Лабораторная работа №1 «Моделирование случайных чисел с заданным законом распределения». Лабораторная работа 1 Моделирование случайных чисел с заданным законом распределения

• Название: Лабораторная работа 1 Моделирование случайных чисел с заданным законом распределения
• Анкор: Лабораторная работа №1 «Моделирование случайных чисел с заданным законом распределения
• Дата: 11.09.2022
• Размер: 3.56 Mb.
• Имя файла: MU_Matematicheskaya_stastistika_LZNo_1-5_3sem_1-8_4_sem.pdf
• Тип: Лабораторная работа; #670992
• страница: 8 из 8

Лабораторная работа №8. Метод наименьших квадратов.
Построение конкретных нелинейных моделей
8.1 Нелинейная регрессия
В лабораторной работе №8 мы имели дело с частным случаем регрессии - линейной регрессией. Теперь рассмотрим общий случай и общую постановку задачи регрессионного анализа.
Пусть имеется выборка
)
Y
,
(X
),
Y
,
((X
=
Y)
(X,
2 2
1 1
,
))
Y
,
(X
),...,
Y
,
(X
n n
2 2
из распределения случайной величины
 




,
. И пусть известно, что случайные величины

и

зависимы. Важное прикладное значение имеет задача о представлении одной из этих величин как функции от другой.
Проведение регрессионного анализа можно разделить на три этапа: выбор формы зависимости (типа уравнения), вычисление параметров выбранного уравнения, оценка достоверности полученного уравнения.
Выбор вида уравнения регрессии производится на основании опыта предыдущих исследований, наблюдений расположения точек
)
Y
,
(X
i i
на плоскости и т.д.
Обозначим через
 

,
x f
функцию задающую зависимость среднего значения  от значений

(здесь
)
,...,
(
=
k
1



- вектор параметров):

  





,
x f
x
/
M
Уравнение
 


,
x f
y называется уравнением регрессии.
Для определения неизвестных параметров k
1
,...,


можно использовать метод наименьших квадратов.
Суть этого метода состоит в том, что наилучшим считается такое положение линии регрессии, при котором сумма квадратов отклонений значений



,
X
f i
от соответствующих Y
i минимальна.
Метод состоит в минимизации функции

116
 










n
1
i
2
i i
,
x f
y
Q
Приведем пример построения нелинейной регрессии с использованием метода наименьших квадратов.
Пусть при проведении эксперимента получены следующие значения величин x и у:
Считая справедливой зависимость


x
D
0 1
e
D
D
,
x y

, находим неизвестные параметры D
0
и D
1
c помощью метода наименьших квадратов. В результате получаем следующее уравнение регрессии:
79x
0
-
500.1e
=
у
Текст программы, реализующей построение уравнения регрессии приведен на рисунке 8.1. В данной программе для минимизации функции
Q(D)
используется встроенная функция
Minerr(). Однако минимизацию можно провести известным методом исследования функции нескольких переменных на экстремум с помощью дифференциального исчисления.
Рисунок 8.1 - Построение уравнения регрессии с помощью метода наименьших квадратов x 6 6.1 6.3 6.5 6.7 7 7.5 8 8.2 8.5 y 4.5 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.7 0.5

117
8.2
Задание к лабораторной работе
В файле regrV.txt (V - это номер вашего варианта) в виде матрицы задана выборка
Y)
(X,
. Первый столбец матрицы - значения
X, второй столбец - соответствующие значения Y.
1.
С помощью метода наименьших квадратов построить уравнения регрессии, считая справедливыми следующие формы зависимости y от x: а)
(bx)
sin a
=
y
, б) bx log
=
y a
, в)
2 2
1 0
x а
+
x а
+
а
=
y
Поиск минимума функции
Q(D)
проводить, исследуя эту функцию на экстремум с помощью частных производных.
2.
На одном графике изобразить исходные данные и полученные линии регрессии. Сделать вывод о том, какая из функций наилучшим образом представляет зависимость у
от x

118
Приложение А
Некоторые параметрические семейства распределений
1.
Равномерное распределение b
a,
U
. Функция плотности распределения и моменты распределения:
 
 
 








b
,
a t
,
0
,
b
,
a t
,
a b
1
t u
b
,
a
,


12
a b
DX
,
2
a b
MX
2




2.
Показательное распределение

E
. Функция плотности распределения и моменты распределения:
 










,
0
t
,
0
,
0
t
,
e t
e t
2 1
DX
,
1
MX




3.
Гамма-распределение



,
Функция плотности распределения:
 




















,
0
,
e x
1 1
x x
1
,
,
0
x
0
x


0
,
1





Моменты распределения:




1
DX
,
1
MX
2








4.
Распределение Пуассона


0




:
















DX
,
MX
,
2
,
1
,
0
m
!
m e
m m

5.
Геометрическое распределение p
G
:

 

 

,
2
,
1
,
0
k
,
1
,
0
p
,
p p
1
k
X
P
k






119 2
p p
1
DX
,
p p
1
MX




6.
Биномиальное распределение n
p
B
:



 

,
n k
0
p
1
p
C
k
X
P
k n
k n
k








p
1
np
DX
,
np
MX



7.
Нормальное распределение
2
a,
N

. Функция плотности распределения и моменты распределения:
 


2 2
a x
DX
,
a
MX
,
e
2 1
x f
2 2









8.
Бета-распределение n
,
m

Функция плотности распределения:
 


   
















,
0
,
x
1
x n
m n
m x
1
n
1
m n
,
m
 
 
1
,
0
x
1
,
0
x


где m > 0, n > 0.
Моменты распределения:

 

1
n m
n m
mn
DX
,
n m
m
MX
2






9.
Логарифмически нормальное
(логнормальное) распределение. Функция плотности распределения:
 













,
0
,
e
2
x
1
x l
2 2
2
a x
ln
0
x
,
0
x


Моменты распределения:
 
1
e e
DX
,
e
MX
2 2
2
a
2
a
2










120 10. Распределение
2
n

Функция плотности распределения:
 
















0
e x
2
n
2 1
x h
2
x
1 2
n
2
n n
0
x при
,
0
x при




,

,
2
,
1
n 
Моменты распределения: MX = n, DX = 2n.
11. Распределение Стьюдента T
k
. Функция плотности распределения:
 











,
2
,
1
k
,
k
/
x
1 1
2
/
k
2
/
1
k k
1
x t
2
/
1
k
2
k









 



2
k
,
2
/
k
1 2
/
k
2
/
3
k
DX
;
0
MX








12. Распределение
Фишера F
k
,
m
Функция плотности распределения:
 





 
 



0
m
,
k
;
0
x
,
m
/
kx
1
x
2
/
m
2
/
k
2
/
m k
m k
x f
2
/
m k
1 2
/
k
2
/
k m
,
k



















 

4
m
,
4
m
2
m k
2
m k
m
2
DX
;
2
m
,
2
m m
MX
2 2
2









13. Распределение
Коши
K
m
,
n
Функция плотности распределения:
 











n
,
0
m
,
n x
m m
1
x k
2
n
,
m
MX
и
DX
не существуют.

121
Приложение Б
Таблица 1 - Квантили стандартного нормального распределения

T
Таблица 2 - Квантили распределения Стьюдента k
p,
t k p = 0.750 p = 0.900 p = 0.990 p = 0.999 1
1.000 3.078 31.821 318 2
0.816 1.886 6.965 22.3 3
0.765 1.638 4.541 102 4
0.741 1.533 3.747 7.173 5
0.727 1.476 3.365 5.893 6
0.718 1.440 3.143 5.208 7
0.711 1.415 2.998 4.785 8
0.706 1.397 2.896 4.501 9
0.703 1.383 2.821 4.297 10 0.700 1.372 2.764 4.144 11 0.697 1.363 2.718 4.025 12 0.695 1.356 2.681 3.930 13 0.694 1.350 2.650 3.852 14 0.692 1.345 2.624 3.787 15 0.691 1.341 2.602 3.733 20 0.687 1.325 2.528 3.552 30 0.683 1.310 2.457 3.385 40 0.681 1.303 2.423 3.307 60 0.679 1.296 2.390 3.232 80 0.677 1.289 2.358 3.160
∞ 0.674 1.282 2.326 3.090
ε
T
ε
ε
T
ε
0.010 0.025 0.050 0.100 0.150 0.200 2.3263 1.9600 1.6449 1.2816 1.0364 0.8416 0.250 0.300 0.350 0.400 0.450 0.500 0.6745 0.5244 0.3853 0.2533 0.1257 0.0000

122
Таблица 3 - Квантили распределения
2
k
,


k
α = 0.010 α = 0.025 α = 0.05 α = 0.10 1
0.00016 0.00098 0.00393 0.01580 2
0.0201 0.05060 0.1030 0.2110 3
0.1150 0.2160 0.3520 0.5840 4
0.297 0.484 0.711 1.106 5
0.554 0.831 1.150 1.161 6
0.872 1.240 1.640 2.200 7
1.240 1.690 2.170 2.830 8
1.650 2.180 2.730 3.490 9
2.090 2.700 3.330 4.170 10 2.560 3.250 3.940 4.870 11 3.050 3.820 4.570 5.580 12 3.570 4.400 5.230 6.300 13 4.110 5.010 5.890 7.040 14 4.660 5.630 6.570 7.790 15 5.230 6.260 7.260 8.550 16 5.81 6.91 7.96 9.31 17 6.41 7.56 8.67 10.1 18 7.01 8.23 9.39 10.9 19 7.63 8.91 10.1 11.7 20 8.26 9.59 10.9 12.4 21 8.90 10.3 11.6 13.2 22 9.54 11.0 12.3 14.0 23 10.2 11.7 13.1 14.8 24 10.9 12.4 13.8 15.7 25 11.5 13.1 14.6 16.5 30 15.0 16.8 16.5 20.6 35 18.5 20.6 22.5 24.8 40 22.2 24.4 26.5 29.1 45 25.9 28.4 30.6 33.4 50 29.7 32.4 34.8 37.7 75 49.5 52.9 56.1 59.8 100 70.1 74.2 77.9 82.4

123
Таблица 4 - Квантили распределения Фишера k2
k1,
p,
F
k2 k
1
= 1 k
1
= 2 k
1
= 1 k
1
= 2 k
1
= 1 k
1
= 2 1
161.4 199.5 4052 4999.5 405300 500000 2
18.51 19.00 98.50 99.00 998.5 999 3
10.13 9.55 34.12 30.82 167.0 148.5 4
7.71 6.94 21.20 18.00 74.14 61.25 5
6.61 5.79 16.26 13.27 47.18 37.12 6
5.99 5.14 13.75 10.92 35.51 27.00 7
5.59 4.74 12.25 9.55 29.25 21.69 8
5.32 4.46 11.26 8.65 25.42 18.49 9
5.12 4.26 10.56 8.02 22.86 16.39 10 4.96 4.10 10.04 7.56 21.04 14.91 11 4.84 3.98 9.65 7.21 19.69 13.81 12 4.75 3.89 9.33 6.93 18.64 12.97 13 4.67 3.81 9.07 6.70 17.81 12.31 14 4.60 3.74 8.86 6.54 17.14 11.78 15 4.54 3.68 8.68 6.36 16.59 11.34 16 4.49 3.63 8.53 6.23 16.12 10.97 17 4.45 3.59 8.40 6.11 15.72 10.66 18 4.41 3.55 8.29 6.01 15.38 10.39 19 4.38 3.52 8.18 5.93 15.08 10.16 20 4.35 3.49 8.10 5.85 14.82 9.95 25 4.24 3.39 7.77 5.57 13.88 9.22 30 4.17 3.32 7.56 5.39 13.29 8.77 40 4.08 3.23 7.31 5.18 12.61 8.25 60 4.00 3.15 7.089 4.98 11.97 7.76 120 3.92 3.07 6.85 4.79 11.38 7.32 то 3.84 3.00 6.63 4.61 10.83 6.91
Таблица 5 - Значения функции распределения Колмогорова
K(t)
t к (t)
1.36 0.9505 1.40 0.9603 1.45 0.9702 1.52 0.9803 1.63 0.9902

124
Литература
1.
Васильев, А.В. Mathcad 13 на примерах/ А.В. Васильев. -
СПб.: БХВ - Петербург, 2006. - 528с.
2.
Кирьянов, Д. В. Самоучитель Mathcad 11/ Д.В. Кирьянов.
- СПб.: БХВ-Петербург, 2003. - 560 с.
3.
Новикова, Н.М. Компьютерный практикум по теории вероятности в среде MATHCAD: учебно-методическое пособие для вузов/ Н.М. Новикова. – Воронеж: Издательско-полиграфический центр ВГУ, 2008. – 23 с.
4.
Плис, А.И. Mathcad 2000. Математический практикум для экономистов и инженеров: Учеб. Пособие/ А.И. Плис, Н.А. Сливина.
- М.: Финансы и статистика, 2000. -656с.: ил.