу в досліджуваній системі, тому макроскопічна щільність газу в кожній точці визначається як сума (інтег- рал) від щільності ймовірності в даній точці по всіх можливих значеннях швид- кості. Основна ідея для виведення рівняння схожа на висновок рівняння Нав'є- Стокса. Давайте подумки виділимо в даний момент часу в даному невеликому обсязі пучок молекул, що летять в даному напрямку (точніше, вузькому конусі напрямків). Через невеликий проміжок часу dt вони виявляться в сусідній точці (завдяки наявності швидкості), їх швидкість сама по собі зміниться через прис- корення молекул зовнішніми силами. Крім того, на цьому відрізку шляху деякі молекули зіткнуться з іншими, змінять свою швидкість, і ми більше не зможемо включати їх в вихідний пучок. З іншого боку, в результаті зіткнень молекул в тому ж обсязі, що летять в іншу сторону, деякі з них придбають потрібний на- прямок швидкості, і ми додамо їх в пучок. Це можна записати в наступному ви- гляді: 3 3 3 3 , , ( , , ) coll f f r vdt v dt t dt d rd v f r v t d r d v dN m (2.4) де m - маса молекули; coll dN - зміна числа частинок в пучку за рахунок зіткнень. Величина coll dN знаходиться за наступною формулою 3 3 eq f f d rd vdt (2.5) де eq f m - рівноважна функція розподілу, розподіл Максвелла- Больцмана; - час релаксації. 25 У результаті отримуємо 3 3 , , ( , , ) eq f f d rd vd f f r vdt v dt t dt f r v t t m (2.6) |