Лабораторная работа Исследование различных моделей дифракции света на отверстии в плоском экране Вариант 2 Цель работы
 Скачать 0.63 Mb.
|
|
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 1. Исследование различных моделей дифракции света на отверстии в плоском экране Вариант 2 Цель работы: а) определить размеры дифракционного отверстия и длины световой волны на основании модели дифракции Фраунгофера, измеренного распределения поля дифракции в зоне Фраунгофера. б) исследовать зависимость погрешностей дифракционных моделей от размеров области наблюдения поля дифракции; 1 Краткие теоретические сведения Рассмотрим задачу, связанную с расчетом дифракционной картины для монохроматического света, прошедшего сквозь отверстие Σ конечных размеров в бесконечном непрозрачном экране, расположенном в плоскости (х1у1) (рисунок 1). Предполагается, что область наблюдения дифракционной картины расположена в плоскости (х0, у0), параллельной плоскости (x1y1) и отделенной от нее слоем пространства толщиной z. Необходимо рассчитать поле дифракции в точке Р0.  Рисунок 1 – Геометрическая схема дифракционной задачи Распределение интенсивности света в точке наблюдения в рамках скалярной теории дифракции в приближении Рэлея-Зоммерфельда описывается следующей формулы:  (1)где   -распределение комплексной амплитуды поля в плоскости наблюдения(х0,у0); - распределение комплексной амплитуды светового поля в отверстии Σ;  представляет собойимпульсный отклик слоя пространства толщиной z и записывается в виде:  , (2)где λ - длина волны;  - волновое число;   -косинус между вектором  и вектором ( - единичный вектор, перпендикулярный плоскости отверстия Σ и сонаправленный с осью z). Дифракция Френеля основана на дифракции Релея-Зоммерфельда с рядом допущений: -расстояние z между отверстием и плоскостью наблюдения значительно превышает максимальный линейный размер отверстия Σ; -в плоскости наблюдения дифракционная картина рассматривается в области, линейные размеры которой существенно меньше расстояния между плоскостями (x1y1) и (х0, у0). С учетом сделанных допущений можно считать, что с погрешностью не более 5% значение, если угол  не превышает 18°. При этом в знаменателе выражения (2) величина r01 будет лишь незначительно отличаться от z.С учетом данного приближения, которое получило название приближения Френеля, функция h запишется в виде:   . (3)Для обеспечения высокой точности расчетов необходимо накладывать ограничения на z:  . (4)Используя приближение Френеля, интеграл суперпозиции (1) можно представить в виде:   . (5)Выражение (5) еще более упрощается, если на величину расстояния z до плоскости наблюдения накладывается более жесткое ограничение, чем в случае приближения Френеля. Это ограничение определяется соотношением:  , (6)где  - квадрат максимального размера отверстия в плоскости (x1y1).В этом случае распределение поля в плоскости наблюдения (х0, у0) можно найти из (5)с точностью домножителя перед интегралом как Фурье-образ распределения поля в отверстии Σ в плоскости (x1y1), т.е.   . (7)Область наблюдения, для которой выполняется условие (6), в отличие от ближней области Френеля, получила название области (зоны) Фраунгофера или дальней зоны излучения. Приближение Фраунгофера (7) является достаточно жестким. Так, например, для прямоугольного отверстия, освещенного нормально падающей (вдоль направления оси z) монохроматической волной единичной амплитуды, распределение интенсивности в дальней зоне запишется в виде:  , (8)где A и B - размеры прямоугольного отверстия; функция sinc(f) – это функция вида [sin(f)]/f. 2 Выполнение работы Для начала работы запускаем программу ReleySommerfeld.exe и выбираем 2 вариант. Параметры для данного варианта представлены на рисунке 2.  Рисунок 2 – Параметры варианта Далее при установке варианта программа выдает два графика с пространственным распределением света в дальней зоне при заданном расстоянии z.  Рисунок 3 – График с пространственным распределением света в дальней зоне (Figure1)  Рисунок 4 – График с пространственным распределением света в дальней зоне (Figure 2) Проведем измерение размеров дифракционного отверстия в плоском экране, для этого переведем Figure1, представленный на рисунке 3, в плоскость X-Y и приравняв для первой точки координату X, а для второй координату Y к нулю, находим координаты Y и X, соответственно, по первому минимуму интенсивности от центра графика. На рисунке 5 представлены найденные точки для первого графика.  Рисунок 5 - График с пространственным распределением света в дальней зоне (Figure1), плоскость X-Y Найдем размеры отверстия по рисунку 5. Данные для расчета необходимо взять из рисунка 5 и воспользуемся формулой 8. По рисунку 5 видно, что в указанных точках интенсивность минимальна и приближенно можно считать, что она равна нулю. Тогда из (8) получаем:  ,  , (9)Находим размеры отверстия по формуле 9:   Для второго распределения интенсивности (Figure2) сделаем все тоже самое, что и в первом случае, и найдем координаты первых минимумов этого распределения (рисунок 6).  Рисунок 6 - График с пространственным распределением света в дальней зоне (Figure 2), плоскость X-Y Воспользовавшись формулой (9) с заменой в ней λ1на λ2. Рассчитаем длину волны:  Введя необходимые данные в программу, построим график распределения интенсивности в приближениях Релея-Зоммерфельда и Фраунгофера. На рисунках 7 и 8 представлено окно программы с построенными в ней графиками (в сечениях плоскостями XZ и YZ.)  Рисунок 7 – Графики распределения Релея-Зоммерфельда и Фраунгофера с границами -100 – 100  Рисунок 8 – Графики распределения Релея-Зоммерфельда и Фраунгофера с границами 0 - 50 с шагом 0.25 Затем построим график распределения интенсивности в приближениях Релея-Зоммерфельда и Френеля. На рисунке 9 представлено окно программы с построенными в ней графиками (в сечениях плоскостями XZ и YZ.)  Рисунок 9 – Графики распределения Релея-Зоммерфельда и Френеля с границами 0 - 50  Рисунок 10 – Угловые координаты экстремумов Релея-Зоммерфельда и Фраунгофера  Рисунок 11 – График относительной погрешности приближения Фраунгофера по отношению к приближению Релея-Зоммерфельда.  Рисунок 12 – Угловые координаты экстремумов Релея-Зоммерфельда и Френеля  Рисунок 13 – График относительной погрешности приближения Френеля по отношению к приближению Релея-Зоммерфельда. 3 Вывод Из предоставленных графиков видно, что относительная ошибка положений трёх первых боковых экстремумов (максимумов или минимумов) на графиках распределения интенсивности излучения для этих приближений по отношению к приближению Рэлея-Зоммерфельда лежит в интервале 4,5 – 5%. 4 Расчётные домашние задания Задание 1 Найти нижние границы зон Френеля и Фраунгофера для дифракции плоской электромагнитной волны с длиной λ на прямоугольном отверстии с размерами А (по оси Х) и В (по оси Y) (табл. 1). Считать, что на нижних границах обеих зон ошибка в фазе поля составляет π/9 рад. Таблица 1 Варианты исходных данных для выполнения задания 1
Что бы найти нижние границы зон Френеля, необходимо воспользоваться формулой (4):    Что бы найти нижние границы зон Фраунгофера, необходимо воспользоваться формулой (6):   Таким образом нижняя граница зоны Френеля равна 10,9 мкм при данных условиях, а нижняя граница зоны Фраунгофера 43.6 мкм. Задание 2 На рисунке 13 показаны два одинаковых прямоугольных отверстия Σ1 и Σ2 размерами А×В = 6×4 мкм, расположенных в бесконечном непрозрачном плоском экране, совпадающем с плоскостью XY прямоугольной системы координат. Центр отверстия Σ1 находится в начале системы координат. Центр отверстия Σ2 смещён в точку с координатами (x0, y0). Отверстие Σ2 возбуждается плоской монохроматической волной с длиной λ, распространяющейся параллельно оси Z (ось Z направлена перпендикулярно к плоскости рис. 13 от наблюдателя). Отверстие Σ1 возбуждается такой же плоской монохроматической волной с длиной λ, но распространяющейся под некоторым углом θ к оси Z. Направление единичного вектора волновой нормали данной волны можно задать двумя угловыми координатами θ и φ в сферической системе координат, совмещённой с декартовой системой координат на рисунке 13 так, что угол θ отсчитывается от оси Z (как уже было сказано выше), а угол φ отсчитывается от оси Х в направлении оси Y. Обе волны имеют единичную амплитуду и создают в пределах отверстий поля возбуждения, которые и формируют дифракционные поля в области наблюдения на некотором расстоянии за экраном. В отверстии Σ1 падающей волной формируется возбуждающее поле с единичной амплитудой, но с линейным законом изменения фазы по осям X и Y, описываемым математическим выражением  (12)где k = 2π/λ – волновое число. В отверстии Σ2 падающей волной формируется синфазное поле возбуждения с единичной амплитудой, комплексную амплитуду которого можно представить в следующем виде:   Рис. 13. Положение дифракционных отверстий в бесконечном плоском непрозрачном экране Значения исходных данных для разных вариантов задания приведены в таблице 2. Опираясь на данные, приведенные в таблице 2, рассчитать и построить на одном графике картины дифракционных полей, создаваемых обоими отверстиями в плоскости наблюдения (параллельной плоскости XY) на нижней границе зоны Френеля, определяемой так же, как и в первом задании. Определить также при каких значениях углов θ и φ главные максимумы дифракционных полей от обоих отверстий совпадут в плоскости наблюдения. Сравнить и объяснить различия между построенными в данном задании дифракционными картинами и аналогичной картиной для такого же синфазно и равномерно возбуждённого прямоугольного отверстия, расположенного в начале системы координат (см. [1], п. 1.2.7) Расчёты и построение графиков дифракционных картин провести в системе Mathcad. Необходимые для расчётов формулы можно найти в учебнике [1] (п. 1.2.6). При сдаче допуска к выполнению лабораторной работы представить построенные графики и распечатки текстов вычислительных программ в системе Mathcad. Таблица 2 Варианты исходных данных для выполнения задания 2
Минаев А.Ю. Окорочков А. И. Провер. Листов Дата Подпись № докум. Лист Изм Лист Лит Разраб. Н.контр. Утв. ОУОИ. 000.000 ЛР Лабораторная работа № 1 Кафедра «РЭСиК» ТРТ-Tg21 |